Geometria nello spazio

1. Geometria nello spazio Prof. Antonio Di Muro

2. Punto, retta, piano

3. z k i y j x Vettori: versori y y u = 3 i+ 2 j j x i x v = 3 i 4 j

4. Prodotto scalare uv = u v cos . Ricordando che cos 90° = 0 e cos 0° = 1 v v v uv = u v uv =  u v uv = 0 u u u Se facciamo il prodotto scalare tra due versori allora otteniamo: i j = 0 , j k = 0 , k i = 0 i i = 1 , jj = 1 , kk = 1 Se facciamo il prodotto scalare tra due vettori p.es. u = 3 i  4 j + k e v = 2 i+ 3 j + 3 k otteniamo: u v= 6 i i + 9 ij+ 9 i k  8 j i  12 j j  12 jk + 2 k i + 3 k j + 3 k k =  3

5. i   + j k  Prodotto vettoriale c = u vc=u v sen . Ricordando che sen 90° = 1 e sen 0° = 0 v v c=0 c=u v u u Se facciamo il prodotto vettoriale tra due versori allora otteniamo: ij = 1 , j k = 1 , k i = 1 , j i = 1 , k j = 1 , i k = 1 i i = 0 , j j = 0 , k k = 0 Esempio: u = 3 i 4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k si ha u v = 9 i j + 9i k  8j i  12j k + 2k i+ 3k j = 9 k  9 j + 8 k  12 i + 2 j  3 i =  15 i 7 j + 17 k.

6. Vettore parallelo ad una retta B u C A Tutti i vettori paralleli ad u vanno bene, il più semplice lo si ottiene moltiplicando il vettore u per Tale vettore che chiameremo di nuovo u ha espressione

7. Vettore perpendicolare ad una retta nel piano y Il prodotto scalare deve essere nullo e si ottiene: b x = a y cioè una possibile conveniente soluzione è: x = a ed y = b quindi x v u

8. Il vettore uparallelo alla retta si costruisce scambiando i coefficienti e • cambiandone uno di segno: • Retta a x + b y = 0 • Vettore u = b i a j • Il vettore vperpendicolare alla retta si costruisce con i coefficienti • stessi: • Retta a x + b y = 0 • Vettore v = a i+b j Analogamente, dato un vettore w = a i+ b j la retta ad esso perpendicolare ha equazione a x + b y = 0

9. Sistemi di coordinate nello spazio

10. Equazione della retta nello spazio • Equazione generale della retta come intersezione di due piani non paralleli: • Equazione della retta in forma parametrica: Il vettore u è parallelo alla retta r Il vettore P P0 deve essere parallelo ad u per cui P P0 = tu in componenti P(x,y,z) u = l i + m j + n k P0(x0,y0,z0) l, m ed n sono i parametri direttori della retta r

11. Equazione della retta nella forma ridotta: • ricavando il parametro t si ha • Determinazione dei parametri direttori di una retta intersezione di due piani: •  : a x + b y + c z + d = 0 e : a’ x + b’ y + c’ z + d’ = 0 r v  u w 

12. Posizione mutua di due rette e casi particolari • Due rette possono essere parallele, coincidenti, incidenti o sghembe. • Rette parallele agli assi coordinati: • per esempio asse x, vettore il = 1m = 0, n = 0 ha equazione • o semplicemente essendo la x indeterminata. • L’asse x avrà equazione • Retta passante per P0 e perpendicolare al piano a x + b y + c z + d = 0 • Intersezione retta – piano: si ricava il parametro t

13. Condizione di parallelismo retta – piano u = l i + m j + n k e v = a i + b j + c k devono essere perpendicolari u Prodotto scalare nullo: a l + b m + c n = 0 Occorrono altre due equazioni per determinare la retta. v r 

14. Condizione di perpendicolarità tra due rette u v= 0 l l’ + m m’ + n n’ = 0 u = l i+ m j+ n k v = l’ i+ m’ j+ n’ k r s

15. Altri problemi metrici fondamentali • Distanza tra due punti: teorema di Pitagora generalizzato P0 • Distanza punto – piano: • La distanza h è la proiezione del vettore PP0 su v • quindi h v A P   : a x + b y + c z + d = 0 Osservando che d =  a x b y c z si ha

16. Distanza punto – retta: Il vettore u = l i+ m j+ n k rappresenta la retta r, costruiamo il piano  perpendicolare ad r per P0  : l x + m y + n z + d = 0 P0 u h A r P0 A lo troviamo come intersezione di  con r quindi si ricava h. h r  A

17. Esempio: P0( 1 , 2 ,  1 ) ‘ :x + z + d = 0 generico piano perpendicolare ad r. Imponiamo il passaggio per P0  :x + z = 0 Intersezione con r: 2 + t + t = 0 t =  1 A ( 1 , 1 ,  1 ) h = 1

18. Retta per due punti: u = l i+ m j+ n k = P1 u P2 • Distanza tra due piani paralleli: • Si considera un punto di un piano e si calcola la distanza di esso dall’altro piano.

19. Angolo tra due rette: Considerati i vettori u e v paralleli alle rette • Angolo retta – piano : u v  

20. Angolo tra due piani: Angolo tra i vettori perpendicolari ai due piani

21. Tipi di solido: • Poliedro convesso: solido formato da più poligoni giacenti in piani diversi, ogni piano lascia tutti gli altri dalla stessa parte ed ogni lato è in comune col poligono adiacente. • Prisma: poliedro avente due facce parallele ed uguali, dette basi e le altre facce tutte parallelogrammi. • Piramide: poliedro costituito da una parte di angoloide determinata da un piano che interseca tutti gli spigoli dell’angoloide stesso. Poliedri Prismi Cubi Poliedri regolari Tetraedri regolari Piramidi • Solidi di rotazione: solidi che si ottengono con una rotazione di una figura attorno ad una retta.

22. Misure dei prismi: parallelepipedo rettangolo cubo d d c b Area di base A = a b Volume V= a b c Superficie S = 2 (a b + b c + a c) Diagonale a l Area di base A = l 2 Volume V= l 3 Superficie S = 6 l 2 Diagonale

23. Teorema di Talete nello spazio Teorema di Talete nel piano: un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali p. es. AB : AC = A’B’ : A’C’ dim. immediata con la similitudine In particolare OA : OB = AA’ : BB’ mentre nessuna proporzionalità è valida tra i lati di un trapezio p. es. AA’B’B O A A’ B B’ C C’

24. I triangoli hanno i lati in proporzione infatti: considerando le rette r ed s VA : VB = AE : BF considerando le rette r ed t VA : VB = AC : BD quindi AE : BF = AC : BD analogamente per l’altro lato. Quindi i triangoli ACE e BDF sono simili ed anche le loro aree sono proporzionali. In particolare moltiplicando le prime due equivalenze si ha: (VA : VB) 2= (AE : BF) (AC : BD ) ovvero Proporzioni tra lunghezze ed aree: V C A  E D B  F t r s

25. V Si può ripetere il procedimento anche per altri segmenti, da si ha p. es.: e ecc. Date due piramidi proporzionali, i quadrati di due spigoli qualsiasi in proporzione stanno alle aree di due facce qualsiasi in proporzione. C A S  E D B  F S’ t r s

26. Proporzioni tra lunghezze e volumi: V Le altezze delle piramidi sono proporzionali ai lati infatti: considerando le rette r ed q VA : VB = VH : VK moltiplicandola per si ha: e quindi anche i volumi sono proporzionali. A C H E B D K F r t q s Date due piramidi proporzionali, i cubi di due spigoli qualsiasi in proporzione stanno ai volumi delle piramidi corrispondenti.

27. Volume: Superficie laterale: Dove p è il semiperimetro di base ed h i le altezze di ogni faccia. Superficie: Per una piramide qualsiasi Se la piramide è retta Superficie laterale: dove a è l’apotema Superficie: inoltre h a r

28. Sezionando una piramide qualsiasi con un piano parallelo alla base vengono determinate due piramidi simili. • Sono possibili tra le due piramidi le proporzioni: • tra segmenti corrispondenti • tra i quadrati di segmenti corrispondenti • e le aree di base • tra i cubi di segmenti corrispondenti e i • volumi • p. es.

29. Tronco di piramide retto Superficie laterale: r a h dove p è il semiperimetro ed a l’apotema R Superficie:

30. D Applicazione con i vettori: B C La diagonale AB del cubo è perpendicolare al triangolo CDE A Scelto un opportuno sistema di coordinate e un cubo di spigolo unitario, consideriamo il vettore u perpendicolare al piano CDE , ed i vettori a e b. è un vettore parallelo ad u a = j + k ; b =  i +k E z u a b y Tale vettore è parallelo ad AB c.v.d. x