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Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

Giovanni Della Lunga. Modelli Finanziari nel Tempo Continuo. 4 Prodotti di Volatilità (prima parte). Prodotti di Volatilità (Prima Parte). Il Principio di Assenza di Arbitraggio Alberi Binomiali Il modello Binomiale di Cox, Ross e Rubinstein Opzioni con Barriera

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Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

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Presentation Transcript

  1. Giovanni Della Lunga Modelli Finanziari nel Tempo Continuo 4 Prodotti di Volatilità (prima parte) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  2. Prodotti di Volatilità (Prima Parte) • Il Principio di Assenza di Arbitraggio • Alberi Binomiali • Il modello Binomiale di Cox, Ross e Rubinstein • Opzioni con Barriera • Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera • Alberi Trinomiali Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  3. Il Principio di Assenza di Arbitraggio • Molte volte ci è capitato di sentire frasi del tipo: “ho appena comprato un paio di scarpe e ne ho trovate un paio uguale ad un prezzo minore”, oppure: “ho scoperto che un altro concessionario per lo stesso prezzo che ho pagato per la mia nuova macchina fornisce anche l’aria condizionata”. • Sono frasi di buon senso che mettono in luce in che modo cerchiamo di fornire un valore a beni e servizi che acquistiamo e consumiamo. • Il buon senso ci suggerisce che prodotti uguali devono avere lo stesso prezzo, e che prodotti che ci garantiscono un’opportunità in più rispetto ad altri hanno un valore maggiore. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  4. Il Principio di Assenza di Arbitraggio • Il fondamento della valutazione dei prodotti finanziari è il principio di arbitraggio, o nella colorita espressione anglosassone, free-lunch (pasto gratis). • Nel mondo dei prodotti finanziari utilizziamo definizioni di arbitraggio più sofisticate, ma con lo stesso contenuto di fondo: Si definisce arbitraggio la possibilità di ottenere guadagni sicuri, senza incorrere in alcun tipo di rischio. • E’ su questa base che è possibile determinare la relazione tra i prezzi di diverse attività finanziarie: l’idea è che le relazioni tra i prezzi devono essere tali da escludere la possibilità di effettuare arbitraggi, cosicché non deve essere possibile costruire sul mercato posizioni e strategie che consentano di ottenere guadagni senza alcun tipo di rischio. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  5. Il Principio di Assenza di Arbitraggio • Se pensiamo a come si possono identificare delle possibilità di arbitraggio, possiamo intuitivamente delineare due tipi di situazione. • La prima è quella di un biglietto di lotteria gratis: supponete di poter ottenere senza alcun costo un titolo (un biglietto della lotteria) che in futuro vi darà un rendimento comunque non negativo, e la possibilità di un guadagno positivo se si verifica qualche evento fortunato; • Un’altra situazione che vi garantirebbe un guadagno sicuro, e quindi un arbitraggio, è la seguente: considerate di acquistare un titolo e venderne un altro in modo che a una data futura il valore complessivo del portafoglio sia zero in tutti i possibili scenari (li chiamiamo tecnicamente stati di natura), e supponete che questa posizione abbia oggi valore negativo, e cioè vi consenta di intascare dei soldi. Poiché sapete che a una data futura la vostra posizione varrà sicuramente zero (e quindi non avrete alcuna perdita), il guadagno che ottenete oggi è assolutamente senza rischio, ed avete compiuto un’operazione di arbitraggio. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  6. Il Principio di Assenza di Arbitraggio • Per mostrare in maniera semplice l’utilizzo dell’ipotesi di non arbitraggio per la valutazione delle attività finanziarie utilizziamo un modello in cui il rischio è rappresentato da un insieme discreto di possibili scenari, o stati di natura. • L’esempio più semplice è quello di un mondo a due tempi e due stati. • Assumiamo che sul mercato vengano scambiati due titoli rischiosi, il cui valore denotiamo X(t) e Y(t). I due titoli rischiosi assumono valori diversi nei due stati del mondo H e L che si verificano al tempo T: abbiamo quindi X(H) > X(L) e Y(H) > Y(L). • Assumiamo che esista anche un titolo privo di rischio che alla scadenza T garantisce un pay-off di un Euro: il titolo privo di rischio al tempo T assume lo stesso valore nei due stati del mondo. • Il valore del titolo privo di rischio al tempo t è definito dalla funzione di sconto P(t,T), discussa nel primo capitolo, mentre il prezzo del titolo rischioso è Y(t). • Il problema è determinare il prezzo X(t) che esclude possibilità di arbitraggio. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  7. Un modello binomiale Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  8. Relazioni di arbitraggio tra i prezzi • Formiamo un portafoglio selezionando • Una posizione lunga (acquisto, segno +) in una unità di X • Una posizione corta (vendita, segno -) in  unità di Y • Se scegliamo • Il valore del portafoglio all’istante T nei due stati finali sarà pari a Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  9. Relazioni di arbitraggio tra i prezzi • Con questa scelta il valore del portafoglio è lo stesso sia in H che in L, indichiamolo con ; • Il portafoglio è quindi privo di rischio; • infatti assume lo stesso valore in tutti gli stati del mondo. • Come possiamo replicare questo portafoglio? • Acquistando in t  unità del titolo privo di rischio. • Per il principio di assenza di arbitraggio due attività finanziarie che hanno lo stesso valore ad un tempo futuro T, devono avere lo stesso valore anche oggi. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  10. Relazioni di Arbitraggio fra i Prezzi • Indicando con  il valore del portafoglio all’istante T, il principio di assenza di arbitraggio implica a t: Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  11. Un esempio importante:Put call parity • Consideriamo un’opzione call alla scadenza • C(T) = max(0, S(T) -K) • essendo S il valore del sottostante e K il valore dello strike price (prezzo di esercizio) • … che può essere scritta nella forma • C(T) = S(T) – min(S(T),K) • È facile verificare che le due scritture sono perfettamente equivalenti! Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  12. Un esempio importante:Put call parity • Dalla relazione precedente • C(T) – S(T) = -min(S(T),K) • Allo stesso modo si può verificare per la put • P(T) - K = -min(S(T), K) • Da questa relazione otteniamo • C(T) + K = P(T) + S(T) • Per l’assenza di arbitraggio questa relazione deve essere valida anche oggi per cui • c(t) + K  exp[-r(T-t)] = p(t) + S(t) • Questa relazione è come put-call parity Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  13. Relazioni arbitraggio tra i prezzi • Riprendiamo la relazione di arbitraggio • X (t) = Y(t) + P(t,T) • Poiché ci sono due stati del mondo all’istante T, possiamo scrivere • X(H) = Y(H) +  • X(L) = Y(L) +  • da cui: •  = (X(H) – X(L))/(Y(H) – Y(L)) • = -(X(H) Y(L) – X(L) Y(H))/(Y(H) – Y(L)) • Sostituendo i valori di alfa e delta nella prima relazione e raccogliamo i termini X(H) e X(L) otteniamo... Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  14. Relazioni arbitraggio tra i prezzi Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  15. La misura risk-adjusted • Si noti che • Y(L) < Y(t)/P(t,T) < Y(H)  *(H), *(L) > 0 • *(H) + *(L) = 1 • * è una misura di probabilità e il prezzo di X(t) è • Si può verificare agevolmente che • Y(t) = P(t,T) E *[Y(T)] • N.B.: la misura * deriva dal non-arbitraggio Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  16. La misura risk-adjusted • Per analizzare le proprietà della misura di probabilità  è immediato osservare che • dove Rf è il tasso di rendimento dell’attività priva di rischio sul periodo da t a T. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  17. La misura risk-adjusted • Sotto la misura di probabilità , quindi, il rendimento atteso del titolo rischioso X è pari al tasso d'interesse privo di rischio. • Si può verificare che anche il rendimento dell'altro titolo rischioso è pari al tasso privo di rischio! • Si tratta quindi di una prerogativa della misura di probabilità  : sotto questa misura, il rendimento di tutti i titoli rischiosi è pari al rendimento del titolo privo di rischio. • E' come se i rendimenti dei titoli venissero calcolati senza tenere conto del loro livello rischio. • Per questo motivo questa misura di probabilità è nota nella letteratura come "misura neutrale rispetto al rischio", oppure "misura aggiustata per il rischio". Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  18. La misura risk-adjusted • Un altro modo di caratterizzare la misura aggiustata per il rischio è il seguente. Misuriamo i titoli rischiosi, ad esempio il titolo X, utilizzando quello privo di rischio come numerario. Definiamo così una nuova variabile • Dalle proprietà della misura aggiustata per il rischio otteniamo adesso • dove abbiamo usato la proprietà della funzione di sconto P(T,T) = 1. • In altri termini, il valore futuro atteso della nuova variabile Z(t), misurato utilizzando la misura aggiustata per il rischio è uguale al valore corrente. • Questa caratteristica è nota nella teoria dei processi stocastici come proprietà di "martingala". • Per questo la misura di probabilità  è nota anche come misura di martingala equivalente (equivalent martingale measure, o EMM). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  19. Il Teorema Fondamentale della Finanza(Harrison e Kreps, 1979 e Harrison e Pliska, 1981, 1983) Nel mercato non esistono possibilità di arbitraggio se e solo se esiste una misura di probabilità sotto la quale i prezzi di tutte le attività finanziarie, misurate utilizzando il titolo privo di rischio come numerario, sono martingale. Se questa misura è unica, il mercato è detto completo. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  20. Valutazione di un’opzione call Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  21. Relazioni arbitraggio tra i prezzi • Consideriamo un portafoglio con • Una posizione lunga in una unità di C • Una posizione corta in  unità di Y • Calcoliamo • Al tempo T • Max(Y(H) – K,0) -  Y(H) =  • Max(Y(L) – K, 0) -  Y(L) =  Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  22. Replica di un’opzione call • Se K < Y(L) < Y(H) •   = 1 e  = - K • Se K > Y(H) > Y(L) •   = 0 e  = 0 • Se Y(L) < K < Y(H) •  0 <  < 1 e  = -Y(H)  • Replica di un’opzione call C(Y,t;T,K) = Y(t) +  P(t,T) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  23. Prodotti di Volatilità (Prima Parte) • Il principio di Assenza di Arbitraggio • Alberi Binomiali • Il modello Binomiale di Cox, Ross e Rubinstein • Opzioni con Barriera • Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera • Alberi Trinomiali Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  24. Alberi Binomiali • Una tecnica utile e diffusa nel pricing delle opzioni è rappresentata dagli alberi binomiali i quali definiscono in modo discreto il possibile percorso dell’attività finanziaria sottostante all’opzione durante la vita della stessa e consentono di derivare il valore del derivato in oggetto; • La modellizzazione della possibile evoluzione del titolo sottostante all’opzione avviene all’interno di un prefissato intervallo temporale; • Il periodo di tempo considerato è suddiviso in intervalli di tempo intermedi e il modello descrive il sentiero dei possibili movimenti del prezzo da un intervallo temporale all’altro. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  25. Alberi Binomiali • Il principio di base del modello binomiale è naturalmente la valutazione dell’opzione in un mondo neutrale rispetto al rischio; • Questo significa che disponendo di due attività finanziarie connesse come le opzioni e i relativi titoli sottostanti può essere realizzata dall’investitore una posizione coperta ossia priva di rischio nella quale ogni variazione di prezzo del titolo sottostane si riflette in una variazione del valore dell’opzione di pari entità ma di segno opposto in modo tale da determinare una compensazione fra utili e perdite. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  26. Alberi Binomiali • Un modello monoperiodale • Consideriamo un solo periodo temporale che inizia all’istante corrente e termina all’istante temporale T (scadenza dell’opzione); • assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni; • Conoscendo la tipologia di opzione (call o put) possiamo determinare il payoff a scadenza nei due stati del mondo finali fu e fd. Su fu Sf Sd fd 0 T Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  27. Alberi Binomiali • Sia S il valore del sottostante e f il valore dell’opzione scritta su di esso. • Formiamo un portafoglio con una posizione lunga in  unità del sottostante e una corta in un’opzione call. • Il valore del portafoglio nei due stati del mondo sarà pari a Su fu Sf Sd fd • Determiniamo il valore di  che rende uguali questi due valori Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  28. Alberi Binomiali • Il portafoglio è quindi privo di rischio per cui, al fine di evitare possibilità di arbitraggio, il suo rendimento deve eguagliare il tasso di rendimento risk-free. • Questo implica che il valore scontato del portafoglio in uno dei due stati del mondo futuri deve eguagliare il valore attuale oggi, ovvero sostituendo ... Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  29. Su = 5.630 fu = 0.630 S = 5.414 f = 0.432 Sd = 5.2 fd = 0.2 Alberi Binomiali Opzione CALL su ENEL Data Valutazione 8/11/2003 Consegna 19/11/2003 Strike = 5.00 S = 5.414 Var% giornaliera = 1.18% tasso risk free ~ 1% Variazione a scadenza stimata al 4% t = 11/365 ~ 0.03 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  30. Alberi Binomiali • L’estensione a più periodi • 1a ipotesi: albero non ricombinante • Un movimento verso l’alto seguito da un movimento verso il basso non riporta il titolo al livello iniziale • L’albero non ricombinante ha una forma del tipo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  31. Alberi Binomiali • Problemi con gli Alberi non ricombinati • Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo dopo 100 steps genera 1.267.650.600.228.230.000.000.000.000.000 nodi • Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…) • Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  32. Alberi Binomiali • Alberi Ricombinanti • Sostituendo un albero a cespuglio con un albero “ricombinante” rinunciamo alle informazioni sui singoli sentieri che portano allo stesso nodo; • L’informazione può essere rilevante per • valutare opzioni con pay-offpath-dependent • modelli della dinamica del tasso di interesse • Alcuni programmi di ricerca sono dedicati a metodologie per ridurre la crescita dei bushy-trees Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  33. Generalizzazione a più livelli Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  34. Prodotti di Volatilità (Prima Parte) • Strategie in Opzioni • Alberi Binomiali • Il modello Binomiale di Cox, Ross e Rubinstein • Opzioni con Barriera • Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera • Alberi Trinomiali Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  35. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein • Riprendiamo la definizione di probabilità risk-neutral • Poniamo • Inoltre ricordiamo che Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  36. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein • Possiamo quindi scrivere • Come determiniamo i fattori u e d? • In funzione della volatilità del sottostante • La scelta d = 1/u garantisce che l’albero si sviluppi attorno al prezzo corrente del sottostante (infatti con questa posizione si ha (Su)d = S) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  37. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein La scelta di u e d si giustifica ricordando che la volatilità del rendimento dell’azione, nel nostro modello deve essere pari a 2t Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  38. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein Sostituendo ud = 1 e sviluppando al primo ordine otteniamo... Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  39. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein • Verifichiamo che la posizione porta al risultato desiderato. • Sviluppando al primo ordine in t abbiamo infatti da cui (trattenendo solo i termini al primo ordine) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  40. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein s(0, 0) = PrezzoSottostante For n = 1 To NumeroSteps For j = n To 1 Step -1 s(j, n) = u * s(j - 1, n - 1) Next j s(0, n) = d * s(0, n - 1) Next n Per ogni livello tutti i nodi tranne l’ultimo derivano dal corrispondente nodo precedente moltiplicato per il coefficiente u. L’ultimo nodo deriva dal precedente moltiplicato per d. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  41. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein For j = 0 To NumeroSteps V(j, NumeroSteps) = Payoff(s(j, NumeroSteps), Strike, FlagCall) Next j For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = (p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) * FattoreSconto Next j Next n Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  42. Il modello Binomiale di Cox-Ross-Rubinstein • Esercizio Anticipato • Fino a questo momento abbiamo considerato solo opzioni di tipo europeo cioè opzioni esercitabili soltanto alla scadenza; • Le opzioni di tipo americano, cioè quelle esercitabili entro la scadenza, sono facilmente valutabili nell’approccio binomiale; • Ad ogni step è necessario valutare qual’è il maggior valore fra • il valore dell’opzione calcolato come valore atteso futuro (continuation value) • il valore che deriva dall’esercizio immediato dell’opzione (payoff) For n = NumeroSteps To 1 Step -1 For j = 0 To n - 1 V(j, n - 1) = Application.Max((p * V(j + 1, n) + (1 - p) * V(j, n)) _ * FattoreSconto, Payoff(s(j, n - 1), Strike, FlagCall)) Next j Next n Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  43. Esempio ProgrammazioneVBA Calcolo del Prezzo di un’Opzione con Albero Binomiale Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  44. Prodotti di Volatilità (Prima Parte) • Il principio di Assenza di Arbitraggio • Alberi Binomiali • Il modello Binomiale di Cox, Ross e Rubinstein • Opzioni con Barriera • Alberi Binomiali per Opzioni con Barriera • Alberi Trinomiali Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  45. Opzioni con Barriera • Le opzioni con barriera sono opzioni il cui valore finale dipende dall’eventualità che il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga o meno un certo livello (cosiddetto barriera) durante il periodo di vita dell’opzione; • Le opzioni con barriera possono essere distinte in • Opzioni barrier knock-in • Opzioni barrier knock-out Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  46. Opzioni con Barriera • Opzioni barrier knock-in • Sono opzioni che si attivano solamente nel caso in cui il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore; • A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: • Opzioni down-and-in. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere; • Opzioni up-and-in. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  47. Opzioni con Barriera • Opzioni barrier knock-out • Sono opzioni che cessano di esistere nel caso in cui il prezzo dell’asset finanziario sottostante raggiunga un determinato valore; • A seconda della posizione della barriera rispetto al prezzo del sottostante si distinguono: • Opzioni down-and-out. Si tratta di opzioni in cui la barriera è posta al di sotto del prezzo del titolo sottostante al tempo in cui esse iniziano a decorrere; • Opzioni up-and-out. Sono opzioni in cui la barriera è posta invece al di sopra del prezzo del sottostante all’istante iniziale. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  48. Opzioni con Barriera: Knock-in Opzione down-and-in L’opzione si attiva Opzione up-and-in L’opzione si attiva Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  49. Opzioni con Barriera: Knock-out Opzione down-and-out L’opzione cessa di esistere Opzione up-and-out L’opzione cessa di esistere Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

  50. Opzioni con Barriera • Le opzioni con barriera possono prevedere un compenso (il cosiddetto rebate) nel caso in cui il percorso del prezzo dell’attività finanziaria sottostante si riveli sfavorevole al detentore dell’opzione; • Ad esempio l’acquirente di un’opzione knock-in riceverà una somma fissa (il rebate appunto) se la barriera non si è attivata mentre il contrario è previsto per un’opzione knock-out; • La differenza fra le due tipologie di opzioni non risiede soltanto nella condizione di attaversamento o no della barriera ma anche nel fatto che nelle knock-out il rebate viene pagato appena c’è il raggiungimento della stessa mentre nelle knock-in occorre attendere la scadenza per essere certi del non attraversamento. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2005-2006

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