RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO

1. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

2. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

3. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO Assegnati i due piani di proiezione lo spazio risulta diviso in quattro quadranti. La retta di intersezione dei due piani è definita linea di terra Considerando un punto P nello spazio, solitamente posto sul primo quadrante, dai centri S1 e S2 impropri, normali ai piani di proiezione, viene proiettato il punto costruendo per esso le perpendicolari al primo e secondo piano. I punti di intersezione, P1 e P2 rappresentano la prima e seconda proiezione del punto. Ribaltando il secondo piano sul primo, le rette di intersezione dei due piani di proiezione tenderanno a coincidere in un’unica retta che sarà ortogonale alla linea di terra e passerà per la prima e seconda proiezione del punto. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

4. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PUNTO La retta che proietta P in P1 misura un segmento PP1 detto quota del punto; La retta che proietta P in P2 misura un segmento PP2 detto aggetto del punto. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

5. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA Data una retta r, proiettarla da S, punto improprio, sul secondo piano significa costruire il piano proiettante e sezionarlo con il piano di proiezione; r2 è la seconda proiezione della retta. Data una retta r, proiettarla da S, punto improprio, sul primo piano significa costruire il piano proiettante e sezionarlo con il piano di proiezione; r1 è la prima proiezione della retta. Nelle applicazioni la retta r è individuata per mezzo di due punti che le appartengono. Se la retta appartiene ai punti P e Q, la sua prima proiezione r1 appartiene alle prime proiezioni dei punti P1 e Q1. La retta r, è così rappresentata secondo il metodo di Monge. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

6. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ LA RETTA L’intersezione della retta r e del primo piano di proiezione si chiama prima traccia della retta T’r, l’intersezione della retta r con il secondo piano di proiezione si chiama seconda traccia della retta T’’r. Il punto della retta che ha quota nulla è rappresentato dalla prima traccia, il punto della retta che ha aggetto nullo è la sua seconda traccia. Se la rappresentazione è ottenuta mediante due punti qualsiasi la retta si ricostruisce attraverso la ricostruzione dei due punti che la individuano Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

7. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ IL PIANO La Prima traccia di un piano è la retta intersezione di questo con il primo piano di proiezione, si indica con il simbolo t’; La Seconda traccia di un piano è la retta intersezione di questo con il secondo piano di proiezione, si indica con il simbolo t’’; Le due tracce di un piano si incontrano in un punto della linea di terra. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

8. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI APPARTENENZA Se una retta r appartiene ad un piano alfa, le tracce della retta appartengono alle tracce omonime del piano. Assegnate le tracce t’ e t’’ di un piano e la prima proiezione di una retta è possibile costruire la seconda proiezione della retta. Se si vuole rappresentare un punto che appartenga ad un piano rappresentato mediante le tracce, occorre far si che le sue proiezioni appartengano alle proiezioni omonime di una retta del piano. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

9. RAPPRESENTAZIONE E RICOSTRUZIONE DEGLI ENTI FONDAMENTALI NELLO SPAZIO _ CONDIZIONI DI PARALLELISMO Per le condizioni di parallelismo, se due rette sono parallele hanno la medesima direzione. Da ciò, in P. O. se due rette sono parallele, esse hanno parallele le proiezioni omonime. Due piani paralleli, sono sezionati dal primo e secondo piano di proiezione secondo coppie di rette parallele, hanno perciò parallele le tracce omonime. Quindi, tracce omonime parallele rappresentano piani paralleli Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

10. CONDIZIONI DI APPARTENENZA E PARALLELISMO: ESEMPIO COSTRUZIONE DEL PIANO ALFA CHE CONTIENE UN PUNTO P ED E’ PARALLELO AD UN ALTRO PIANO DATO BETA. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

11. PUNTI IN POSIZIONI PARTICOLARI Quando un punto, una retta, un piano assumono posizioni particolari rispetto ai piani di proiezione, anche la loro prima e seconda proiezione assumono caratteristiche particolari Punti appartenenti al primo piano di proiezione coincidono con la loro prima proiezione mentre hanno la seconda sulla linea di terra. Viceversa se appartengono al secondo piano di proiezione Punti situati nel secondo quadrante hanno entrambe le proiezioni sopra la linea di terra. Punti situati nel quarto quadrante hanno entrambe le proiezioni sotto la linea di terra. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

12. PUNTI E RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI Costruendo un piano bisettore che passa per la linea di terra, i punti che appartengono a questo piano hanno le proiezioni coincidenti. Se una retta è parallela al primo piano di proiezione, il che significa che è orizzontale , la sua seconda proiezione è parallela alla linea di terra Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

13. RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI Se una retta è parallela al secondo piano di proiezione, la sua prima proiezione è parallela alla linea di terra Segmenti di rette orizzontali e frontali sono proiettati in vera grandezza sul primo e sul secondo piano di proiezione Se una retta giace sul secondo piano di proiezione, la sua prima proiezione coincide con la linea di terra e viceversa Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

14. RETTE IN POSIZIONI PARTICOLARI Se una retta è perpendicolare al secondo piano di proiezione, la sua seconda proiezione è un punto, la prima è ortogonale alla linea di terra Se una retta è perpendicolare al primo piano di proiezione, la sua prima proiezione è un punto, la seconda è ortogonale alla linea di terra Se una retta appartiene al primo piano bisettore forma angoli uguali con i piani di proiezione ed è incidente la linea di terra in un punto R, le sue proiezioni formano angoli uguali con la L. T. Se una retta appartiene al secondo piano bisettore forma angoli uguali con i piani di proiezione ed è incidente la linea di terra in un punto R, le sue proiezioni sono coincidenti Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

15. L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA Solitamente l’immagine di un segmento o delle rette che comprendono un dato angolo è scorciata per effetto della proiezione. Con il ribaltamento del piano appartenente agli oggetti osservati si riesce a restituire la vera forma degli oggetti. I punti del piano ribaltato descrivono archi di circonferenza che giacciono in piani perpendicolari alla cerniera. I punti del piano conservano la loro reciproca posizione sul piano stesso, perciò anche la loro distanza dalla cerniera MISURA DELL’ ANGOLO FORMATO DALLA RETTA r RISPETTO AL PRIMO PIANO DI PROIEZIONE Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

16. LE SEZIONI DI UN PIANO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA La sezione retta si ottiene tagliando i piani alfa e beta con un terzo piano gamma perpendicolare ad entrambi. E’ possibile eseguire la sezione retta anche di un piano generico considerando il diedro formato con il primo piano di proiezione. Si tratta di individuare la cosiddetta “retta di massima pendenza” Dato un piano alfa generico, si consideri il piano gamma, proiettante in prima proiezione e che abbia la sua prima traccia perpendicolare alla prima traccia del piano alfa. La sua seconda traccia sarà ortogonale alla linea di terra. I punti di intersezione delle tracce omonime sono le tracce della retta p di massima pendenza risultato della sezione. Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

17. L’OPERAZIONE DI RIBALTAMENTO – ANGOLI IN VERA FORMA E GRANDEZZA COSTRUZIONE DELL’ANGOLO DI PENDIO DI UN PIANO ALFA GENERICO _ RETTA DI MASSIMA PENDENZA p Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

18. LA VERA FORMA DI UNA FIGURA PIANA ESEMPIO: LA FIGURA PIANA RISULTANTE DALLA SEZIONE DI UN SOLIDO CON UN PIANO GENERICO COMUNQUE INCLINATO Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

19. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO Per quanto due quadri siano sufficienti per rappresentare qualsiasi punto nello spazio, è utile in alcune rappresentazioni utilizzare un terzo quadro, detto piano di profilo, normale ai due quadri. Quadrato orizzontale avente i lati paralleli al primo e secondo quadro Trapezio parallelo al secondo quadro Cerchio verticale in posizione generica Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

20. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

21. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI

22. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI CON L’USO DEL TERZO QUADRO Cilindro retto con asse parallelo al secondo quadro ma inclinato rispetto al primo Parallelepipedo, sfera e piramide rettacon facce parallele ai tre quadri Parallelepipedo con le facce parallele ai tre quadri Parallelepipedo e piramide retta inclinata rispetto al primo e terzo quadro Lezione 3B PROIEZIONI ORTOGONALI