Logika 7. A klasszikus logika kiterjesztése

1. Logika7. A klasszikus logika kiterjesztése Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék 2011. március 24.

2. Extenzionális logika • Az eddig megismert logikai rendszer • Axiomatikus rendszer  csak meghatározott érvényességi és alkalmazhatósági körrel bír • Megkötései: • Mondatok elemzéskor csak mondatokat, neveket, (extenzionális) predikátumokat és (extenzionális) mondatfunktorokat vehetünk figyelembe. • A neveket felbonthatatlan egységnek tekintjük (belső szerkezetüket nem elemezzük) • A kifejezések értékelésekor az időpontokat nem vesszük figyelembe. Ha egy kifejezés faktuális értéke időben változó lehet, úgy tekintjük, mintha az időpont rögzítve lenne.

3. Extenzionális logika Faktuális érték (extenzió): „amit egy nyelvi kifejezés jelöl vagy amire referál” (Frege) A faktuális érték hatékonyan kezelhető a klasszikus logikai elméletekben a változó- vagy igazságértékeléseken keresztül:egy individuumnév faktuális értéke a tárgyalási univerzum egy eleme, egy mondat faktuális értéke pedig az igazságértéke. A „Szókratész győzedelmeskedett a vitában” mondat lehet igaz is és hamis is – pontos faktuális értékét az adott szituáció dönti el, ami a 3. pontban említett időpont-rögzítéssel megoldható. • Kifejezések interpretálásakor (értelmezésekor, egyértel-műsítésekor) a faktuális értékeket mindig meg kell adni! Nem lehet névjelölet nélkül, predikátumterjedelem nélkül, mondatigazságérték nélkül. A kalsszikus elsőrendű extenzionális logikában nincs helye szemantikai értékrésnek („A francia király kopasz.” (Russell)).

4. Az extenzionális logika rendje • Elsőrendű extenzionális logika: csak az individuumnevek helyett használunk operátorral leköthető változókat. Többedrendűextenzionális logika: más kategóriák (pl. mondatok, predikátumok, funktorok stb.) is bevezetünk operátorral leköthető változókat. Másodrendű extenzionális logika: individuumváltozók(x, y, z) mellett predikátumváltozókat (P, Q, R) vezet be. További kategóriákban bevezetett változókkal harmad-rendű stb. extenzionális logikai rendszerekhez juthatunk. Teljes extenzionális logika: minden lehetséges kategó-riában használunk operátorral leköthető változókat. A magasabb rendű logikai rendszerek megőrzik az alacsonyabb rendű logikai rendszerek törvényeit (permanencia elve) – finomodnak, pontosabbak lesznek, ám egyre bonyolultabb rendszereket eredményeznek.

5. Az extenzionális logika határai Albert várja a körzeti orvost. A körzeti orvos = a helyi bélyeggyűjtő klub elnöke. Albert várja a helyi bélyeggyűjtő klub elnökét. Gondolhatjuk-e, mondhatjuk-e, hogy a két állítás egyenértékű? Az azonosság szabályai szerint igen, hiszen a „körzeti orvos” és a „helyi bélyeggyűjtő klub elnöke” leírások jelölete ugyanaz az individuum. Mégis vonakodunk, hiszen a két leírás más-más helyzetre utal, eltérő gondolati tartalmat fejez ki: a kifejezések jelölete azonos, ám jelentésük különböző.

6. Az extenzionális logika határai A tradicionális és a modern logikára is igaz, hogy formális következtetéseinek helyességét kizárólag a kifejezések logikai szerkezetéből és a logikai szavak jelentéséből származtatja. A kifejezések tartalmától való elvonatkoztatás miatt teljesen értelmetlen kifejezésekből is „érvényes” következtetést lehet levonni: „Minden aghijfokuak. Minden fokuaktabudi.”  „Minden aghijtabudi.” Mindez nyilván annyira értelmetlen, amennyire a benne foglalt aghij, fokuak, tabudiszavak – nem érezzük érvényes, értelmes következtetésnek. Igény: a logika vonja be elemzéseibe a nyelvi kifejezések azon dimenzióját, amit jelentésnek nevezünk. A jelentés is szemantikai érték, amint az extenzionális logikában használatos igazságérték.

7. Intenzió • Igény a jelentés bevonására  a jelentés teljes (stiláris, emocionális stb.) gazdagsága azonban logikailag kezelhetetlen. • Megoldás: egy szűkített, korlátozottabb jelentésfogalom bevezetése  intenzió. • Az intenzió azon feltételek összességét jelenti, amelyek mellett a kifejezésnek logikailag kezelhető, egyértelmű, igazságértékekkel felruházott jelentés tulajdonítható. • Az így pontosított jelentést nevezzük fogalomnak. • A nyelvi kifejezések – pontatlanságuk és homályosságuk miatt – ilyen jelentéssel nem rendelkeznek eleve  az intenzióhoz interpretálás(értelmezés, egyértelműsítés) révén jutunk. • Az interpretálás a való világ tényeire vonatkoztatja a nyelvi kifejezéseket.

8. Individuumnév extenziója és intenziója • Individuumnév extenziója: a jelölt individuális dolog. • Egy individuumnév faktuális értékea név jelölete, a tárgyalási univerzum egy konkrét, adott eleme – azon egyedi létező, amelyet a név megjelöl. • Individuumnév intenziója: a név által kifejezett individuális fogalom. • A tulajdonneveknek (pl. Miskolc) van jelöletük, de csak jelöletük van, jelentésük nincs  nincsintenzió! • Az összetett neveknek és a névmásoknak van jelentésük, és így intenziójuk is  az az egyértelmű jelölet, amelyhez az interpretáció eredményeként eljutunk. „Péter fivére” – interpretáció: 1. Péter személyének behatárolá-sa, továbbá annak rögzítése, hogy 2. van egy 3. és csakis egy fiú-testvére. A „francia király” – interpretálás: időpont megadása. Az ő névmás – interpretálása: kire utal?

9. Mondatok extenziója és intenziója • Mondatok extenziója, faktuális értéke: az igazságértéke. • Mondatok intenziója: azon feltételek összessége, amelyek mellett igaz állítást fejeznek ki. • A feltételeket itt is interpretáció révén bontjuk ki. • Az interpretációhoz járulhat az értékelés: melynek során a kifejezést kiegészítjük a szükséges adatokkal – változóit ellátjuk értékekkel, hogy a kifejezésnek a valósághoz való viszonya egyértelművé váljon. „Elered az eső” – interpretálása: hol és mikor?  hétköznapi nyelvhasználatban ezt a kontextus biztosítja; pl. az ablakon kitekintve: itt és most. „Kitakarította a szobáját” – interpretálása: x a saját szobáját, vagy y szobáját takarította-e ki? – értékelése: mi az x és az y értéke, tehát kikről van szó? • Nyelvi kifejezés  logikai állítás (ami már alethikus)

10. Funktorok intenziója – Intenzionális logika • Intenzionális funktor: bemeneteinek extenziója, faktuális értéke nem vonja maga után egyértelműen a kimenet faktuális értékét, mégpedig azért nem, mert a kimenet faktuális értéke a bemenet intenziójától, jelentésétől is függ. • Interpretált funktorintenziója: az a szabály, amely bemenetének (avagy bemeneteinek) intenziójából meghatározza, „kiszámítja” kimenetének intenzióját.Az interpretált (és szükség esetén értékelt) funktorintenzióját szokás általános fogalomnak nevezni. „Péter fut, mivel le akar fogyni” – ha igaz, hogy Péter fut és igazaz is, hogy Péter le akar fogyni, abból még nem következik ennek a mondatnak az igazsága… Péter (most) futhat azért is, mert kergetik.Itt a mivel egy kétargumentumú intenzionális funktor. • Az intenzionális logika az intenzionális funktorokat is bevonja az elemzésbe. Ide tartoznak a modális logikai rendszerek is, az általuk használt modális jelek intenzionális funktorok.

11. Modális logika, modális operátorok • Modális logika: a szükségszerűséget (), lehetőséget (), lehetetlenséget kifejező állítások logikája. • A klasszikus logika kibővítésének tekinthetők.Árnyalás: „egyszerűen” igaz, szükségszerűen igaz, hamis, szükségszerűen hamis (lehetetlen)  modalitások. • Apodiktikus állítások: szükségszerűen igaz vagy hamis. • Kontingens állítások: esetlegesen igaz vagy hamis. • Intenzionális logika: abból, hogy egy állítás igaz (hamis), nem következik az, hogy szükségszerűen igaz (hamis). • Szükségszerűség: • Logikai szükségszerűség: az állítás igazsága (vagy hamissága) a logika szabályaiból folyik. • Ontológiai szükségszerűség: természettörvényekből fakad. • Analitikus szükségszerűség: az állításban használt szavak jelentéséből származik.

12. Logikai négyzet a modális logikában

13. Logikai négyzet a modális logikában • Az átlósan szemközti állítások kontradiktóriusak, azaz egymás negációi.„szükségszerű, hogy…”  „nem lehetséges, hogy nem…” p(p)negációja: „lehetséges, hogy nem…” (p)„Szükségszerű, hogy felkel a Nap.”  „Nem lehetséges, hogy nem kell fel a Nap.”negációja: „Lehetséges, hogy nem kell fel a Nap.”„lehetetlen, hogy…”  „nem lehetséges, hogy…”ppnegációja: „lehetséges, hogy…” p„Szükségszerű, hogy nem a Nap kering a Föld körül.”  „Nem szükséges, hogy a Nap kering a Föld körül.”negációja: „Szükséges, hogy a Nap kering a Föld körül.”

14. Logikai négyzet a modális logikában • A szükségszerű-lehetetlen pár kontrárius: nem lehet mindkettő igaz, de lehet mindkettő hamis.A „szükségszerű, hogy…” (p) és a „lehetetlen, hogy…” (p) nem lehet egyszerre igaz:p(p), illetve p (p)Az viszont előfordulhat, hogy valami sem nem szükségszerű, sem nem lehetetlen – hanem lehetséges.Sem nem szükségszerű, sem nem lehetetlen, hogy (pont most) süssön a Nap – a felhők járásától függően lehet, hogy süt, lehet, hogy nem. • A lehetséges pár szubkontrárius viszonyban áll: lehet mindkettő egyszerre igaz, de nem lehet egyszerre hamis.Lehetséges, hogy (valahol éppen) süt a nap (p), az is lehetséges, hogy nem süt (p); negációjuk viszont nem lehet egyszerre igaz.

15. Logikai négyzet a modális logikában • A „szükségszerű”-nek a „lehetséges, hogy …”, a„lehetetlen”-nek pedig a „lehetséges, hogy nem …”az alárendeltje: ha az első igaz, szükségszerűenigaz a második is.Ami szükségszerű, az lehetséges is: pp, ami pedig lehetetlen, az lehetséges, hogy nem áll fenn: p(p).Adrienn szükségszerűen vesz levegőt. Lehetséges az is,hogy ebben a pillanatban éppen lélegzik.Lehetetlen, hogy az ember repüljön. Ha pedig így van,akkor bizony lehetséges, hogy itt a teremben sem áll senkire, hogy tudna repülni.

16. Lehetséges világok elmélete • Hogyan alapozható meg szemantikailag a modális logika? Mit jelent a szükségszerű és a lehetetlen? Hogyan lehet kontingensen (esetlegesen) igaz, hogy süt a Nap, ha faktuálisan (ténylegesen) nem igaz? • Leibniz: számtalan lehetséges világ van, amelyek közül Isten szükségképpen a legjobbat kellett, hogy kiválassza. • Az emberi szellem törekvései: versek, utópiák, jog. • Lehetséges világ: nem ütközik szükségszerűségbe. • Logikai szükségszerűség zárja ki az olyan világot, amelyben egyszerre igaz az, hogy „minden ember halandó” és „nem minden ember halandó”. • Ontológiai szükségszerűség zár ki egy olyan világot, amelyben pl. nem érvényesül a tömegvonzás törvénye. • Analitikus szükségszerűség zár ki egy olyan világot, amelyben pl. nem igaz, hogy „minden férjnek van felesége”.

17. Lehetséges világok elmélete • Az aktuális világgal szemben a lehetséges világok csak a nyelvben léteznek, mint a világ leírásának alternatívái. • A világot leíró (formalizált) nyelvből kell tehát kiindulni az elmélet megalapozásakor: az adott nyelv klasszikus logikai interpretációi jelölik ki az ugyanezen nyelven leírható lehetséges világok körét. Ami ugyanis ezen kívül esik, az logikai lehetetlenséget eredményez. • A A (= lehetséges) állítást a w világban minősítsük igaznak (akkor és csak akkor), ha A igaz w-nek valamelyw’ alternatívájában. A  w1 V w2 V … Vwn • A A (= szükségszerű) állítást pedig akkor (és csak akkor) minősítsük igaznak w világban, ha A igaz wminden alternatívájában. A w1 & w2 & … & wn

18. Időlogika (temporális logika) • Egyazon állítás igazságértéke az időben változhat. • A klasszikus logika kiterjesztése az idő dimenziójára. • Szükségszerű az, ami minden időben igaz és igaz marad. • Lehetséges az, ami az idő valamely pillanatában igaz, vagy igazzá válhat. • p(t) : nyitott mondat, p állítás valamely t időpillanatban igaz; az időparaméter behelyettesítésével zárt mondatot kapunk. • Időlogika mondatfunktorok segítségével építhető ki:P (past, múlt), F (future, jövő),a jelenre a mondatfunktor hiánya utal.

19. Időlogika (temporális logika) FA: „Sohasem lesz igaz A állítás” FA : „Nem lesz mindig igaz A állítás”  PA: „Sohasem volt igaz A állítás” PA: „Nem volt mindig igaz A állítás”  FA: „Mindig igaz lesz A állítás”  PA: „Mindig igaz volt A állítás” A ( FA)A  (PA)HA A GA: „A állítás mindig igaz” A ( FA)VA V (PA)HA VA VGA : „A állítás néha igaz” BPA: “Mióta A, azóta B” BFA: “Mindaddig B, amíg nem A” ( F) H ( P) G