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EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES

EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES. Christian PARTRAT Conférence scientifique - Institut des Actuaires 20 janvier 2004. Le provisionnement : plus un art qu’une science. Introduction (1). Finalité première :

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EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES

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  1. EVALUATION STOCHASTIQUEde laPROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT Conférence scientifique - Institut des Actuaires 20 janvier 2004

  2. Le provisionnement :plus un art qu’une science

  3. Introduction (1) Finalité première : Mesurer l'incertitude présente dans les triangles de liquidation et les résultats des méthodes déterministes

  4. Introduction (2) Les méthodes stochastiques (modèles) permettent de : • expliciter les hypothèses utilisées dans le modèle. 2. valider, au moins partiellement, celles-ci 3. évaluer la variabilité de la provision "prévue" par le modèle. 4. obtenir des estimations et intervalles de confiance pour des paramètres d’intérêt liés à la provision 5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la sinistralité d'exercices futurs (Dynamic Financial Analysis, Gestion Actif-Passif,…) .

  5. Introduction (3) Par mise en oeuvre de techniques bootstrap : estimation de la loi de probabilité de la provision et possibilité alternative d'estimer ses caractéristiques : Moments Value-at-Risk (quantiles) Probabilité d'insuffisance etc

  6. Introduction (4) Approche stochastique   choix d’un modèle risque d'erreur de spécification (modèle inexact) mais possibilité d’utiliser un jeu de modèles (analyse de sensibilité)

  7. Introduction (5) Benchmark incontournable : chain ladder (standard) L’estimation de la provision donnée par une méthode stochastique doit être • proche (Régression LogNormale, Kremer 1982,… ) • exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993; modèle Log-Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et 1998) à l’évaluation chain ladder

  8. Introduction (6) Hors modèle de Mack sur triangle cumulé Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé, basés sur le modèle linéaire (i)Normal (ii) Généralisé (GLM) Mise en œuvre pratique : logiciels statistiques (SAS,…) Rem : Filtre de Kalman non présenté

  9. Exemple (1) Dommages Auto : Paiements non cumulés (Increments) [1] Intègre une évaluation des paiements postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres survenus en 1988.

  10. Exemple (2) Dommages Auto : Paiements cumulés (Cumulative)

  11. Notations (1) • Branche à déroulement sur années (n=5) • Pour : v.a.r.montant non cumulé (exercice i ; délai j ) v.a.r.montant cumulé (ex. i ; délai j ) • Triangle supérieur T des montants observé : réalisation de

  12. Notations (2) • Provision de l’exercice i • Provision globale (tous exercices confondus) • Cash-flows annuels futurs, au titre de l’ exercice n+k

  13. Problématique (1) A.Estimation d'un paramètre (certain mais inconnu) lié à la loi de R ( fonct. répart. de R ) : • un indicateur de valeurs centrales de R : moyenne, médiane, quantile d’ordre >0.5,… Best estimates de R

  14. Problématique (2) • la probabilité d'insuffisance d'une provision donnée a priori • un indicateur de volatilité : variance, écart-type, … • un indicateur de queue : la Value-at-Risk d'ordre la TailVaR • une « marge » (Market Value Margin, IAS/IFRS) .

  15. Problématique (3) estimateur de Propriétés (biais, …) Mesures d’incertitude d’estimation : • Mean Square Error • Standard Error (asymptotique) estimées

  16. Problématique (4) • Intervalle de confiance pour au niveau 0,95

  17. Problématique (5) B. prédiction de R Prédicteur de la v.a.r. R : Mesure d’incertitude de prédiction : estimation de E(R)

  18. Problématique (6) (1) p = 0,4 m = 10 tirages avec remise (0) q = 0,6 Obs : X1 , X2 , …, Xm 0 , 0 , 1 ,0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 • Estimation de p ( = 0,3 ) • Prédiction de la v.a.r. ( 0 )

  19. Modèle conditionnel de Mack (1) Chain ladder stochastique 1 Mack, 1993 Mack,1999 Utilise le triangle des montants cumulés sous : H1 : Indépendance des exercices d'origine Les v.a. et sont indépendants ,

  20. Modèle conditionnel de Mack (2) H2 : Pour , il existe un paramètre tel que ou , indépendant de i Pour , facteur CL estimateur ss biais de

  21. Modèle conditionnel de Mack (3) • H3 : Pour , il existe un paramètre tel que • Estimation des MSE et standard errors de et Hyp. 2 et 3 validées graphiquement

  22. Modèle conditionnel de Mack (4) Risques relatifs d’estimation des provisions Risque R = 3,7%

  23. Remarque Colloque ASTIN 2003, Berlin G.Quarg : Munich chain ladder Closing the gap between paid and incurred IBNR-estimates détermination de la provision par intégration de la charge sinistres les paiements

  24. Modèles à variables explicatives (1) Les variables intervenant dans la modélisation d'un triangle de liquidation correspondent aux trois directions "naturelles" délai 0 0 j n année i n i+j année calendaire

  25. Les variables année (origine ou calendaire): qualitatives ordinales  qualitatives : param.: , Pour un triangle déflaté : la variable délai, naturellement quantitative discrète à valeurs 0, 1, ….prise en (i) qualitative : (ii) quantitative : Modèles à variables explicatives (2)

  26. Exemple (3) j 0 1 2 3 4 5 i 0 3 209 1 163 39 17 7 21 1 3 367 1 292 37 24 10 2 3 871 1 474 53 22 3 4 239 1 678 103 4 4 929 1 865 5 5 217 0 : année, délai de référence

  27. Modèles à variables explicatives (3) Hyp. : les v.a.r. sont indépendantes Modèle • Choix de la loi des , dépendant de (i,j) • LogNormale : • Famille exponentielle (GLM) : Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma, ……

  28. Modèles à variables explicatives (4) • un lien entre loi et variables explicatives Formes standards : Additive Multiplicative ou Modèle LogNormale :

  29. Modèles à variables explicatives (5) • La loi des peut dépendre d’un autre paramètre • Loi dedonc le paramètre est fonctiondu paramètre exemple :

  30. Modèles à variables explicatives (6) Etape 1: Estimation La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux données du triangle supérieur, fournit les estimateurs m.v. de et de tout paramètre fonction de Exemple : emv de « best » est. de

  31. Exemple (4) Emv ; Valeurs (Z) prévues

  32. Exemple (5) Val.(X) prévues : Prov. = 2462

  33. Modèles à variables explicatives (7) • Problème du biais estimateur biaisé (positivement) de asymptotiquement sans biais Verrall, 1991 Doray, 1996

  34. Exemple (6) Résidus (Z) = Obs – Val. prévues

  35. Régression LogNormale (1) Etape 2 : Diagnostic du modèle • Détection des cellules « atypiques » • Contrôle des hypothèses (indépendance,Normalité,homoscédasticité) par analyse des résidus

  36. Exemple (7) Cellules « atypiques »

  37. Exemple (8)

  38. Exemple ( 9)

  39. Régression LogNormale (2) Détection des observations influentes sur (i) valeurs prévues (DFFITS) forte pour (1,2) ; très forte pour (3,2) (ii) estimation des param. (DFBETAS) forte pour (1,2) et (3,2) (iii) précision d’estimation (COVRATIO) précision par la présence des obs autres que (1,2) et (3,2)

  40. Régression LogNormale (3) Etape 3 : Risque d’estimation Calcul direct de et IdC pour difficiles Techniques alternatives : • Méthode Delta (asymptotique) 2. Méthode bootstrap

  41. Régression LogNormale (4) • Méthode Delta Emv Matrice Var-Cov

  42. Exemple (10) Mat. Var-Cov estimée

  43. Régression LogNormale (5) E(R) fonction de , par Théorème : où gradient de g D’où loi (asympt.) de , , IdC pour E(R)

  44. Régression LogNormale (6) • Méthode Bootstrap Par rééchantillonnage B fois du triangle des résidus (B=1000 ; 2000 ;…..) B réplications bootstrap de l’estimateur de Variance empirique, Vboot , estime IdC pour E(R), Est. de la loi de , etc

  45. Perspectives R & D + loi • Modèles à quasi-vraisemblance • Joint modelling • Régression non paramétrique (lissage), GAM • Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson) Mack T. (2000) Astin Bull. Vol.30,333-348 • Increments <0

  46. Références (1) • Christofides S. (1990) : "Regression models based on Log incremental payments". Claims Reserving Manual Vol. 2, Institute of Actuaries • Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000) : "Applications of resampling methods in actuarial practice" Cas.Act.Soc. • Doray L.G. (1996) : "UMVUE of the IBNR reserve in a Log normal linear regression model" Ins. : Math & Econ. Vol. 18, 43-57 • England P.D., Verrall R. J. (1999) : "Analytic and bootstrap estimates of prediction error in claims reserving" Ins. : Math. & Econ. Vol. 25, 281-293 • England P.D., Verrall R. J. (2001) : "A flexible framework for stochastic claims reserving" Cas. Act. Soc. • England P.D., Verrall R. J. (2002) : "Stochastic claims reserving in General Insurance" Institute of Actuaries. • Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) : "Generalized additive models". Chapman § Hall

  47. Références (2) • Jal P. (2002) : "Obtention d’intervalles de confiance en réassurance IARD par la méthode du bootstrap". Soumis au Bull. Franç. d’Actuariat. • Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) : "Modern Actuarial Risk Theory" Kluwer Acad. Press • Kremer E. (1982) : "IBNR claims and the two way model of Anova" Scand. Act. J., 47-55 • Laboureau M., Brochard J. (1998) : "Estimation du risque lié au calcul des réserves" Mémoire ENSAE/IAF • Mack T. (1993) : "Distribution free calculation of the standard error of Chain ladder reserve estimates" Astin Bull. Vol. 23, 213-225 • Mack T. (1994) : "Which stochastic model is underlying the chain ladder model" Ins. : Math. & Econ. Vol. 15, 133-138 • Mack T., Venter G. (2000) : "A comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, 101-107

  48. Références (3) • Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) : "Generalized Linear Models"2e ed. Chapman &Hall • Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) : "Generalized Linear Models" J. Royal Stat. Soc. Vol. 135, 370-384 • Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M. (2001) : "Bootstrap methodology in claim reserving" Astin Colloq.,Washington • Raymond Marc (2001) : “Le calcul des provisions pour sinistres à payer-Approches stochastiques” Mémoire CEA/IAF. • Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" Proceedings of XXV Astin Colloq., Cannes • Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" British Act. J. Vol. 4, 903-923 • Schmidt K. D., Schrans A. (1996) : "An extension of Mack's model for the chain ladder method" Astin Bull. Vol. 26, 247-262 • Shao J., Tu D. (1995) : "The Jackknife and bootstrap" Springer

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