Geoinformation II

Geoinformation II Vorlesung 6 SS 2000 Konstruktion der Voronoi-Diagramme II

Übersicht I • Divide and Conquer: Merge • Konstruktion des Voronoi-Diagramms • „Merge“ • Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2) • Tangente von CH(P1)  CH(P2) • Nochmals zur konvexen Hülle CH • Tangente • Nachfolger - Bestimmung • Nachfolger • Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Übersicht II • Extrempunkte • 2 vertikal monotone Kantenzüge • Tangente • Bestimmung des Nachfolgers • Bestimmung des Nachfolgers • Bestimmung des Nachfolgers • Bestimmung des Nachfolgers • Konvexe Hülle • Bestimmung des Nachfolgers • Konvexe Hülle Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Übersicht III • Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten • Vereinigung • Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten • Länge des Kantenzuges im Worst Case • Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case • O(n) * O(n) = O(n2) ? • „Investitionen müssen sich amortisieren“ Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Divide and Conquer: Merge Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ • Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten • Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 • Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2) • Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

„Merge“ • Die Voronoi-DiagrammeVD(P1) und VD(P2) sind bereits berechnet. • Die konvexen Hüllen CH(P1) und CH(P2) seien ebenfalls an dieser Stelle bekannt. 1.Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte und die beiden oberen und unteren Tangenten von CH(P1)CH(P2) 2. KonstruiereCH(P1P2) 3. Bilde die Mittelsenkrechten zu den beiden neu eingeführten Kanten 4. Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten 5. Entferne die überstehenden Kanten 6. Bilde die neu entstandenen Voronoi-Regionen (Maschen) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

max y max y min y min y Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Tangente von CH(P1)  CH(P2) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. • Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. • Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. • Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. • P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist. Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Tangente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Nachfolger - Bestimmung P1 Winkel minimal P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Nachfolger P1 Winkel minimal P2 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen • Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P1), CH(P2) und CH(P1)  CH(P2) • Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1höher als Q1 • Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel • Fälle: • P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig • P1 P2 minimal: ersetze P1durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) • P1 Q2 minimal: ersetze Q1durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) • Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Extrempunkte Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

2 vertikal monotone Kantenzüge Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Tangente Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Bestimmung des Nachfolgers Winkel nicht minimal Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Bestimmung des Nachfolgers Winkel minimal Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Konvexe Hülle Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Bestimmung des Nachfolgers Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Konvexe Hülle Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Mittelsenkrechte bilden Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten • gegeben: die beiden oberen und unteren Mittelsenkrechten g und g* • die zugehörigen oberen Voronoi-Regionen seien P und Q • Solange die untere Mittelsenkrechte noch nicht erreicht ist • Bestimme für die aktuelle Mittelsenkrechte • die Austrittspunkte p und q aus den aktuellen Voronoi-Regionen, • die zugehörigen Kanten • die zugehörigen Nachbarn P‘ und Q‘ • wenn p höher ist als q • ersetze P durch P‘ und schneide g an der Stelle p ab • wenn q höher als p • ersetze Q durch Q‘ und schneide g an der Stelle q ab • bestimme die aktuelle Mittelsenkrechte g des neuen Paares P, Q Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n) Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

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