Didáctica da Álgebra

1. Didáctica da Álgebra João Pedro da Ponte Metodologia do Ensino da Matemática Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 14.Fev.2005

2. Resumo • A Álgebra como parte da Matemática • A Álgebra no currículo de Matemática • A Álgebra no currículo de Matemática em Portugal • A Álgebra nos Principles and standards 2000 do NCTM

3. 1.A Álgebra como parte da Matemática

4. O que é a Álgebra? Historicamente • Resolução de problemas • Antiguidade: Egipto, Babilónia, China, Índia... • Papiro do Amhes/Rhind • Diofanto • Resolução de equações (“algébricas”) • 1º grau: • 2º grau: (Brahmagupta, 598-665, al-Khwarizmi, c 800) • 3º grau: (Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano, 1520s) • 4º grau: (Ferrari, 1520s) • Teorema Fundamental da Álgebra (Argand, 1814/Gauss 1816) • Impossibilidade de solução geral para equações de grau superior ao 5º: (Galois, 1832) • Estudo de estruturas abstractas • grupo, espaço vectorial, anel, corpo, conjunto ordenado...

5. O que é a Álgebra? Epistemologicamente • Raciocínio que se processa a um nível abstracto com recurso à simbolização e às operações com símbolos, • Quais são os objectos? • Na Álgebra são relações matemáticas abstractas (equações, estruturas definidas por operações em conjuntos), • Na Geometria são pontos, rectas/segmentos/figuras, planos/poliedros • Na Análise são processos infinitos (que geram infinitésimos, infinitamente grandes, etc. • Na Aritmética são números (naturais/racionais) e suas operações.

6. Simbolização Aritmética • Símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, +, - x, :, =, 23 Álgebra • Novos símbolos: x, y • Mudança do significado do: = • Outros símbolos: <, >, , { • Símbolos para operações abstractas: θ, σ, ω, φ, μ, η, λ... A simbolização é muito importante em Álgebra mas não é um exclusivo da Álgebra

7. Cinco tipos de equações...(Usiskin, 1988) • A = LW • 20 = 5x • sin x = cos x tan x • y = kx Fórmula Equação para resolver Identidade Propriedade Equação (ou função) de proporcionalidade directa (não é para resolver)

8. Simbolismo, sim ou não? O valor do simbolisno • O simbolismo algébrico não tem rival no seu poder de "aglutinar as ideias concebidas operacionalmente em agregados compactos e, por isso, no seu potencial, para tornar a informação mais fácil de compreender e manipular" (Sfard e Linchevski, 1994). O perigo do simbolismo • Quando perdemos de vista o significado do que os símbolos representam e damos apenas atenção aos símbolos (formalismo) (Davis & Hersh, 1995).

9. O “symbol sense”(Arcavi, 1994) • An understanding of and an aesthetic feel for the power of symbols, • A feeling for when to abandon symbols in favour of other approaches, • An ability to manipulate and to "read" symbolic expressions as two complimentary aspects of solving algebraic problems, • The awareness that one can successfully engineer symbolic relationships, • The ability to select a possible symbolic representation of a problem, • The realization of the constant need to check symbol meanings, • Sensing the different roles symbols can play in different contexts.

10. O que é a Álgebra actual? Em Matemática, actualmente, a Álgebra é vista como... • Generalização e formalização de padrões e restrições, especialmente, mas não exclusivamente, como pensamento aritmético generalizado e como pensamento quantitativo generalizado, • Manipulação sintacticamente guiada de formalismo (opaco), • Estudo de estruturas abstraídas de cálculos e relações, • Estudo de funções, relações e variação conjunta, • Agregado de linguagens de modelação e de controlo de fenómenos. (Kaput, 1999)

11. 2.Problemas relativos ao papel da Álgebra no currículo de Matemática

12. Três grandes correntes na “álgebra clássica” Expressões e manipulação de expressões • Monómios, polinómios, fracções algébricas, radicais. Equações, sistemas, desigualdades • Equações numéricas e literais do 1º grau, 2º... • Sistemas, desigualdades. Funções (pre-calculus) • Linear, afim, • Proporcionalidade inversa, • Quadráticas, • Homográficas, • Irracionais.

13. O que é o pensamento algébrico?(Lins e Giménez, 1997) Visão “letrista” • Versão “pobre”: Aprender a manipular os símbolos (por treino e prática), • Versão “melhorada”: Aprender a manipular correctamente os símbolos, recorrendo a apoios intuitivos (a balança...). Álgebra como Aritmética generalizada • A Álgebra é a Aritmética generalizada (John Mason, Carolyn Kieran). Visão “estruturalista” • Centrar a atenção nas estruturas algébricas abstractas (Z. P. Dienes). Álgebra como actividade • A partir do contexto (Jan de Lange, Paolo Boero), • Por actividade investigativa (Boero, Alan Bell).

14. Problemas relativamente ao papel da Álgebra no currículo Qual o conceito central? • Expressão algébrica? • Equação? • Função? (Chazan & Yerushalmy, 2003). • Estrutura algébrica? Qual o papel das situações “reais”? • Irrelevante, • Campo de aplicação, • Ponto de partida da aprendizagem (Jan de Lange). Qual o papel da tecnologia? • Proibida, • Permitida depois de se aprender pelo método tradicional, • Instrumento de exploração. Qual a actividade dos alunos? • O que predomina: exercícios, modelações, explorações, investigações...?

15. Potencialidades e problemas da tecnologia Potencialidades • A tecnologia como a calculadora gráfica, que liga expressões e gráficos, pode dar aos alunos feedback visual que enfatiza os vários significados de equivalência, • A tecnologia realiza o trabalho mecânico e favorece a realização de explorações e investigações. Problemas • As representações gráficas não são transparentes... Compreendê-las e usá-las pressupõe uma aprendizagem não trivial, • Tal como implementado na tecnologia como a calculadora gráfica, surge uma tensão entre o currículo usual e a tecnologia. (Chazan & Yerushalmy, 2003)

16. Currículo pré-matemática moderna 3º ciclo • Operações com monómios e polinómios, casos notáveis, • Equações numéricas e literais do 1º grau, • Sistemas de equações do 1º grau, • Função afim. Secundário • Equação do 2º grau, • Expressões algébricas racionais e com radicais, • Inequações do 1º e 2º grau, • Equações racionais e irracionais, • Funções quadráticas.

17. 3.A Álgebra no currículo de Matemática em Portugal

18. Currículo da matemática moderna 3º ciclo • Operações com monómios e polinómios, casos notáveis, • Equações numéricas e literais do 1º grau, • Sistemas de equações do 1º grau, • Relações binárias, • Função afim. • Secundário • Equação do segundo grau, • Expressões algébricas racionais e com radicais, • Inequações do 1º e 2º grau, • Equações racionais e irracionais, • Funções quadráticas.

19. Currículo português actual 3º ciclo (1992) • Equações numéricas e literais do 1º grau, • Operações com monómios e polinómios, • Sistemas de equações do 1º grau, • Equação incompleta do 2º grau, • Função afim, • Proporcionalidade inversa, • Equação (completa) do segundo grau, Secundário (de 2002, com início em 2003) • Expressões algébricas racionais e com radicais, • Inequações do 1º e 2º grau, • Equações racionais e irracionais, • Funções quadráticas.

20. Currículo nacional(DEB-ME, 2001) • A predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em contexto numérico e geométrico, • A aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos, • A aptidão para interpretar e construir tabelas de valores, gráficos, regras verbais e outros processos que traduzam relações entre variáveis, assim como para passar de umas formas de representação para outras, • A aptidão para concretizar em casos particulares relações entre variáveis e fórmulas para procurar soluções de equações simples, • A sensibilidade para entender e usar as noções de correspondência e de transformação em situações concretas diversas.

21. 4.A Álgebra nosPrinciples and standards 2000 do NCTM

22. NCTM 2000 - geral • Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas), • Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos algébricos (Simbolização), • Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas (Modelação), • Analisar mudança em diversas situações (Estudo da variação).

23. NCTM – K-2 1. Compreender regularidades, relações, e funções: • seleccionar., classificar e ordenar objectos por tamanho, número e outras propriedades, • reconhecer, descrever e continuar padrões tais como sequências de sons e formas ou simples padrões numéricos e traduzir de uma representação para outra, • analisar como tanto os padrões de repetição e crescimento são gerados. 2. Representar e analisar situações matemáticas e estruturas usando símbolos algébricos: • ilustrar princípios e propriedades gerais das operações, tais como a comutatividade, usando números específicos, • usar representações concretas, imagens (pictorial) e verbais para desenvolver uma compreensão de notações inventadas ou convencionais.

24. NCTM – K-2 3. Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas: • modelar situações que envolvem a adição e subtracção de números inteiros, usando objectos, imagens e símbolos. 4. Analisar a mudança em vários contextos: • descrever mudança qualitativa, tal como um aluno crescendo em altura, • descrever mudança quantitativa, tal como um aluno crescendo 5 centímetros em altura num ano.

25. NCTM – 3-5 1. Compreender regularidades, relações, e funções: • descrever, continuar, e fazer generalizações acerca de padrões geométricos e numéricos, • representar e analisar padrões e funções, usando palavras, tabelas e gráficos. 2. Representar e analisar situações matemáticas e estruturas usando símbolos algébricos: • identificar propriedades tais como a comutativa, associativa e distributiva e usá-las para calcular números inteiros, • representar a ideia de de uma variável como uma quantidade desconhecida usando uma letra ou um símbolo, • expressar relações matemáticas usando equações.

26. NCTM – 3-5 3. Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas: • modelar situações problemáticas com objectos e usar representações tais como gráficos, tabelas, e equações para chegar a conclusões. 4. Analisar a mudança em vários contextos: • investigar como uma mudança numa variável se relaciona com uma mudança numa segunda variável, • identificar e descrever situações com taxas de variação constantes ou variáveis e compará-las.

27. NCTM – 6-8 1. Compreender regularidades, relações, e funções • representar, analisar, e generalizar uma variedade de padrões com tabelas, gráficos, palavras e, quando possível, regras simbólicas, • relacionar e comparar diferentes formas de representação para uma relação. • identificar funções como lineares ou não lineares e contrastar as suas propriedades a partir de tabelas, gráficos e equações. 2. Representar e analisar situações matemáticas e estruturas usando símbolos algébricos: • desenvolver uma compreensão conceptual inicial para os diferentes usos de variáveis, • explorar relações entre expressões simbólicas e gráficos de rectas, prestando particular atenção ao significado da abcissa e ordenada na origem e declive,

28. NCTM – 6-8 • usar Álgebra simbólica para representar situações e resolver problemas, em especial os que envolvem relações lineares, • reconhecer e gerar formas equivalentes de expressões algébricas simples e resolver equações do 1º grau. 3. Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas: • modelar e resolver problemas contextualizados usando várias representações tais como gráficos, tabelas, e equações. 4. Analisar a mudança em vários contextos: • usar gráficos para analisar a natureza de mudanças de quantidades em relações lineares.

29. NCTM – 9-12 1. Compreender regularidades, relações, e funções • generalizar regularidades usando funções definidas explicitamente e recursivamente, • compreender relações e funções e seleccionar, converter e usar várias representações destes objectos matemáticos, • analisar funções de uma variável investigando taxas de mudança, intersecções com os eixos, zeros, assímptotas, e o comportamento local e global, • compreender e executar transformações tais como combinação aritmética, composição e inversão de funções usuais, usando a tecnologia para executar tais operações em expressões simbólicas mais complicadas, • compreender e comparar as propriedades das classes de funções, incluindo funções exponenciais, polinomiais, racionais, logarítmicas, e periódicas, • interpretar representações das funções de duas variáveis.

30. NCTM – 9-12 2. Representar e analisar situações matemáticas e estruturas usando símbolos algébricos • compreender o significado de formas equivalentes das expressões, equações, desigualdades e relações, • escrever formas equivalentes das equações, desigualdades e sistemas das equações e resolvê-las fluentemente – mentalmente ou com papel e lápis em casos simples e usando tecnologia em todos os casos, • usar álgebra simbólica para representar e explicar relações matemáticas, • usar uma variedade de representações simbólicas, incluindo equações recorrentes e paramétricas, para funções e relações, • julgar o significado, a utilidade, e a razoabilidadedos resultados das manipulações simbólicas, incluindo as realizadas pela tecnologia.

31. NCTM – 9-12 3. Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas: • compreender o significado de formas equivalentes das expressões, equações, desigualdades e relações; identificar as relações quantitativas essenciais numa situação e determinar a classe ou classes das funções que puderam modelar essas relações, • usar expressões simbólicas, incluindo formas iterativas e de recorrência, para representar as relações que surgem em vários contextos, • tirar conclusões razoáveis sobre uma situação que está sendo modelada. 4. Analisar a mudança em vários contextos: • aproximar e interpretar taxas de mudança de gráficos e dados numéricos.

32. Bibliografia específica Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35. Chazan, D., & Yerushalmy, M. (2003). On appreciating the cognitive complexity of school algebra: Research on algebra learning and directions of curricular change. In J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Shifter (Eds.), A research companion to Principles and standards for school mathematics (pp. 123-135). Reston, VA: NCTM. Davis, P., & Hersh, R. (1995).A experiência matemática. Lisboa: Gradiva. Lins, R. C., & Gimenez, J. (1997).Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus. Sfard, A., & Linchevsky, L. (1994). The gains and piftals of reification: The case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228.