Modelli Matematici per i Mercati Finanziari I

1. U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI“Lorenzo Mascheroni” Modelli Matematici per i Mercati Finanziari I Immunizzazione con GAMS (Vittorio Moriggia)

2. Gestore selezione della composizione ribilanciamento del portafoglio misurazione delle prestazioni Investitori saldo netto positivo strategie passive: replica di un indice, portafoglio alla Markowitz strategie attive su mispricing saldo netto nullo (Asset-Liabilities Mgnt) strategie passive: perfect cash flow matching, portafogli dedicati, portafogli immunizzazione strategie attive su mispricing Attori delle selezioni di portafoglio

3. Perfect Cash Flow Matching • costruire un portafoglio a costo minimo tale da garantire esattamente ad ogni scadenza delle passività la piena copertura U=1,2,...,IUniverso delle obbligazioni xi= quantità del titoloi–esimo qi= Quotazione di mercato del titolo  = indice della data di pagamento della passività con T L= passività al tempo  Ci= Ammontare dei flussi del titolo iin  variabile decisionale

4. liabilities.txt liability liabrate(*) 23-06-1989 0 0.092370 01-09-1989 50000 0.092281 15-06-1990 42000 0.090367 01-12-1990 40000 0.088643 01-12-1991 40000 0.085649 01-06-1993 45000 0.086548 (*)la struttura per scadenza delle passività è calcolata con un fitting di cubic-spline in regime di capitalizzazione continua, Actual/365 Data set derived from U.S.Treasury Quotes for 6/23/89 from the Wall Street Journal

5. Esercizio 1 • Definire gli opportuni insiemi per la tabella delle passività • Includere il file liabilites.txt per inizializzare il parametro delle passività. La sintassi del comando include è la seguente: $include "nomefile"

6. bonds.txt bond-1 bond-2 bond-3 bond-4 bond-5 bond-6 bond-7 bond-8 15-07-1989 103.8125 107.25 15-08-1989 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-02-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-08-1990 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-02-1991 7.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-08-1991 107.4375 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-02-1992 3.625 4.125 4.3125 4.375 5.9375 15-08-1992 103.625 104.125 4.3125 4.375 5.9375 15-02-1993 4.3125 4.375 5.9375 15-08-1993 104.3125 104.375 105.9375 yield 8.35 8.56 8.08 8.29 8.37 8.35 8.35 8.36 price(*)99.9063 100.2812 113.0625 97.1563 99.6563 100.9375 101.375 112.0625 accr(**)3.3491 6.3688 5.2597 2.5635 2.9171 3.0497 3.0939 4.1989 (*) I prezzi sono al corso secco (**) I ratei (accruals) sono calcolati alla data corrente

7. Esercizio 2 • Definire gli opportuni insiemi per la tabella delle obbligazioni (per le righe conviene utilizzare un asterisco) • Definire la tabella delle obbligazioni e includere il file bonds.txt • Calcolare i prezzi corso tel-quel: corso tel-quel = corso secco + rateo

8. L’insieme T riguarda solamente le scadenze delle passività. I flussi di cassa delle obbligazioni devono cadere nelle stesse date Orizzonte temporale: osservazione Il problema non è risolvibile!(infeasible)

9. Esercizio 3 • Individuare le variabili decisionali • Definire il problema PCFM (Perfect Cash Flow Matching) e risolverlo • Commentare i risultati

10. Considerazioni sui risultati • La maggior parte dei problemi sono non ammissibili (infeasible) • Una possibile e parziale soluzione è data dalla creazione di portafogli dedicati • Viene infatti rilassata la condizioni di perfect matching tra i flussi per una condizione meno stringente

11. Poiché spesso il perfect matching non è realizzabile, si costruisce un portafoglio dedicato in cui ciascun flusso in uscita è inferiore o uguale a ciascun flusso in entrata generato in quel momento o immediatamente prima Portafogli dedicati

12. Dobbiamo definire un insieme T che combini le scadenze delle passività con i flussi di cassa delle obbligazioni Orizzonte temporale Dobbiamo calcolare le distanzein giorni o in anni tra le datedell’interoorizzonte temporale

13. Esercizio 4 • Definire l’insieme T con tutte le scadenze: • Modificare gli insiemi delle passività (Tl) in modo che sia un sottoinsieme dell’insieme T

14. Esercizio 5 • Con l’aiuto di Excel creare il file ASCII maturities.txt contenente la tabella seguente: in cui le colonne “days” e “term” devono  days term 23-06-1989 0 0 15-07-1989 22 0.060273973 15-08-1989 53 0.145205479 01-09-1989 70 0.191780822 . . .

15. Esercizio 5 (continua) contenere, rispettivamente: • i giorni trascorsi tra la prima passività e le successive,ad es. 1/9/1989 – 23/6/1989 = 70gg • i giorni trascorsi tra la prima passività e le successive in anni,ad es. 1/9/1989 – 23/6/1989 / 365 = 0.192 • Includere il file maturities.txt

16. Esercizio 6 • Calcolare i flussi delle attività reinvestiti al tasso  tra due scadenze di passività [–1, ]: • Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modello

17. Come posso scegliere il mio portafoglio di investimento in modo tale che se i portafogli di attivo e passivo sono in equilibrio oggi posso essere sicuro che lo siano anche in futuro indipendentemente da ciò che accadrà ai tassi? Duration matching per singole passività

18. Esercizio 7 • Calcolare i prezzi teorici: • Calcolare le dollar durations:

19. Esercizio 8 • Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modello • Confrontare i risultati con il modello precedente

20. Tenendo conto della convessità Duration matching per passività multiple

21. Esercizio 9 • Calcolare le duration convexity: • Implementare il problema di ottimizzazione e risolvere il modello • Commentare i risultati