1 / 48

LOGIKA 6. Előadás

LOGIKA 6. Előadás. Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehetőség : aszt.inf.elte.hu /~szilagyi / szilagyi@ aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA

aricin
Download Presentation

LOGIKA 6. Előadás

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. LOGIKA 6. Előadás Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

  2. Elérehetőség: • aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ • szilagyi@aszt.inf.elte.hu Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/0046_a_matematikai_logika_alkalmazasszemleletu_targyalasa/adatok.html TECHNIKAI ADATOK

  3. Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Normálformák • Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • Szemantika • 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz) • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

  4. ἈριστοτέληςΠλάτωνΕὐκλείδης (i.e. 384-322) (i.e 427.) (i.e300.) szillogizmus) ideatan, filozófus geometria axiomatizálás FEJTÖRŐ

  5. Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) • Szintaxis • abc, term, formula, szintaktikai definíció, • egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió • Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése • Logikai összettetség • Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens • Változó átnevezés, Termhelyettesítés • Szemantika • Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész) • változó kiértékelés(  ) •  L-értékelés (term és formula) • Term és formula értéktáblája • Quine-féle táblázat • Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia • 1. rendű logikai törvények • Szemantikus következmény • Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció) TEMATIKA

  6. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Abc Logikai rész: • , , , , , ,  • Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak • Elválasztó jelek („(„ „)”) • (ítélet változók) Logikán kívüli rész: • Függvény, predikátum és konstans szimbólumok • Elemfajták halmaza Abc

  7. Abc

  8. Hogyan nézne ki az a azonos b-vel formalizálása másodrendű logikai nyelvén? FEJTÖRŐ

  9. Abc, szignatúra

  10. Példa: Term: f(x,f(c,y)) • f: függvényszimbólum : U x U U • c: konstansszimbólum: c ϵ U • x: indivíduum változó: U elemeit futja be Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3)) • f: függvényszimbólum: U x U x U U • c: konstansszimbólum • x, y1,y2,y3: indivíduumváltozók: U elemeit futják be • H: predikátum szimbólum: U {i,h} • S: predikátum szimbólum: U x U {i,h} Abc, term, formula

  11. A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).   • Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni. • Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát. • Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk. • Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük: Emlékeztető: Formula • minden ítéletváltozó ( Vv)  JFF • ha AJFF akkor AJFF • ha A,BJFF akkor (A○B)JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állításÖsszetett állítás interpretáció Boole-értékelés { i , h } { i , h } Formula jelentése mindig igazságérték! SZEMANTIKA: Zérusrendben

  12. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I + -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  13. A leíró nyelv ábécéje (Vv) A logikai jelkészlet: • az indivíduumváltozók, • az egyenlőségreláció neve (=), • a logikai összekötőjelek és a • kvantorok • kiegészítő elemek az elválasztójelek. A nem logikai jelkészleta relációk, műveletek és a konstansok nevei. Az  = <Tp, Pr,, Fn, Kn>struktúra egy logikai nyelv megadását jelenti, ahol • Tp: típusok halmaza • Pr: Predikátum szimbólumok halmaza • Fn: függvényszimbólumok halmaza • Kn: konstansok halmaza (kitüntetett U-beli elemek) (1,2,3): a struktúra szignatúrája Mindezeket interpretálni kell! Itt nem csak a változókat kell interpretálni! 1. Interpretáció: 1. rendben

  14. Az Interpretáció első rendben a következők megadását jelenti: 1. Individuum változók milyen individuum halmazt (univerzum) futnak be 2. Konstans szimbólumok: melyik individuumokat jelölik 3. Függvényszimbólumok: milyen matematikai műveleteket (függvényeket) jelentenek 4. Predikátumszimbólumok: milyen matematikai relációkat (predikátumokat / logikai függvényeket) jelentenek Kell hozzá keresni egy megfelelő matematikai struktúrát! 1. Interpretáció: 1. rendben

  15. Matematikai struktúra Az (U; R; M; C) négyes matematikai struktúravagy modell, ahol: • U nem üres halmaz, az értelmezési tartomány, univerzum, vagy individuumhalmaz, • R az U-n értelmezett (alap) relációk (logikai függvények/leképezések) halmaza: Un{i,h} • M az U-n értelmezett (alap)műveletek (matematikai függvények/leképezések) halmaza: UnU. • C pedig U-beli elemek halmaza 1. Interpretáció : matematikai struktúra

  16. Definíció: A struktúra szignatúrája Az (U; R; M; C) matematikai struktúraszignatúrájaa 1,2,3 hármassal jellemezhető, ahol: • ha RR és R: Un{i,h}, akkor 1(R)=n • ha FFés F: UnU, akkor 2(F)=n • a 3 megadja C elemeinek számát. Definíció: A struktúra típusa A struktúra típusa- a szignatúra egy másik megadási módja. A típus megadásának az a módja, hogy az univerzum megadása után az alaprelációk , és az alapműveletek aritásának, majd pedig a konstansoknak a felsorolása történik meg: <U; r1, r2, …, rn; m1, m2, …, ms; c1, c2, …, cq> 1. Interpretáció : matematikai struktúra

  17. Definíció: Interpretáció Az L(Vv) =<Tp, Pr, Fn, Kn, > =  elsőrendű logikai nyelvnek egy az L nyelvvel azonos szignatúrájú S = <U, R, M, C> matematikai struktúrával történő I interpretációja az: I= <ISrt, IPr. IFn, ICnst> függvénynégyes, ahol - ISrt: U Ha Srt egyelemű, akkor az interpretáció U univerzuma egyfajtájú elemekből áll. - IPr: P PI , ahol PI a struktúra R halmaza - IFn: ffI , ahol fI a struktúra M halmaza -ICnst: ccI , ahol cI a struktúra K halmaza 1. Interpretáció : logikán kívüli rész

  18. A formalizált egyfajtájú nyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat. 1. Interpretáció: logikán kívüli rész Megjegyezzük, hogy ha egy elsőrendű logikai nyelvben az egyenlőség (=) predikátumszimbólum is szerepel, szokás a nyelvet egyenlőségjeles elsőrendű nyelvnek is nevezni.

  19. A formalizált többfajtájúnyelv abc-je és a matematikai struktúra közötti kapcsolat. 1. Interpretáció: logikán kívüli rész

  20. Nyelv szignaturája: <P1, P2, …, Pn; F1, F2, …, Fk; m1,…, mn;mn+1…, mn+k , k1, k2, …, kq> I Struktúra szignaturája: <U, R1, R2, …, Rn; M1, M2, …, Mk;m1,…, mn; mn+1…, mn+k c1, c2, …, cq>  x,y, ... Individum változók A formalizált egyyfajtájúnyelv szignaturájaés a matematikai struktúra szignaturájaközötti kapcsolat. 1. Interpretáció : szignaturák

  21. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I + -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  22. Definíció: : változó kiértékelés(  ) : VU, ahol V: indivíduum változók halmaza, U: univerzum |x|I, jelöli: az U univerzumbeli (x) individuumot V U u2 x  2. Változó kiértékelés: indivíduum változók u1 y

  23. 1. Interpretáció (I) + 2. változó kiértékelés (  ) + 3.  L-értékelés (I +  -n alapuló) Szemantika: 1 rendben

  24. A L-értékelés Egy olyan leképezés, amely egy formulához hozzárendeli annak jelentését: {i,h}. A formula valamely L(Vv) = <Tp, Pr , Fn, Kn, > formalizált nyelven íródott 1. lépés. Választunk egy S = <U, R, M, C> matematikai struktúrát, amelynek a típusa megegyezik az L nyelv típusával 2. lépés.  a logikán kívüli szimbólumokat a megfelelő relációkkal illetve műveletekkel azonosítjuk (I) 3. lépés.  Kiértékeljük a formulában szereplő termeket, a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett 4. lépés.  Kiértékeljük a formulát a nem kötött változóinak az összes lehetséges  változókiértékelése mellett L-értékelés: Informális (I, )

  25. Definíció: Termek  = I, L-értékelése 1. xsindividuumváltozó: |xs|I, a (x)U ( egy változókiértékelés) c konstansszimbólum: |c|I, az U-beli cI elem. 2. |f(t1, t2, ..., tn)| I, = fI (|t1| I, , |t2| I, , ..., |tn|I, )  L-értékelés (term)

  26. Példa: logikai nyelvstruktúra nyelve I: L= (=, P1, P2 ; a, b, f1, f2) S= N ( =, <, > ; 0, 1, +, * ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) (2, 2, 2 ; 0, 0, 2, 2 ) •  = I, Term interpretációja: t = (f1(x, f2(x,y)))  = f1 (x, f2 (x,y)) = + ( x, * (x ,y)) = x+ x*y  L-értékelés (Példa: term)

  27. Példa:U = {1, 2, 3, 4}  : x y z 23 4 * x variánsai: x y z 1 3 4 3 3 4 4 3 4  L-értékelés (variáns)

  28. Definíció: Formulák  =I,L-értékelése 1. |P(t1, t2, ..., tn))|I,= i, ha (|t1|I, , |t2|I, , ..., |tn|I,)PI , ahol PI jelöli a PI relációigazhalmazát. 2. |A|I, =|A|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, |AB|I, = |A|I, |B|I, 3. |xA|I,= i, ha |A|I,*= i minden * x variánsára |xA|I, = i, ha |A|I,*= i legalább egy * x variánsára (A a formula törzse/mátrixa)  L-értékelés (formula)

  29. Példa: |xA|I,= i, ha |A|I,*= i minden * x variánsára Legyen U={a,b,c} |xP(x,y)|I, = |xP(x,a)|I = P(a,a)  P(b,a)  P(c,a) (y)=a |xP(x,y)|I, = |xP(x,b)|I = P(a,b)  P(b,b)  P(c,b) (y)=b |xP(x,y)|I, = |xP(x,c)|I = P(a,c)  P(b,c)  P(c,c) (y)=c  L-értékelés (variáns)

  30. Példa: Kvantormentes formula interpretációja:  =I, • (P1(t, f1(y, f2(x,y))))= P1 (t, (f1(y, f2(x,y))) )= • P1 (t, f1 (y, f2 (x,y)))= • < (+ (x,* (x,y)),+(y,*(x,y)) = • < ( x+ x*y, y+ x*y) = • (x+ x*y)<( y+ x*y)  L-értékelés (kvantormentes formula)

  31. Egzisztenciális formula interpretálása:  =I, • (x P1(a, f1(x,x))) =i, ha (P1(a, f1(x,x))) (x/u)=i legalább egy uU • ebben az interpretációban, ha 0<(x+x) = i legalább egy uN • Mivel az x=1-re a formula törzse i, ezért a x(0<(x+x)) formula is i. • Univerzális formula interpretálása:  =I, (xP1(a, f1(b,x))) = i, ha (P1(a, f1(b,x))) (x/u)=i minden uU Mivel minden egészre a formula törzse i, ezért a x(0<(1+x)) formula értéke i.  L-értékelés (kvantált formula)

  32. Kit ábrázol? Miről híres? FEJTÖRŐ Marie Curie Isaac Newton 1867-1934 1642- 1727 Fizikus, rádió aktivitás fizikus, csillagász, tömegvonzás törvénye

  33. Az AR nyelv az elemi aritmetika struktúrájának leírására alkalmas nyelv. Az elemi aritmetikát leíró matematikai struktúra a következő: Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv

  34. Az elemi aritmetika struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük AR nyelvnek. Azaz az elemi aritmetika matematikai struktúra egy interpretációja az AR nyelvnek. NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA Az AR nyelv ábécéje: Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv

  35. Az AR nyelv szintaxisa: Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv

  36. Az AR nyelv szemantikája: Az elemi aritmetika logikai nyelve: az Ar nyelv Példa: xy =defz(y+z)=x

  37. Egy halmaz részhalmazait leíró logikai nyelvet nevezzük RÉSZH nyelvnek. Azaz a részhalmazt leírómatematikai struktúra egy interpretációja az RÉSZHnyelvnek. A RÉSZH nyelv

  38. A RÉSZH nyelvnek abc-je és szintaxisa A RÉSZH nyelv

  39. A RÉSZH nyelv szemantikája Az Ar nyelvéhez hasonlóan határozható meg. Term • Konstans: nincs • Változók: x ϵP(H) Formula • Atomi formula : P(H)P(H) • Összetett állítások Néhány fontosabb reláció formalizálása: X = y =def(x  y) (y x) A RÉSZH nyelv

  40. A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. Azaz háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúra egy interpretációja az GEOM nyelvnek. A háromdimenziós euklideszi geometria matematikai struktúrája: A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

  41. A háromdimenziós euklideszi geometria struktúráját leíró logikai nyelvet nevezzük GEOM nyelvnek. A GEOMnyelv ábécéje: A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

  42. A GEOMnyelv szintaxisa: e A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

  43. A GEOMnyelv szemantikája: Hasonló az AR nyelvnél elmondottakhoz, figyelembe véve a fajtákat. A háromdimenziós euklideszi geometria logikai nyelve: a Geom nyelv

  44. AR, RÉSZH GEOM nyelvek: összefoglalás

  45. Hogyan nézne ki a teljes indukció formalizálása az elemi aritmetika másodrendű logikai nyelvén? FEJTÖRŐ

  46. Egy 1. rendű formula primformulái • az atomi formulák ( p(t1, ..., tn) ) és a • kvantált formulák Egy 1. rendű formula primkomponenseia formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel. Példa: P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában: P(X)  Q(X) -ben: P(X) prímkomponens is xP(x)  Q(X) -ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula Az igazságtáblában (0. rendű logika) az első sorba az állításváltozók (ezek a formula prímkomponensei) és a formula kerülnek. A változók alá igazságértékeiket írjuk. A formula alatt a megfelelő helyettesítési értékek találhatók. Term és formula értéktáblája: Ismétlés

  47. Egy 1. rendű formula értéktáblájábanaz első sorba • a szabad indivíduumváltozók • a primkomponensek és a • formula kerülne. Mivel a primformulák több esetben paraméteres állítások, ezért az interpretációban az indivíduum változók kiértékelése után válnak állításokká. Ezért az értéktábla első sorába még a formulában lévő indivíduum változókat is felsoroljuk a primformulák elé. • Az indivíduum változók alá azok lehetséges kiértékelései kerülnek • Aprimformulák alá a megfelelő helyettesítési értékek kerülnek • A formula alatt a prímformulák értékeinek megfelelő helyettesítési értékek találhatók. Term és formula értéktáblája

  48. Példa A formulaxP(x)yQ(w,y)P(v)zQ(w,z) A primkomponensek: xP(x), y(Q(w,y), P(v), zQ(w,z)). A szabad indivíduumváltozók: v, w. Legyen az interpretáló struktúra: U={1, 2, 3}, P={1,3} Q={(1,2),(1,3), (2,1), (2,2), 2,3)}, Ekkor (xP(x)) = h, a többiek paraméteres állítások Az értéktábla: Term és formula értéktáblája

More Related