- Conjuntos: noções básicas e operações -Funções e relações - Sequências

1. -Conjuntos: noções básicas e operações-Funções e relações-Sequências Monitoria de Matemática Discreta Denise Jaeger Tenório (djt) www.cin.ufpe.br/~djt/monitoriadis

2. Conjuntos – noções básicas Os objetos de um conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto. Dizemos que um conjunto A contem seus elementos. Três maneiras de descrever um conjunto: Listando seus elementos Definindo uma propriedade Definição recursiva

3. Conjuntos – Diagrama de Venn

4. Conjuntos • Para dois conjuntos serem iguais, basta terem os mesmos elementos. • Não importa a ordem. • Nem a repetição. {w,d,e,f,g,f} = {d,e,f,g,g,g,w}

5. Conjuntos – Outras definições • Subconjunto • Subconjunto Próprio • Cardinalidade • Conjunto das partes • Produto Cartesiano

6. Conjuntos - Operações Básicas • União (A U B) • Interseção (A ∩ B) • Pode-se subtrair conjuntos (A - B) (complemento de A em relação a B) • Complemento, “não A” • Conjuntos disjuntos – interseção é vazia. • As operações entre conjuntos são idênticas aos operadores lógicos.

7. Conjuntos - Identidades

8. Questões

9. Função • Uma função f de A em B é um subconjunto de A x B onde cada elemento de A aparece exatamente uma única vez como componente de um par ordenado. A é o domínio e B o contradomínio da função. • Se f é uma função de A em B, escrevemos f : A →B.

10. Função • Sobrejetora • Injetora • Bijetora • Inversa f−1(b) = a. • Composta (f 0 g)(a) = f (g(a)) • Função chão e teto.

11. Função - exercícios

12. Sequência • Uma sequência é uma estrutura discreta usada para representar listas ordenadas. • Uma sequência possui uma fórmula ou regra geral para construir a ordem dos termos. • Elementos : a1, a2, a3 ... an

13. Relações - definição • Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S (relação binária), ou seja, um subconjunto de S x S. • Representação: • R = {(x,y)| x e y  S e “condição”} • xRy ↔ x,y  S e “condição”. • Listando seus elementos ex.: R1 = {(a,a),(d,s)} • Usando Matriz de bits

14. Relações - Propiedades • Reflexiva – se (a,a)  R para todo elemento a  A • Simétrica – (a,b)  R → (b,a)  R para a,b  A • Anti-simétrica – (a,b)  R Λ (b,a)  R → a = b • Transitividade – (a,b)  R Λ (b,c)  R → (a,c)  R

15. Relações - Propiedades • Uma relação em um conjunto A é chamada de relação de equivalência se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. • Ex.: S = {a,b,c,d} • R1 = {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)} • R 2= {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(a,c),(b,c),(c,a),(c,b)} • Ex2: ((a, b), (c, d))  R ↔ad = bc

16. Questões • Construa um conjunto S com as letras: {a,b,c}. Para cada caso abaixo, apresente uma relação binária R em S que satisfaça às condições pedidas. Caso haja alguma situação onde não é possível construir a relação, justifique. a) R é reflexiva e simétrica, mas não é transitiva. b) R é irreflexiva e anti-simétrica, mas não é transitiva. c) R é irreflexiva, simétrica e transitiva.