Meccanica 2 1 marzo 2011

1. Meccanica 21 marzo 2011 Cinematica in una dimensione Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico

2. Cinematica del punto materiale • E ` la parte piu` elementare della meccanica: studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause • Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo • Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione • Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate: • Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z • Polare (2 dimensioni): r, f • Cilindrico (3 dimensioni): r, f, z • Sferico (3 dimensioni): r, q, f

3. Cinematica • Conoscere il moto significa conoscere ogni coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria: • x(t), y(t), z(t) • r(t), f(t) • r(t), f(t), z(t) • r(t), q(t), f(t) • Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo • Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento al tempo

4. Traiettoria e legge oraria • P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1a legge di Keplero): • Questa e` una funzione r(f) e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate r e f (un’ellisse per la precisione) • Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarier(t), f(t)

5. Cinematica • Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e` pero`, in generale, cosa facile • Nelle pagine seguenti saranno introdotte due grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione • Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni: • Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni

6. Cinematica • Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono • Spazio – s, l, x, r… • Tempo - t • Velocita` - v • Accelerezione - a

7. Moto rettilineo • Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari • Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria • Il moto del corpo e` descrivibile con una sola funzione x(t) • La funzione puo` essere rappresentata sul cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x O O x t

8. Velocita` • Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x1 al tempo t1 e nella posizione x2 al tempo t2 • Lo spostamento e` la differenza delle posizioni: Dx=x2 -x1 • L’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: Dt=t2 -t1 • La velocita` media e`, per definizione, il rapporto:

9. Esercizi • Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale • Trovare la velocita` media di un’auto che percorre una distanza L a 180 km/h e la successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h

10. Velocita` • Immaginiamo di considerare intervalli di tempo sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero • La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite: • Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo • La velocita`, in generale, e` funzione del tempo: v=v(t) • Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme

11. Relazioni tra posizione e velocita` • Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due: • ovvero • La relazione inversa e` la relazione integrale • Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p.e. nel moto uniforme) • x-x0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti

12. Relazione tra velocita` media e istantanea • Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita` istantanea: • Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita` istantanea

13. Moto rettilineo uniforme • Lo spazio e` funzione lineare del tempo • La velocità istantanea è uguale alla velocità media:

14. Accelerazione • Quando la velocita` varia nel tempo il moto e` detto accelerato • Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto: • E come accelerazione istantanea il limite: • Ovvero la derivata della velocita` rispetto al tempo

15. Accelerazione • L’accelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t) • Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato

16. Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale • Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo:

17. Relazioni tra velocita` e accelerazione • Abbiamo visto la relazione differenziale tra le due: ovvero • La relazione inversa e` la relazione integrale • Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel moto uniformemente accelerato)

18. Moto rettilineo uniformemente accelerato • La velocità e` funzione lineare del tempo • L’accelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media: • Lo spostamento è funzione quadratica del tempo:

19. Moto di un grave nel campo di gravità • Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove verso il basso con un’accelerazione costante g=9.8 m/s2 • Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato • Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse xrivolto verso l’alto, l’accelerazione a è negativa: a=-g

20. Moto di un grave nel campo di gravità • Specifichiamo le formule per il moto uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x0=h, v0=0, t0=0 • La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0:

21. Moto di un grave nel campo di gravità • Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra: • Spesso si omette il segno meno: • intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita`

22. Moto armonico • In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione: • Ove compaiono tre costanti: • A l’ampiezza • w la pulsazione • f la fase iniziale (cioe` al tempo 0) • Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t1, t2, che soddisfano la relazione seguente • corrispondera` uno stesso valore della coordinata

23. Moto armonico • Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo • Questa relazione e` molto importante perche’ lega la pulsazione al periodo: • La frequenza e` l’inverso del periodo:

24. Soluzione di equazioni differenziali • Risolvere l’equazione differenziale che definisce la velocita` • significa passare dalla funzione v alla funzione x • Similmente, risolvere l’equazione differenziale che definisce l’accelerazione • significa passare dalla funzione a alla funzione v • Questo passaggio vien fatto mediante un’operazione di integrazione, per cui si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere

25. Soluzione di equazioni differenziali • Piu` in generale risolvere un’equazione differenziale significa abassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni • Questo accade quando, p.e., l’accelerazione e` nota non in funzione del tempo, ma della posizione

26. Accelerazione come funzione della posizione • Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x) • Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di definizione dell’accelerazione per la velocita`: • Integriamo ambo i membri rispetto a t: • Ricordiamo che dalla definizione di velocita`

27. Accelerazione come funzione della posizione • Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v: • A conti fatti otteniamo: • Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro, abbiamo abbassato l’ordine di derivazione dell’equazione • Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v:

28. Un esempio importante • Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile come segue: • Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione • Applicando la formula generale, abbiamo: • Risolvendo rispetto a v:

29. Un esempio importante • Abbiamo integrato un’equazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo ordine • Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili • e integriamo tra la posizione x0 e la posizione generica x:

30. Un esempio importante • L’integrale di destra e` immediato • L’ integrale al centro lo troviamo su una tabella • E quindi • Risolvendo infine rispetto a x • Ritroviamo cioe` il moto armonico

31. Moto armonico • Possiamo calcolare la velocita` nel moto armonico • E l’accelerazione • Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione • Ovvero tale relazione e` valida se e solo se il moto e` armonico

32. Esercizi • 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v0 dall’altezza h1 • Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra • 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo Dt tra t1=2s e t2=5s • Trovare a) la velocita` media in Dt; b) l’accelerazione media in Dt; c) lo spazio percorso in Dt

33. Esercizi • 3) dato un moto armonico • Determinare le costanti A e f in base alle condizioni iniziali • 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false