BiO-M Wiskundig Modelleren

1. BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 3 Kans- en wachtrijmodellen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

2. Onderwerpen • Kansen • Kansmodellen • Wachtrijsystemen • Aannames • Verdelingen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

3. Kansen • Relatieve frequentie • “zweetkansen” • Wiskundige modellen • “weetkansen” • Subjectieve schattingen • “zwetskansen” BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

4. Kansbepaling 1 • Een schaamteloze fabrikant weet dat in een doos van 12 lampen die hij verkoopt aan een klant er 4 zitten die niet werken. De fabrikant wordt nerveus als de klant eist dat hij er drie uithaalt om te testen of ze het doen. Wat is de kans dat precies één van de drie het niet doet? BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

5. # kapot k 3 k g 2 k k g 2 g 1 k 2 k g g 1 k g 1 g 0 Antwoord kansbepaling 1 1e lamp 2e lamp 3e lamp BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

6. Kansbepaling 2 • Wat is de kans dat in een gegeven groep van willekeurig gekozen personen er tenminste 2 op dezelfde dag van het jaar geboren zijn? BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

7. Antwoord kansbepaling 2 Stel de groep bestaat uit n personen P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 1- P(niemand op zelfde dag jarig) = 1 n = 50  P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 0,975 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

8. Kansmodellen • Stochast: toevalsvariabele • Discrete stochast  kansverdeling • P(x = k)  0 •  P(x = k) = 1 • Continue stochast  kansdichtheid • f(x)  0, voor alle x BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

9. grootte “Calling population” Output service-faciliteiten aankomstproces ... wachtrijsysteem Wachtrij Service mechanisme loketten gedrag Wachtrij-discipline bedieningsproces Wachtrijsysteem BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

10. Kendalls notatie • Aanduiding wachrijsysteem • a/b/c • a: verdeling aankomsttussentijden (aankomstproces) • b: verdeling bedieningstijden (bedieningsproces) • c: aantal loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

11. Aannames • Oneindig grote “calling population” • Aankomstproces: Poissonproces • Gedrag • geen weigering wachtrij • niet weggaan voordat men geholpen is • Wachrij-discipline: FIFO • Bedieningsproces: negatief exponentieel • 1 service-faciliteit, evt. meerdere loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

12. Poisson-proces • Gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar • Gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is constant •  = gemiddeld aantal gebeurtenissen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

13. Negatief-exponentiële verdeling BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

14. Eigenschappen neg-exp verdeling • Geen geheugen • de resterende tijd tot de volgende gebeurtenis is altijd hetzelfde, ongeacht hoeveel tijd al verstreken is • Relatie Poisson-proces • indien gebeurtenissen volgens Poisson-proces gebeuren, dan zijn de tijden tussen de gebeurtenissen negatief-exponentieel verdeeld • verwachte aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is  BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

15. Beschouwde wachrijsystemen: M/M/k • Aankomsten • Poisson-proces • gemiddeld  aankomsten per tijdseenheid • tussen-aankomsttijden zijn neg-exp verdeeld (1/ ) • Bediening • neg-exp verdeeld • gemiddelde bedieningstijd 1/ • aantal bedieningen per tijdseenheid Poisson-verdeeld () • k loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

16. Toestanden van het systeem • Transient state • wachtrij-systeem is net opgestart • toestand van het systeem is erg afhankelijk van hoeveel tijd er verstreken is • formules zijn niet bruikbaar • Steady state • wachtrij-systeem functioneert al enige tijd • toestand van het systeem is stabiel • formules zijn bruikbaar BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

17. Waarschuwingen • Waag geen sprong in het duister • Alleen volgens handleiding gebruiken • Een menukaart is niet eetbaar • Legaliseer polygamie • Pygmalion BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002