Meccanica 8 31 marzo 2011

1. Meccanica 831 marzo 2011 Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale Conservazione del momento angolare Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso Energia propria e interna

2. Teorema del momento angolare • Abbiamo visto nel caso di un solo punto materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema di riferimento e` inerziale, il teorema del momento angolare e`

3. Teorema del momento angolare Generalizziamo questo teorema al caso di un sistema di piu` particelle e polo fisso Deriviamo rispetto al tempo Otteniamo Cioè di nuovo

4. Teorema del momento angolare • Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu` particelle e di un polo mobile • Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo mobile Q • Otteniamo

5. Teorema del momento angolare Ricordando che l’espressione tra parentesi è il momento rispetto al polo mobile Q, otteniamo Espressione che differisce per la presenza del secondo termine da quella trovata per il polo fisso Ovviamente si ritrova quella equazione se anche Q è fisso: in tal caso il secondo termine è nullo

6. Teorema del momento angolare Esistono però altri casi in cui le equazioni per il polo mobile e per il polo fisso sono uguali Il caso più importante è quello in cui il polo coincide con il CM del sistema, in tal caso E poiché vCM e P sono proporzionali, segue

7. Teorema del momento angolare • Un altro caso e` quando il polo coincide con il punto di contatto C tra una ruota che si muove (slittando o rotolando) e una superficie di appoggio • Poiché vC e P sono paralleli, segue P C vC

8. Teorema del momento angolare • Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze (esterne) se come polo usiamo • un punto fisso in un sistema inerziale • oppure il CM del sistema (indipendentemente dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e qualunque sia il suo moto)

9. Seconda equazione della dinamica dei sistemi • Se il polo e` fisso o e` il CM • Questa e` la seconda equazione della dinamica dei sistemi • O seconda equazione cardinale della meccanica

10. Conservazione di L • Se vale l’equazione • e se il momento delle forze esterne e` nullo, allora il momento angolare si conserva • Facciamo due osservazioni: • La conservazione puo` valere anche solo in alcune direzioni (quelle in cui la componente di t e` nulla) • A seconda della situazione fisica, tpuo` annullarsi qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti opportunamente

11. Sistema di riferimento del CM • Ha origine nel CM • Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un sistema inerziale • In generale non e` inerziale pi CM ri* Ai ri rCM O • La posizione di un punto nel SCM e` • Derivando questa relazione troviamo la velocita` di un punto nel SCM

12. Sistema di riferimento del CM • La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono, ovviamente, • Ricordando la definizione di CM, valida in ogni SdR, abbiamo anche • La seconda equazione stabilisce che la QM totale del sistema e` nulla se misurata nel SCM

13. Teoremi di Koenig • 1o teorema: fornisce una relazione tra il valore del momento angolare in un sistema inerziale e nel sistema del CM • 2o teorema: fornisce una relazione tra il valore dell’energia cinetica in un sistema inerziale e nel sistema del CM

14. 1o teorema di Koenig • Confrontiamo il MA calcolato • nel SCM con polo nel CM • nel SdR inerziale con polo nell’origine O pi CM ri* Ai ri rCM O

15. 1o teorema di Koenig • Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o termine e` il MA del CM nel SdR inerziale • La relazione puo` essere letta anche • Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale

16. 2o teorema di Koenig • Calcoliamo ora l’energia cinetica

17. 2o teorema di Koenig • il 2o termine e` l’energia cinetica del CM nel SdR inerziale • La relazione puo` essere letta anche • L’energia cinetica di un corpo in un SdR inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale

18. Lavoro • Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento di un sistema di punti materiali • Per una particella il lavoro infinitesimo e` • Il lavoro finito si trova integrando il lavoro infinitesimo tra stato iniziale e finale (che possono essere diversi per ogni particella)

19. Lavoro • Per il sistema il lavoro si trova sommando su tutte le particelle • A differenza del caso della risultante dei momenti di forza agenti sul sistema, ora le forze interne danno un contributo non nullo

20. Lavoro • Raggruppando infatti le forze interne a coppie di forze coniugate secondo il 3o principio, il lavoro interno e` esprimibile come Fi Ii Fj rijF rijI Ij

21. Lavoro • Ove si e` introdotta la nuova variabile rij • In generale il prodotto scalare che compare nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli integrali o la loro somma • Il lavoro delle forze interne dipende in ultima analisi dal cambiamento delle distanze mutuetra le particelle che formano il corpo

22. Lavoro per un corpo rigido • In assenza di tali cambiamenti i lavori elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli sarebbero i lavori integrali e la somma dei lavori relativi alle diverse particelle • Questo e` il caso, particolarmente importante, di un corpo rigido: nessun cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo

23. Energia cinetica • Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una particella singola, avevamo trovato l’equazione • Integrando tra stato iniziale e finale • e sommando su tutte le particelle

24. Energia cinetica • Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un sistema e` uguale alla variazione di energia cinetica del sistema tra stato iniziale e finale • Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro delle forze esterne e interne, in generale entrambi diversi da zero Teorema dell’energia cinetica per corpo esteso

25. Energia potenziale • Se le forze sono tutte conservative, il lavoro e` esprimibile in termini di energia potenziale • Integrando tra stato iniziale e finale • E sommando su tutte le particelle • Definendo l’energia potenziale totale • troviamo

26. Conservazione dell’energia meccanica • Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e esterne • Ricordando il teorema dell’energia cinetica, otteniamo • Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di conservazione dell’energia meccanica E per un corpo esteso

27. Forze non conservative • Se sono presenti forze non conservative, possiamo estendere il ragionamento fatto per una singola particella • Ottenendo • Cioe` la variazione di energia meccanica e` uguale al lavoro delle forze non conservative

28. Energia propria • Energia meccanica: • Separando i contributi delle forze interne ed esterne • E non rappresenta una caratteristica del solo sistema, perche’ contiene anche le interazioni con l’ambiente • Per tener conto di questo, si definisce l’energia propria

29. Energia interna • Tenuto conto che l’energia cinetica dipende dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere • Avendo definito l’energia interna • L’energia interna e` l’energia propria nel SdR del CM, ove assume il valore minimo