Lineare Funktionen mit der Gleichung y = mx

1. Lineare Funktionenmit der Gleichung y = mx • Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleich bleibenden Geschwindigkeit von 1,5 m/min fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang: • Es handelt sich um einen direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor 1,5 m/min.

2. Jeder direkt proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften: • Der Definitions- und der Wertebereich ist R. • Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

3. Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Anschaulich betrachtet, kann man sagen: • Wenn x um 1 ver-größert wird, so ver-ändert sich y um m. • Wir sagen: „1 nach rechts und m nach oben.“

4. Der Anstieg m • Ist dabei m > 0, so wachsen die Funk-tionswerte an, d.h. die Gerade steigt. • Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte, d.h. die Gerade fällt.

5. Um den Graphen einer linearen Funktionmit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. • Als ein Punkt kann z.B. immer der Koordinaten-ursprung gewählt werden. • Einen zweiten Punkt erhält man, indem man den Anstieg m benutzt. (Oder man berechnet die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktions-gleichung.)

6. m ist ein Bruch

7. m < 0  der Graph fällt

8. Steigungs-dreieck Steigungsdreiecke kann man • in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen • sowie entlang des Graphen verschieben.

9. Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Diese Schar von Funktionen verläuft • durch den Koordinatenursprung • für m > 0 wachsen (oder steigen) • und für m < 0 fallen die Geraden.

10. Sonderfall einer linearen Funktion y = n • Eine Funktion der Form y = n, (d.h. y = mx + n mit m = 0), heißt konstante Funktion. • Der Graph einer konstanten Funktion mit y = n ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n.

11. Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n gilt: • Die Graphen bestehen aus Punkten, die auf einer Geraden liegen. • n heißt absolutes Glied und gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. • Bei gleichem Anstieg m und unterschiedlichem n sind die Graphen zu-einander parallele Geraden.

12. Zeichnen der Graphen von Funktionen z. B. y = 0,5 x + 1 • Die einfache Möglich-keit, den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, ist das Ver-wenden von Werten aus einer Werte-tabelle. • Dabei sollte man günstige, d.h. leicht errechenbare Werte nutzen.

13. Zeichnen der Graphenvon Funktionenz. B. y = 0,5 x + 1 Man kann auch ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der y-Achse (0; n) nutzen: • n = 1auf der y-Achse markieren. • m = 0,5 bedeutet für das Steigungsdreieck: „1 nach rechts und 0,5 nach oben.“

14. Der Graph der Funktion • n = 1 Der Punkt (0; -1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. • m = - 3/2Von diesem Punkt aus wird das Steigungsdreieck (um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach unten) angetragen.

15. Nullstellen von Funktionen • Unter der Nullstelle einer Funktion versteht man die Schnittstelle mit der x-Achse (Abzissenachse). • Also liegt die Nullstelle hier bei xn = 0,5.

16. Rechnerische Nullstellenermittlung • Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu ermitteln, wird in die Funktionsgleichung für y = 0 eingesetzt • und die entstehende Bestimmungsgleichung nach x aufgelöst.

17. Fortsetzung: Nullstellen • Funktionsgraphen können keinen, einen oder mehrere Schnitt- bzw. Berührungs-punkt(e) mit der x-Achse haben. • Die zugehörigen Funk-tionen haben dann keine, eine oder mehrere Null-stelle(n). xn1= -2 und xn2= 3

18. Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben. xn = / xn = 0 xn1 = -1 und xn2 = 1