Meccanica 12 11 aprile 2011

1. Meccanica 1211 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

2. Urto • È un’interazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo “piccolo” • Abbastanza piccolo affinché l’azione di eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle forze interne • Durante l’urto si sviluppano forze interne di durata Dt molto breve ma che possono assumere intensità molto elevate • Queste sono dette forze impulsive

3. Tipologia • Urti in una, due, tre dimensioni • Urti fra punti materiali • Urti fra punti materiali e corpi estesi • Urti fra corpi estesi

4. Definizioni • Distinguiamo due stati: quello iniziale prima dell’urto e quello finale dopo l’urto • Ci interessa correlare i valori che le grandezze assumono negli stati iniziale e finale • Non ci occuperemo invece di quel che accade durante l’urto

5. Definizioni • Diciamo m1e m2le masse dei due corpi • Diciamo v1i , v2i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v1f , v2f nello stato finale v1i m2 m1 Stato iniziale v2i Urto v1f tempo Stato finale v2f

6. Conservazione della QM • In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve conservare • Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo

7. Teorema dell’impulso • Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo • Ciò si può anche esprimere col th. dell’impulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie

8. Sistema del CM • Fintanto che si possono trascurare le forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante • Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla • Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM • La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è • In questo sistema la QM di moto è sempre nulla

9. Conservazione della QM • Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare sostanzialmente la QM del sistema nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto • Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM

10. Conservazione della QM • Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne • Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per Dtinfinitesimo l’impulso diventa infinitesimo

11. Riassunto • Nell’urto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro • La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale

12. Energia meccanica, cinetica • Generalmente l’energia meccanica non si conserva in un urto • Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no • Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in generale non si conserva in un urto • Useremo il th. di König dell’energia cinetica

13. Urti anelastici • Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa • Un urto è elastico se K si conserva • È totalmente anelastico se la perdita di K è massima • Per sapere quando questo accade ci si pone nel sistema del CM e si richiede che l’energia cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi rimangono attaccati formando un unico corpo) urto totalmente anelastico

14. Urti anelastici • Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione • Il caso elastico corrisponde a e=1 • Il caso totalmente anelastico a e=0

15. Urto totalmente anelastico fra due corpi • Stato iniziale • Dalla definizione di CM possiamo anche scrivere • Stato finale: i due corpi si attaccano insieme • Quindi • Poiché agiscono solo forze interne, la QM si conserva, ne segue

16. Urto totalmente anelastico fra due corpi • Confrontiamo l’energia cinetica nello stato iniziale: • e nello stato finale • La perdita di energia cinetica è pari a

17. Urto elastico in 1-D • Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D, cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali, sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale) • Applichiamo la conservazione della QM • e la conservazione dell’energia cinetica

18. Urto elastico in 1-D • Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i metodi noti; otteniamo

19. Urto elastico in 2-D • Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema • Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: p1i p2i pi i p2f pf f f q p1f

20. Urto con corpi vincolati • Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante l’urto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva • Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare

21. Urto con corpi vincolati • L’impulso è uguale alla variazione di quantità di moto • L’impulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare

22. Momento angolare • Se agiscono solo forze interne al sistema dei due corpi, il MA si conserva • Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo