Zur Genese stochastischen Denkens

1. Zur Genese stochastischen Denkens Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena MNU Hannover 2002

2. Gliederung • Einige Anmerkungen zur historischen Genese stochastischen Denkens • Ein persönlicher Weg • Einige Unterrichtsvorschläge • Fokus: Sekundarstufe I; Vorbereitung von Aufstellen und Testen von Hypothesen MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

3. Zur historischen Genese stochastischen Denkens • Literatur: • Robert Ineichen: Würfel und Wahrscheinlichkeit. Spektrum 1996 • Ivo Schneider: Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Wissensch. Buchgesellschaft 1988. • Barth/Haller: Stochastik Leistungskurs. Ehrenwirth 1996. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

4. Zur historischen Genese stochastischen Denkens Zwei (nicht schnittfreie) Linien bis heute fundamental: • Objektivistische (aleatorische) Linie: Glücksspiele/Würfelspiele; problem- und handlungsbezogen, eher praktisch • Subjektivistische (epistemologische) Linie: Mutmassungen; Einschätzungen, begriffsorientiert, eher theoretisch MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

5. Mesopotamien, Anfang 3. Jahrtausend v. Chr. • Pakistan, Ende 3. Jahrt. v. Chr. Objektivistische Linie Älteste bekannte Würfel: MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

6. Brettspiel aus Ur/Mesop. ca. 2500 v. Chr. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

7. „Würfel“ dazu von folgender Art: MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

8. Achill und Ajax beim Würfelspiel ca. 530 v. Chr. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

9. Spiele mit „Astragalen“ MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

10. Astragale: Punkteverteilung MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

11. Subjektivistische Linie- Stufungen der Wahrscheinlichkeit • Jaina-Logik in Indien ca. 500 v. Chr.: sieben Modi (Möglichkeiten, „Grade der Sicherheit“) der Erkenntnis über Ereignisse • Aristoteles: Topik • Karneades (ca. 200 v. Chr.) : 3 Stufen der Glaubwürdigkeit • Quintilianus (ca. 100 n. Chr.) analog MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

12. Kombinatorisches Denken • Veden (Indien), 800 v. Chr.; Verse, Medizin • Jaina (Indien) 500 v. Chr. Kombinations-möglichkeiten philosophischer Basisdoktrinen • Lullus 13. Jahrh., Lobpreisungen Gottes • Leibniz 1666 (Dissertatio de Arte Combinatoria) MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

13. Resümee: historische Genese • Keine quantitative Erfassung von Wahrscheinlichkeiten • Keine explizite Formulierung des Gesetzes der Grossen Zahlen • Keine idealtypischen Vorstellungen von „gleichwahrscheinlich“ (vgl. Schüler!) • Lange Zeit Vorstellungen der Art „kein Zufall, sondern Gottesfügung“ (vgl. „animistische“ Vorstellungen bei Grundschülern; Wollring) • Länger als in anderen Bereichen der Mathematik kaum begriffliche und quantitative Ausschärfung MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

14. Ars conjectandi: Die „Elemente der W.-Rechnung“ von MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

15. Einige erste didaktische Konsequenzen • Auch deswegen überwiegend problem- und handlungsorientiert vorgehen • Verständnis für ggf. größere Schwierigkeiten bei der Bildung stochastischer Begriffe und Modelle • Genuin stochastisches Denken versuchen, an allgemeinere Heuristiken anzubinden. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

16. Ein persönlicher Wegzur Stochastik • Erstbegegnung mit Stochastik: empirische Untersuchung zur Mathematikdidaktik • Ein Jahr Studium einschlägiger Literatur (u. a. sechs Bücher zur Faktorenanalyse) • Umfang und Ausmass der Verbreitung statistischer Verfahren wurde bewußt • Zentral: Aufstellen und Testen von Hypothesen • Umfang und Ausmass der Nichtbeachtung von Voraussetzungen für Verfahren und deren Missbrauch beeindruckend! MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

17. Kriz: Statistik in den Sozialwissenschaften • Skalenniveaus • Zu vielen Kapitel Zusatz: typische Fehler und Missbrauchsweisen • Testen von Hypothesen MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

18. Skalenqualität • Nomínalskala • Ordinalskala • metrische Skala • Modalwert • Median • Mittelwert MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

19. Einige typische Fehler • Repräsentativität nicht erfüllt! • Irrtumswahrscheinlichkeit nicht vorher festgelegt! • Scharfes ansehen der Daten, daran Hypothese formulieren und anschließend mit diesen Daten testen! (Analogie zum Zirkelbeweis!) • So lange einen Test mehrfach anwenden, bis sich per Zufall etwas „Signifikantes“ ergibt! • Keine Unterscheidung zwischen Hypothesen-generierender und Hypoth.-testender Untersuchung. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

20. Mögliche Konsequenzen für den Unterricht • Aufstellen und Testen von Hypothesen schon in der SI anlegen • Verknüpfen mit weiteren wichtigen Denkmethoden (Heuristik) • Bücher von Strick • Bücher von Engel • Riemerkonzept • Eingeflossen in eigene Schulbuchreihe MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

21. Vor dem jeweils nächsten Wurf darf sich jeder Spieler einen von den drei Würfeln aussuchen. MN 7 Mögliche Erstbegegnung: Aufstellen und Testen von Hypothesen (MN7) „Mensch ärgere dich nicht - Strategie“ I: MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

22. Etwas „eindringlicher“: Aufstellen und Testen von Hypothesen MN 7 „Mensch ärgere dich nicht - Strategie“ II: a) Stellt Prognosen für die Häufigkeiten von Augenzahlen für jeden Würfel auf. Begründet diese genau. b) Prüft eure Prognosen. c) Gegeben eine Tabelle mit absoluten Häufigkeiten von 1 bis 6 beim Quader. Vergleicht mit euren Ergebnissen. MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

23. Idee der Stichprobe und der „Hochrechnung“ (MN 7) MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

24. Aufstellen u. Testen von Hypothesen:Ist die Euromünze unfair?? MN 10 MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

25. Testen der Hypothese: Euromünze ist unfair Ein möglicher Weg zur Gewinnung des Verfahrens: bottom up • Münze 10-, 50- oder 100-mal werfen und „hinsehen“? • Wie entscheiden? • Wann entscheiden? Unterschied zwischen Aufstellen und Testen von H.! • Entscheidungskriterium: Z. B. bei 10 Würfen (kleine Zahlen meistens günstig!) eine Seite mindestens 8- oder höchstens 2-mal werfen? • Wie ist es dann bei 50 oder 100 oder 1000 Würfen? • Idee: Normierung des Kriteriums! • Nur im „Normalfall“(=HN=H0=fair) hat man Informationen: p(Z)=p(W)=1/2 • P(k=0; 1; 2; 8; 9; 10| H0)= ist berechenbar (Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar, dabei Binomialverteilung nur implizit). MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

26. Testen der Hypothese: Euromünze ist unfair • Annahme: H0 (p(w)=p(z)=1/2) ist richtig. • Hierzu  (möglichst klein; z. B. 0,05 oder 0,01) VOR dem Experiment vorgeben! • Zu vorgegebenem n und  Ablehnungsbereichbestimmen (für n=10 und =0,05 ist das: k1 oder k9). • Versuch durchführen. • Prüfen: liegt Ergebnis innerhalb oder ausserhalb des Ablehnungsbereiches? • Wenn innerhalb (z. B. 9mal Zahl): H0 verwerfen, also Münze unfair! Die Durchführung des Verfahrens: top-down MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

27. H0 gilt, p= Q Q Q gekürzt nicht gekürzt Hypothesentest Widerspruchs-beweis Analysis; Rückwärtsarbeiten • Vermutung: („Münze fair“=H0) falsch • Annahme: • Zusätzl. Vorauss.: =0,05; n=10 Dadurch mehr Informationen! • Gedankenexperim.: Experiment um k zu best. Beweis • Ergebnis: k im Ablehnungsbereich • Folgerung: Widerspruch H0 weniger glaubwürdig • Endergebnis: H0 abgelehnt MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

28. Anschlussproblem: Können Buchautoren hellsehen? MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

29. Probleme bei empirischen Studien: Beispiel PISA • Gute Ergebnisse in Finnland • Hypothese: Erreichte PISA-Leistung L korreliert mit der Zahl der Mücken M positiv! • H0=r(L;M)0 • H0 sollte man doch bei so grossem M ablehnen können! MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena

30. Glaube nur der Statistik, die du selbst gefälscht hast! MNU Hannover 2002 Prof. Dr. Bernd Zimmermann Friedrich-Schiller-Universität Jena