Inleiding Meten en Modelleren 8C120

1. Inleiding Meten en Modelleren 8C120 Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny Faculteit Biomedische Technologie Biomedische Beeld Analyse www.bmia.bmt.tue.nl

2. De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse Informatie

3. De Meetcyclus: cardiofitness Tempo aanpassen Hart Electrische potentiaal ECG Fourier analyse Hartslag

4. Fourier series - properties • De Fourier series beschrijven niet alleen de functie g(t) op het interval [−p,p], maar ook de periodieke uitbreiding buiten [−p,p] • Definitie: T [s] is de periode van functie g(t) als geldt g(t+T) = g(t) voor iedere t • Frequentie f = 1/T [Hz = 1/s], Hoekfrequentie ω = 2f [rad/s]

5. Fourier series - properties • Voor een gegeven functie g(t) moeten we dus de Fourier series voor één periode berekenen • De beschrijving van een functie (of een signaal in de tijd) in termen van sinussen en cosinussen is van belang voor het begrip van de verwerking van het signaal door een “processing unit”

6. Fourier series - properties • In veel gevallen hebben we alleen de sinussen of de cosinussen nodig om een functie te beschrijven • Dit wordt bepaald door het feit of de functie even is of oneven (engels: odd) • Functie f(t) is even als f(−t) = f(t) • Functie f(t) is oneven als f(−t) = −f(t) • Voorbeeld: • cos is even, want cos(−t) = cos(t) • sin is oneven, want sin(−t) = −sin(t)

7. Fourier series - properties • Eigenschappen voor even en oneven functies: • Product van twee even functies is even • Product van twee oneven functies is even • Product van een even en een oneven functie is oneven • Som (verschil) van twee even functies is even • Som (verschil) van twee oneven functies is oneven

8. Fourier series - properties • Eigenschappen voor even en oneven functies: • Als f(t) even: • Als f(t) oneven:

9. t=0 t=T t=2T Fourier analysis - interpretation • Een biologisch signaal g(t) begint op tijdstip t = 0 en is vaak periodiek • Stel signaal heeft periode T: • g(t + nT) = g(t), voor n = 0,1,2,...

10. Fourier analysis - interpretation • Fourierreeks voor periodiek signaal g(t) met één periode op het interval [a,b], periode T = b-a

11. Fourier analysis - interpretation • Eerste component (n=0): • average of DC value • Tweede component (n=1): • first harmonic of groundfrequency • Frequentie 1/T; hoekfrequentie 2π/T • Hogere componenten (n>1): • second and higher harmonics • Frequentie n/T; hoekfrequentie: 2πn/T

12. Fourier analysis - interpretation • In het algemeen geldt: • Bijdrage van hogere componenten wordt kleiner • Hoe steiler het signaal, hoe belangrijker de hogere componenten • Componenten n>10 zijn meestal verwaarloosbaar • Maar niet altijd: • Het aantal componenten wordt bepaald door: • De steilheid van het signaal • De toepassing (gewenste nauwkeurigheid)

13. Fourier analysis - interpretation

14. Representing the Fourier series • Constructie van het Fourier spectrum op basis van de waarden voor a0, an, bn • Fourier spectrum of the amplitudes: • Horizontaal: frequentie (f of ω) • Verticaal: lengte (norm) van de vector (an,bn) • Fourier spectrum of the phase: • Horizontaal: frequentie (f of ω) • Verticaal: hoek Φn die de vector (an,bn) maakt: • tanΦn = bn/an

15. bn Φn an Representing the Fourier series • Lengte (norm) vector (an,bn): • Hoek Φn van vector (an,bn):

16. 8E020 Inleiding Meten Estimating the Fourier series