Matematikai logika alapjai

1. Matematikai logika alapjai Készítette Takács Márta ÓE, NIK, IMRI Az ÓE Informatikus mérnök MsC tanítási segédleteként Matematikai logika

2. Források Pásztorné Varga Katalin , Várterész Magda, A matematikai logika alkalmazáselméletű tárgyalása, Panem Kiadó Kft. - 2003 - ISBN: 9789635453641 Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf Pásztorné Varga Katalin előadásfóliák (ELTE) Bércesné Novák Ágnes Elsőrendű logika, doksi.hu www.banki.hu/jegyzetek/mat/szma/szma_1_felev/bmf-logika.pdf Matematikai logika

3. Nulladrendű logika (ítéletkalkulus) Matematikai logika Formalizált nyelv: szintaxis és szemantika Szintaxis: • Jelkészlet • Formulaképzés szabályai Szemantika: • A helyes szintaxisú formulák jelentése

4. Szintaxis Matematikai logika Jelkészlet: 1. Betűk (ítéletváltozók)-atomok(p,q,r,…) 2. ¬, ∧, ∨, (→,↔…) 3. I, H (1,0)-atomok 4. Zárójelek

5. Formula Matematikai logika Minden atom formula Ha α, β formula akkor ¬α, α∧β, α∨β, α→β is formulák a fenti két szabály véges sokszori alkalmazásával kapjuk a formulákat.

6. Formulák A formulákban zárójelezéssel hangsúlyozhatjuk a műveleti prioritásokat A magyar kisbetűkkel az atomi formulákat, a görög betűkkel (vagy nagybetűkkel) az összetett formulákat jelöljük általában. Az alapformulák halmaza szűkíthető, hiszen pl. ¬α∨β és α→β kiértékelése megegyezik. Matematikai logika

7. Szemantika Matematikai logika A jelkészlet elemeit értelmezzük. A betűk az ún. ítéletváltozók. Ítélet: a köznapi nyelv kijelentő mondatainak, kijelentéseinek felelnek meg. A klasszikus logikában csak olyan kijelentésekre gondolunk, amelyek igaz vagy hamis volta egyértelműen eldönthető. Ezáltal egyfajta ítéletet képviselnek e mondatok. Változók: mert az eredeti kijelentés tartalmától függetlenül, csakis annak igazságértékeit vehetik fel: az igaz, vagy a hamis értékek valamelyikét. Az igazságértékek tehát az ítéletváltozók lehetséges értékei, jelöljük ezek a halmazát I- -vel. I- csak a klasszikus logikában kételemű halmaz.

8. Szemantika Matematikai logika Azt a függvényt, amely a betűkkel jelölt változókhoz hozzárendeli a lehetséges igazságértékek valamelyikét, interpretációnak hívjuk. Az interpretációkat az igazságtáblába foglaljuk, amelynek n változó esetében 2n sora van. Az I és H rögzített igazságértékű (Igaz, Hamis)- ítélet-konstansok.

9. Az I betű igazságértéke minden interpretációban legyen igaz, a H betű igazságértéke minden interpretációban legyen hamis. A többi ítéletváltozó esetében az igazságérték az interpretációtól függ. A zárójelek értelmezése és használata a matematikában szokásos módon történik: lényegében a műveletek kiértékelési sorrendjét tudjuk általuk meghatározni. A ∧ , ∨ , → ... jelek az igazságértékeken értelmezett műveleteknek felelnek meg. A műveletek definícióját tekinthetjük kiértékelésnek, kiértékelési szabálynak. Matematikai logika

10. IGAZSÁGTÁBLÁK, Alapformulák szemantikája Matematikai logika

11. Egyváltozós művelet Matematikai logika Negáció (tagadás): Igazságtáblázat:

12. Kétváltozós műveletek Konjunkció A∧B: informális jelentése: és. Példa: hat osztható kettővel és hat osztható hárommal A mondat „formalizálása”: P: hat osztható kettővel Q: hat osztható hárommal hat osztható kettővel és hat osztható hárommal: P∧Q Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét változó igazságértéke igaz. Matematikai logika

13. Diszjunkció A∨B: informális jelentése: vagy . Példa: hat osztható kettővel vagy hat osztható hárommal A mondat „formalizálása”: P: hat oszthtó kettővel Q: hat osztható hárommal hat osztahó kettővel vagy hat osztható hárommal: P ∨ Q Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét változó igazságértéke hamis. Matematikai logika

14. Implikáció A→B : informális jelentése: ha A, akkor B. Példa: Ha az iskolai tanulmányai alatt a hallgató minden félévben legalább jeles átlageredményt ért el, akkor az állam egy aranygyűrűt ad ajándékba a diploma kiosztásakor. Formalizáljuk ezt a mondatot! Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? Az implikáció akkor és csak akkor hamis, ha az első operandusa (előtagja, feltétele) igaz, a második operandusa (utótagja, következménye) hamis. Matematikai logika

15. Ekvivalencia (mint logikai művelet) Jelentése A akkor és csak akkor ha B, jelölése A↔B mint művelet az implikációból és a konjunkcióból származtatható: Def.: α↔β:= (α→β)∧(β→α) Az A↔B ekvivalencia csak akkor igaz, ha Aés Bigazságértéke ugyanaz. Megjegyzés: Az alapjelkészletben nem kell szerepelnie a ↔ jelnek, hiszen definícióban megadott formula rövidítéseként vezettük be. Matematikai logika

16. Kérdés: Bevezethetőek-e további kétváltozós műveletek? Igen, pl. a kizárólagos vagy (nem igaz, ha mindkét állítás igaz) Mitől függ az interpretációs sorok száma? A változók számától. Matematikai logika

17. 1. példa:Adja meg az ((A∨B) ∧C) → (A∧¬B) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

18. 2. példa:Adja meg az ((A∨B) ∧(A ∨ C)) → (A ∨ (B ∧ C)) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

19. 3. példa:Adja meg az ((A → B))(AB) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

20. 4. példa:Adja meg az (A)A formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

21. Tautológia, ellentmondás, modell Matematikai logika Def.: Tautológia (azonosan igaz formula, érvényes formula): Az a formula, amely minden interpretációban igaz (például a 3. példabeli formula). Def.: Kontradikció (ellentmondás, azonosan hamis, kielégíthetetlen): Az a formula, amely minden interpretációban hamis (például a 4. példabeli formula). Def.: Modell: modellnek nevezzük azt az interpretációt, amelyben a formula igaz. Pl. az első példabeli formula 2.,3., 4. 6., 7. és 8. sorban levő interpretációja modell.

22. A kétértékű logikában érvényes az ún. harmadik (érték) kizárásának elve, amelyet például az alábbi formulákkal is megfogalmazhatunk: A∧¬A=H (kontradikció) – ez azt jelenti, hogy az A ítéletváltozó az {igaz, hamis} értékek közül pontosan egyet vehet fel (kétértékű logika). A v ¬A=I (tautológia) – ez informálisan azt jelenti, hogy az A ítéletváltozó az {igaz, hamis} értékek közül legalább az egyiket felveszi. Matematikai logika

23. Matematikai logika • Kérdések: • Mi a tautológia tagadása? • Mi a kontradikció tagadása? • kielégíthető formulák • van modellje vagy • tautológia • Kielégíthetetlen formula • nincs modellje • kontradikció, ellentmondás

24. Adjuk meg az (A →B) és a (¬AB) formulák kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

25. Adjuk meg az (A →B) és a (A¬B) formulák kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

26. Ekvivalens formulák Matematikai logika Def.: két formula, α és β, ekvivalens ha minden interpretációban megegyezik az igazságértékük. (A két formula közös igazságtáblájában a kiértékelésnek megfelelő oszlopok azonosak) Jelölés: α ≡β

27. Igazoljuk, hogy ekvivalensek a következő formulák (A →B) ↔ (¬ AB) és (¬(A →B)) ↔ (A¬B) és ¬(A  B) ↔ (¬ A∧¬B)) Matematikai logika

28. Példák fontos ekvivalens formulákra Matematikai logika A→B≡¬A∨B De Morgan azonosságok ¬(A∨B)≡¬A∧¬B ¬(A∧B)≡¬A∨¬B

29. Matematikai logika 1.b. A∧B≡B∧A 2.b. (A∧B)∧C≡A∧(B∧C) 3.b. A∧(A∨B)≡A 4.b. H∧A≡H 5.b. A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C) 6.b.A∧¬A≡H 7.b A ∧ I ≡ A

30. 1.a. A∨B≡B∨A 2.a. (A∨B)∨C≡A∨(B∨C) 3.a. A∨(A∧B)≡A 4.a. I∨A≡I 5.a. A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) 6.a. A∨¬A≡I 7.a. A ∨ H ≡ A Matematikai logika

31. Halmazelméletben is hasonló azonosságok igazak Matematikai logika 1.a. A∪B=B∪A 1.b. A∩B=B∩A 2. a. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 2.b. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. a. A∪(A∩B)=A 3.b. A∩(A∪B)=A 4. a. U ∪ A=U 4.b. ∅∩A=∅ 5. a. A∪(B∩C)= (A∪B) ∩ (A∪C) 5.b. A∩(B∪C)= (A∩B) ∪(A∩C) 6. a. A∪A= U 6.b. A∩ A=∅ Az olyan struktúrákat, amelyekben két művelet van definiálva, és van két kitüntett elem, amelyekre a fenti azonosságok igazak, BOOLE ALGEBRÁnak nevezzük. További példa: a valószínűségszámításban Boole algebrát alkotnak az események.

32. Matematikai logika Kérdés: Ha α és β ekvivalens formulák, mit tudunk mondani az α↔β formuláról? Lemma: Minden (eddig felírt) igazságtábla igaz úgy is, ha az atomok helyett formulákat írunk.

33. Matematikai logika • Lemma: α és β akkor és csak akkor ekvivalens, ha α↔β tautológia. Biz.: a. α ekvivalens β ⇒ α↔β tautológia. Ha α és β igazságértéke megegyezik, akkor az ekvivalencia definíciója miatt csak igaz lehet, azaz tautológia. b. ha α↔β tautológia, akkor a formula csak igaz lehet, de ez pontosan akkor van, ha α és β igazságértéke ugyanaz, vagyis α ekvivalens β. • Tétel: Ha α tautológia, akkor az ítéletváltozók helyébe formulákat írva tautológiát kapunk. • Tétel: Ha α tautológia, akkor bármely részformula helyett azzal ekvivalens formulát írva tautológiát kapunk.

34. Helyes következtetési szabályok Matematikai logika

35. A logikai következmény Matematikai logika A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. 1.Feltétel Minden madár gerinces. 2.Feltétel Minden veréb gerinces Következmény A példát nem tudjuk nulladrendű formulákkal jól modellezni (minden?).

36. Matematikai logika Az alábbi példa nulladrendben is jól modellezhető: Ha elfogy a benzin, az autó leáll. Feltétel1 Elfogyott a benzin. Feltétel2 Az autó leáll Következmény

37. Formalizálás Matematikai logika A= Elfogy a benzin, B=az autó leáll. A megfelelő séma: A A→B _____________ B

38. Korrekt jelöléssel: {A, A→B} =0B Latin szavakkal: 1. feltétel 1. Premissza 2. feltétel. 2. Premissza Következmény Konklúzió Matematikai logika

39. Mikor helyes egy következtetési séma? Matematikai logika Def.: Modellelméleti vagy szemantikus következményfogalom: Azt mondjuk, hogy az {α1, α2, …,αn} formulahalmaz következménye a β formula, ha minden olyan interpretációban, amelyben az α1 , α2, …αn formulák igazak, β is igaz. Más szavakkal: {α1, α2, …,αn} formulahalmaz következménye a β formula, ha β legalább akkor igaz, amikor az αi-k igazak. Jelölés: {α1, α2, …,αn} =0β

40. Megjegyzés: Mivel az elsőrendű logika követketményfogalma nem teljesen azonos a nulladrendűével, ezért az indexben szokás azt is jelölni, hogy melyik nyelvről van szó: =0 Az elsőrendű logikában a következményfogalom jele: =1 Ha β tautológia, akkor minden interpretációban igaz, tehát abban is, amelyekben az αi –k hamisak. Ezért a tautológia bármely formulahalmaz következménye. Ez indokolja a tautológia jelölését: =0 β. Matematikai logika

41. A következményfogalom definíciójának egyszerű következményei: Matematikai logika αi-k közös modellje β-nak is modellje (fordítva az állítás nem igaz) tautológia következménye csak tautológia lehet: tautológia =0 tautológia a tautológia bármely α formula következménye: α =0 tautológia, kontradikciónak bármi lehet a következménye ( spec. A is és az A tagadása is) : Kontradikció =0α kontradikció csak kontradikciónak lehet következménye (hiszen más formula esetén igaznak kellene lennie ott, ahol a formula igaz): kontradikció =0 kontradikció

42. Def.: Azokat a következtetési sémákat tekintjük helyesnek, amelyekben a következmény valóban a feltételek (szemantikai) következménye. Matematikai logika

43. Példák helyes következtetési sémákra (szabályokra) Matematikai logika 1. Modus ponens (leválasztási szabály): {α, α→β } =0 β Azt kell vizsgálnuk, ahol α és α→β igaz, ott a β igaz-e. Ha igen, akkor helyes, ha nem, akkor helytelen a következtetési séma. Csak az első interpretációban teljesül, hogy α és α→β igaz. Ebben a interpretációban β is igaz, tehát valóban {α, α→β }=0β. Ítéletváltozók α β α→β I I I I H H H I I H H I

44. Matematikai logika Tétel: α1, α2, …,αn =0 β akkor és csak akkor, α1∧α2∧ …∧αn =0 β Biz.: α1, α2, …,αn együttesen akkor és csak akkor igaz, ha α1∧α2∧ …∧αn igaz. E tétel miatt a =0jel bal oldalát a továbbiakban egyszerűen α-val jelöljük, ahol α-n mindig α=α1∧α2∧ …∧αn formulát értjük. (Mutassuk meg most a Modus ponens helyességét)

45. Matematikai logika Feladat: Bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési sémák helyesek! Modus tollens (elvető mód, kontrapozíció): {α→β, ¬β } =0¬α Hipotetikus szillogizmus (feltételes szillogizmus, láncszabály): {α→β, β→γ } =0 α→γ Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód): {α∨β, ¬β} =0 α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0α

46. Tétel: α =0β akkor és csak akkor, ha α→β tautológia. Biz.: a.) ha α =0β akkor α→β tautológia: a jelölt sor ez esetben nem lehet az igazságtáblában, ugyanis akkor α|=0 β nem teljesülne, hiszen ekkor β-nak legalább akkor kell igaznak lennie, amikor α igaz. A maradék sorokra pedig valóban az i az igazságérték. b.) ha α→β tautológia, akkor α =0 β: Ha α→β tautológia, akkor a fenti igazságtáblában jelölt sor nem szerepelhet, hanem csak a jelöletlen, I sorok. Ezekben a sorokban viszont valóban a β legalább ott igaz, ahol az α. α β α→β I I I I H H H I I H H I Matematikai logika

47. Matematikai logika Példa: Modus ponens: {α, α→β } =0β helyes: Ítéletváltozók Formulák α β α→β (α∧(α→β)) (α∧(α→β)) → β I I I I I I H H H I H I I H I H H I H I

48. Matematikai logika Feladat: A fenti módszerrel bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési szabályok helyesek! Modus tollens: {α→β, ¬β } =0¬α Hipotetikus szillogizmus: {α→β, β→γ} =0 α→γ Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód) {α∨β, ¬β} =0 α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0 α

49. Matematikai logika Tétel: α =0 β akkor és csak akkor, ha α∧¬β azonosan hamis. Biz: α =0 β akkor és csak akkor, ha α→β tautológia, vagyis ¬(α→β) kontradikció (azonosan hamis): ¬(α→β)=¬(¬α∨β)≡¬¬α∧¬β≡α∧¬β Példa: Modus ponens {α, α→β } =0 β helyes: Ítéletváltozók Formulák α β α→β (α∧(α→β)) (α∧(α→β)) ∧¬β I I I I H I H H HH H I I H H H H I H H

50. Matematikai logika Feladat: A fenti módszerrel bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési szabályok helyesek! - Modus tollens: {α→β, ¬β } =0¬α - Hipotetikus szillogizmus: {α→β, β→γ} =0α→γ - Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód) {α∨β, ¬β} =0α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0α