LE NOMBRE : premiers apprentissages numériques

1. LE NOMBRE : premiers apprentissages numériques M2 alt – UE7 2011-2012 U-PEC

2. À quoi sert le nombre ? • dénombrer (= déterminer la quantité) • comparer • classer • numéroter • mémoriser, communiquer • calculer • mesurer = types de problèmes à proposer aux élèves pour donner du sens au nombre en tant qu'outil et objet mathématique

3. le nombre à l'école maternelle À la fin de l'école maternelle, les élèves sont capables de : • comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; • mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; • dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; • associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

4. le nombre au cycle 2 Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent

5. le nombre (entier) au cycle 3 L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. 
- principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres 
- désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; 
- comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des signes > et < ; 
- relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart, triple, tiers..., la notion de multiple.


6. Le nombre dans les programmes Quelle progression du cycle 1 au cycle 3 ? • sur la taille des nombres • sur la nature des nombres (décimaux au cycle 3) • sur le type de problèmes ("comparer" pour les 3 cycles, mais "dénombrer" seulement aux cycles 1 et 2) • sur la manipulation, de moins en moins présente • sur l'écriture chiffrée de plus en plus mise en avant

7. => quels types de problèmes ? • comparer deux quantités ou nombres • classer des quantités ou nombres • construire une quantité • compléter ou réduire une quantité • dénombrer une quantité • calculer une quantité ou un nombre • représenter une quantité ou un nombre le passage du travail sur les quantités à celui sur les nombres se fait au CP

8. Qu'est-ce que "compter" ? • compter : énoncer la suite numérique "un, deux, trois, quatre…". Le comptage fournit une suite de nombres ordinaux. Le comptage peut être effectué à partir de n’importe quel objet. Le résultat du comptage est invariant • dénombrer : donner le cardinal d'une collection (le nombre d'objets). Le dénombrement est le résultat du comptage : il fournit le nombre cardinal de la collection. Le dernier mot prononcé n’est pas un simple numéro, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets de la collection

9. Les différents aspects du nombre • cardinal = pour donner une quantité • ordinal = pour donner un classement ordonné Chacun de ces deux aspects est enseigné dans les programmes et donne du sens au nombre en tant qu'outil pour résoudre des problèmes

10. Première rencontre avec le nombre : Les comptines numériques (PS) J'HABILLE MA MAIN Et maintenant, il faut s'habiller…
Le premier met sa culotte,
le deuxième met sa salopette,
le troisième met ses bottes,
le quatrième met sa casquette.
Et le cinquième, le plus petit… n'a trouvé aucun habit ! Turlututu, il restera tout nu ! L'OGRE J'ai mangé un œuf
Deux langues de bœuf
Trois rôtis de mouton
Quatre gros jambons
Cinq rognons de veau
Six couples d'oiseaux
Sept immenses tartes
Huit filets de carpe
Neuf kilos de pain
Et j'ai encore faim aspect ordinal aspect cardinal

11. aspect cardinal / ordinal / ni l'un ni l'autre • nombres séparés ou non par des phrases ou des mots • puis, à l'endroit / à l'envers, de 10 en 10… • La suite numérique Les enfants peuvent connaître la suite numérique sans pour autant comprendre ce qu'elle signifie, c'est à dire sans la relier avec la quantité Des comptines à la chaîne numérique 1, 2, 3 un parquet de bois
4, 5, 6 des clous et des vis
7, 8, 9 un ballon tout neuf
10, 11, 12 un mur de briques rouges
Et une grande échelle
Pour aller au ciel

12. apprentissage progressif des mots pour dire les nombres : • nombres séparés ou non par des phrases ou des mots dans les comptines (pour en mémoriser le son à travers des activités ludiques) • apprentissage de la suite des mots-nombres • puis, à partir de la GS à l'endroit / à l'envers, à partir d'un nombre autre que 1, en CP de 2 en 2, 5 en 5, 10 en 10… Les enfants peuvent connaître la chaîne numérique sans pour autant comprendre ce qu'elle signifie, c'est à dire sans la relier avec la quantité Des comptines à la chaîne numérique

13. La chaîne numérique • stable et conventionnelle (celle des adultes) • stable mais non conventionnelle (mots sautés) • ni stable, ni conventionnelle

14. La chaîne numérique • Des étapes dans l’acquisition de la chaîne numérique (Fuson et al) : • Une récitation (un bloc verbal) • Des noms qui s’individualisent, une chaîne insécable • Une chaîne sécable (début du comptage) pouvant être utilisée pour additionner (surcomptage) • Une chaîne bidirectionnelle (comptage à rebours possible, décomptage)

15. Un 1er exemple de travail sur les procédures : comparer deux quantités Quelles sont les procédures possibles pour comparer deux collections de manière à savoir laquelle a le plus grand nombre d'objets ? ça dépend...

16. Comparer deux quantités : collections manipulables procédure = on associe les objets terme à terme

17. Comparer deux quantités : collections non manipulables il faut aussi élaborer une stratégie d'énumération

18. Comparer deux quantités procédure = reconnaissance visuelle d'une grande différence de quantité

19. Comparer deux quantités procédure = subitizing (reconnaissance globale) jusqu'à 3 objets (dès 5 ans), jusqu'à 7 objets pour l'adulte pour donner le nombre d'objets en le reconnaissant, il faut déjà que l'élève associe le mot-nombre et la quantité

20. Comparer deux quantités plus ou moins organisées l'organisation facilite la reconnaissance immédiate de la quantité sans avoir à la dénombrer

21. Comparer deux quantités : constellations procédure = connaissance des constellations (comme sur les faces du dé) pour reconnaître certaines quantités (jusqu'à 6, voire plus en associant plusieurs dés)

22. Comparer deux quantités : alignement procédure = comparer les longueurs des alignements cela peut entraîner des erreurs si l'espacement ou la taille des objets ne sont pas les mêmes

23. Conceptions erronées des élèves liées à la disposition des objets • La modification de la disposition des éléments modifie le nombre d’éléments

24. Comparer deux quantités procédure = groupements par paquets (pas forcément tous identiques ou dénombrement

25. dénombrement :exemples d'erreurs d'élèves Victor, Zoé, Marius et Louise doivent dénombrer une collection de 5 objets : • Victor désigne les objets 1 par 1 en récitant "un deux trois cinq six" • Zoé oublie de compter un objet • Marius désigne plusieurs fois l'un des objets • Louise compte mais ne fait pas correspondre un seul mot en désignant chaque objet : elle compte jusqu'à 12, c'est à dire aussi loin qu'elle sait le faire

26. dénombrement :exemples d'erreurs d'élèves • Alice doit dénombrer une collection de 5 objets : l'enseignante : "combien il y en a ?" Alice : "un deux trois quatre cinq" l'enseignante : "oui, alors ça en fait combien ?" Alice : "un deux trois quatre cinq" l'enseignante : "alors il y en a combien ?" Alice (qui commence à être agacée) : "un deux trois quatre cinq !"

27. Donc pour savoir dénombrer il faut • énumérer correctement les objets de la collection (prendre en compte chaque objet une et une seule fois, pouvoir séparer les objets déjà comptés de ceux pas encore comptés) • associer terme à terme un objet – un geste – un mot-nombre • connaître la suite des mot-nombres • savoir que le dernier mot prononcé représente la quantité

28. Comparer deux (grandes) quantités dénombrement : pas de mémoire de travail => procédure = grouper par 10

29. Groupement par 10 • il est à la base de notre numération décimale actuelle ainsi que de nombreuses numérations plus anciennes (l'homme a toujours eu 10 doigts !) • il est nécessaire pour passer du dénombrement 1 par 1 à une procédure plus efficace pour les grandes quantités • il donne du sens à l'écriture chiffrée des nombres au cycle 2

30. Comparer deux quantités procédure = utiliser les constellations ou le calcul

31. Procédures pour comparer 2 quantités • reconnaissance d'une grande différence • reconnaissance globale avec une organisation particulière (alignement, constellation) • terme à terme (association 1 à 1) en déplaçant ou en reliant les objets • dénombrement • groupement par paquets identiques ou groupement par 10 • calcul importance de l'organisation des collections : quelle représentation du nombre ?

32. Variables didactiques pour la comparaison de deux quantités • nature des objets (tous identiques ou non) • taille des objets • quantités des deux collections • différence importante ou non entre les deux • organisation (alignement, constellation) • proximité des deux collections • collections déplaçables ou non • possibilité de faire des paquets (matériel de groupement)

33. Un 2ème exemple : construire une collection équipotente • équipotente = de même quantité • tâche donnée aux élèves : on a posé des assiettes sur la table, et on demande à un élève de mettre la table, en apportant le bon nombre de verres, autant que d'assiettes, ni plus, ni moins • quelle procédure ? • comment la faire évoluer ?

34. Construire une collection équipotente travail de la correspondance terme à terme Quelles sont les variables didactiques qui font évoluer cette activité vers un usage du nombre ? • le nombre de verres • le nombre de voyages autorisés • la distance entre verres et assiettes • passage de commande orale • passage de commande écrite

35. Apprentissage du nombre : lier les deux aspects • le travail des deux aspects se fait en parallèle • c'est l'enseignant qui va mettre un mot sur les quantités, aussi souvent que l'occasion se présente, et avec tous les objets de la classe : "j'ai deux livres", "il y a trois feutres", etc. • les tâches de dénombrement permettent de voir si l'élève a compris le lien entre mot-nombre et quantité (le dernier mot prononcé est à lui seul la quantité)