Geoinformation II 6. Sem.

1. Geoinformation II6. Sem. Vorlesung 5 11. Mai 2000 Konstruktion des Voronoi-Diagramms

2. Voronoi Regionen (Wdhg.) beschränkte VoronoiRegionen unbeschränkte VoronoiRegionen Die konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex!

3. Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen (Wdhg.) • Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis • Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten • Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) • Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle • Der „duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation

4. Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ • Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten • Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 • Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2) • Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2) • Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal Die gewünschte Laufzeit O(n * log n) wird erreicht, wenn „ Split“ and „ Merge“ nicht mehr als O(n) Schritte benötigen, Was ist das schwierigste Teilproblem?

5. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Split P2 P1

6. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion I

7. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Rekursion II

8. Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

9. Teilschritte von „Divide and Conquer“ • Input: Sortiere aufsteigend nach x-Koordinate • Split: • Bestimme den Median • Zerlege in annähernd gleich große Teilmengen links und rechts des Medians • Merge • Konstruktion des trennenden Kantenzuges • Abschneiden überflüssiger Kanten • Bildung der Voronoi-Regionen (wie bei Overlay-Algorithmus) • Einfachster Fall von Merge: die Teilmengen enthalten je einen Punkt • der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte dieser Punkte

10. P2 P1 Split P

11. VD( P2 )

12. VD( P1 )

13. Merge

14. Konstruktion des trennenden Kantenzuges Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? • monoton in Nord-Süd-Richtung • jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region • Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte • die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen • sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle • beginnen wir also mit den beiden (grünen und roten) „Nordspitzen“

15. max y max y min y min y Konvexe Hülle von P1 und P2

16. max y max y min y min y Konvexe Hülle von P1 und P2

17. Konstruktion der Nord- und Südspitzen • die konvexe Hülle ist Abfallprodukt der Erzeugung des Voronoi-Diagramms • synchrone Herleitung beider Strukturen • die konvexe Hülle ergibt sich aus den Teilstrukturen durch Einfügen zweier zusätzlicher Kanten • diese verbinden die roten und grünen Nord- und Südspitzen miteinander • die neuen Spitzen ergeben sich aus den Minima/Maxima der alten rot-grünen Spitzen • Datenstruktur wie bei Overlay (doppelt verkettete Kanten) • zusätzlicher Aufwand: O(1)

18. Vereinigung Mittelsenkrechte bilden

19. Vereinigung

20. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

21. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD

22. Vereinigung Aktive Voronoi-Diagramme Schnittpunkte mit Seg-menten suchen Neues aktives VD Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD

23. Vereinigung Schnittpunkte suchen

24. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

25. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

26. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

27. Vereinigung Schnittpunkte suchen

28. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

29. Vereinigung Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

30. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

31. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

32. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

33. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

34. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

35. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

36. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

37. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Mittelsenkrechte deraktiven VD

38. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen

39. Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen Neues aktives VD suchen Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang

40. Vereinigung

41. Löschen der überflüssigen Segmente

42. Löschen der überflüssigen Segmente

43. Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

44. Datenstruktur für Voronoi-Diagramm • Doppelt verkettete Kantenliste • Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit • Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

45. Kosten • wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges? • Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges • Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen

46. Länge des Kantenzuges im Worst Case O(n)

47. Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case O(n)

48. O(n) * O(n) = O(n2) ? war jetzt alles umsonst? Kantenzug ist monoton Voronoi-Regionen sind konvex

49. O(n) * O(n) = O(n2) ? Keine Kante öfter als zwei mal anfassen! Voronoi-Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton

50. „Investitionen müssen sich amortisieren“ • Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ • Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n) • Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden • Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!