Inleiding Meten 8E020

1. Inleiding Meten8E020

2. De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse Informatie

3. De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse Informatie Transfer function 8E020 Inleiding Meten

4. Transfer functions - overview • In colleges 3 en 4 lag de focus op het beschrijven van een signaal in termen van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en fasen • Het gedrag van een elektrisch circuit (meetsysteem) kan worden beschreven met een transfer function (overdrachtsfunctie) • Transfer function is frequentie afhankelijk! 8E020 Inleiding Meten

5. Transfer fuctions - overview • Inleiding complexe getallen • Transfer functies van schakelingen met alleen weerstanden zijn onafhankelijk van de frequentie • Transfer functies van schakelingen met condensatoren en/of spoelen zijn frequentie-afhankelijk • Definitie: complex impedance • Frequentie-afhankelijke transfer functie wordt beschreven m.b.v. complexe getallen 8E020 Inleiding Meten

6. Complex Numbers 8E020 Inleiding Meten

7. j c b  a Complex numbers ofwel is de afstand tot de oorsprong is de hoek van de vector met positieve x-as 8E020 Inleiding Meten

8. Complex numbers • Uit de gegeven definities volgt en en 8E020 Inleiding Meten

9. Complex numbers

10. Complex numbers Als dan In het algemeen: We moeten dus bewijzen: Bewijs: zelf doen

11. Transfer Functions 8E020 Inleiding Meten

12. Transfer functions • Electrisch domein: • effort = voltage U • flow = current I • Wet van Ohm: • U = I × R, met R de impedance • Vaak wordt ook admittance gebruikt: • G = 1 / R 8E020 Inleiding Meten

13. R1 + U0 U1 R2 - Transfer functions • Voorbeeld: Spanningsverschil U1 (uitgang) over R2 kan worden beschreven in termen van spanningsverschil U0 (ingang) en weerstanden R1 en R2 8E020 Inleiding Meten

14. R1 + U0 U1 R2 - Transfer functions • Transfer functie H wordt gedefinieerd door: • H is dus een uitdrukking voor de ratio uitgang U1 / ingang U0 • In dit voorbeeld: 8E020 Inleiding Meten

15. Transfer functions Voor dit voorbeeld geldt: • H is makkelijk te berekenen • H is een constante, onafhankelijk van de frequentie van ingang U0 Ad 1: Transfer functies voor schakelingen met veel weerstanden zijn moeilijker Ad 2: Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0 8E020 Inleiding Meten

16. R2 R1 R4 U1 R5 U0 R3 R6 Transfer functions • Voorbeeld: • Transfer functie H = U1/U0 is moeilijker te bepalen, maar het is niet onmogelijk (probeer dit zelf) 8E020 Inleiding Meten

17. Transfer functions • Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0 • Condensatoren en spoelen zijn “buffers”: • Condensator (capaciteit) C: “buffer of displacement” • Spoel (inductie) L: “buffer of impulse” • Transfer functies van schakelingen zonder buffers zijn frequentie-onafhankelijk en kunnen niet fungeren als “filter” 8E020 Inleiding Meten

18. R1 U1 U0 C R2 Transfer functions - frequency dependent • Voorbeeld met condensator: • Gedrag van een condensator (en een spoel) is afhankelijk van de frequentie • Transfer functie H = U1/U0 is frequentie-afhankelijk 8E020 Inleiding Meten

19. Transfer functions - frequency dependent • Stel stroom I(t) door condensator is gegeven door: • Bereken de spanning U(t) over de condensator:

20. Transfer functions - frequency dependent • Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude A/(ωC) • Als de stroom een cosinus is, dan is de spanning een sinus • Dus de spanning loopt ½π achter, ofwel de condensator introduceert een faseverschil van −½π tussen spanning en stroom 8E020 Inleiding Meten

21. Transfer functions - frequency dependent • Omdat een condensator eigenlijk een integrator voor stroom is: blokgolf IC(t) levert zaagtand UC(t) Zaagtand UC(t) Blokgolf IC(t) Sinus UC(t) Sinus IC(t) 8E020 Inleiding Meten Tijd

22. Complex Impedance 8E020 Inleiding Meten

23. Complex impedance • Om dit gedrag met één formule te beschrijven introduceren we de term impedance • Deze definitie is equivalent met de definitie van impedance Z voor een pure dissipator (weerstand R): • Z = effort / flow (R = U / I) • G = flow / effort (de admittance = 1/Z) 8E020 Inleiding Meten

24. Complex impedance De ratio effort / flow moet echter twee aspecten beschrijven: • Verandering in amplitude geϊntroduceerd door de condensator • Verandering in fase geϊntroduceerd door de condensator Impedance Z beschrijft beide aspecten m.b.v. een complex getal 8E020 Inleiding Meten

25. Complex impedance Impedance Z is dus een complex getal: Z = a + bj zodanig dat |Z| = |effort| / |flow| arg(Z) = phase shift effort vs flow 8E020 Inleiding Meten

26. Complex impedance Voor een condensator wordt de impedance gegeven door: ZC = 1 / jωC De admittance van een condensator wordt gegeven door: GC = jωC 8E020 Inleiding Meten

27. Complex impedance • Controle van de definitie van een impedance voor een condensator m.b.v. een complex getal: • Hieruit volgt: |effort| / |flow| = 1/ωC, dus • Phase shift Δφ is gegeven door Δφ = arg(ZC) komt overeen met sheet 20 komt overeen met sheet 20

28. Complex impedance • Bij hoge frequentie, ω∞, gaat de impedance van een condensator naar nul. Bij hoge frequentie is de condensator dus een shortcut • Hoogfrequente stroom door een condensator leidt dus niet tot een spanningsverschil • Voor ω=0 geldt dat de impedance van een condensator oneindig is. Dus voor ω=0 zal er geen stroom lopen door de condensator (het circuit is “open” bij de condensator) 8E020 Inleiding Meten

29. Complex impedance • Voor een spoel geldt: • Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude AωL • Als de stroom een cosinus is, dan loopt de spanning ½π voor, ofwel de spoel introduceert een faseverschil van +½π 8E020 Inleiding Meten

30. Complex impedance Voor een spoel wordt de impedance gegeven door: ZL = jωL De admittance voor een spoel wordt gegeven door: GL = 1 / jωL 8E020 Inleiding Meten

31. Complex impedance • Voor ω0 gaat de impedance van een spoel naar nul. Bij ω=0 is de spoel dus een shortcut • Laagfrequente stroom door een spoel leidt dus niet tot een spanningsverschil • Bij hoge frequentie, ω∞, geldt dat de impedance van een spoel oneindig is. Bij hoge frequentie zal er geen stroom lopen door de spoel (het circuit is “open” bij de spoel) 8E020 Inleiding Meten

32. Complex impedance Voor een dissipator (weerstand) wordt de impedance gegeven door: ZR = R De admittance voor een weerstand wordt gegeven door: GR = 1 / R 8E020 Inleiding Meten

33. Complex impedance • De impedance voor een weerstand is dus onafhankelijk van de frequentie • Het gedrag van de weerstand is gelijk voor iedere frequentie 8E020 Inleiding Meten

34. Working with complex impedances 8E020 Inleiding Meten

35. Working with complex impedances • Notatie op basis van complexe getallen voor impedance heeft twee voordelen: • Men kan rekenen met impedanties met de rekenregels voor complexe getallen • Men kan rekenen met impedanties in electrische schakelingen zoals men kan rekenen met echte weerstanden 8E020 Inleiding Meten

36. Working with complex impedances • Voor N impedanties in serie geschakeld geldt: • Voor N impedanties parallel geschakeld geldt: 8E020 Inleiding Meten

37. Z1= R1 Zc=1/jC U1 U0 Z2= R2 Working with complex impedances • De electrische schakeling van sheet 18 wordt nu: 8E020 Inleiding Meten

38. Frequency-dependent transfer functions 8E020 Inleiding Meten

39. Frequency-dependent transfer functions • Beschouw Z2 en ZC als 2 parallel geschakelde impedanties • Z2 en ZC kunnen worden vervangen door ZV: • Deze schakeling is equivalent met de schakeling op sheet 13 waarbij R1 vervangen is door Z1 en R2 door ZV 8E020 Inleiding Meten

40. Z1 + U0 U1 Zv - Frequency-dependent transfer functions • Voor deze schakeling gelden dus ook equivalente formules (zie sheet 13): 8E020 Inleiding Meten

41. Frequency-dependent transfer functions • De transfer functie H(jω) wordt gevonden door Z1 en ZV in te vullen in de formule: • Interpretatie van frequentie-afhankelijke transfer functies zal worden besproken in volgende colleges 8E020 Inleiding Meten

42. Frequency-dependent transfer functions • Merk op dat H(jω) het quotiënt is van twee complexe getallen: • Voor H(jω) gelden dezelfde rekenregels als voor complexe getallen (zie sheets 6-10) met 8E020 Inleiding Meten

43. Frequency-dependent transfer functions • Voor H(jω) gelden dus ook de regels van sheet 8: en en 8E020 Inleiding Meten

44. Frequency-dependent transfer functions • In het algemeen wordt de transfer functie van een electrische schakeling weergegeven met complexe getallen • In het volgende college worden verschillende klassen van transfer functies besproken: • low pass • high pass • band pass • Ook wordt dan een grafische weergave voor transfer functies besproken: bode diagrams 8E020 Inleiding Meten