BiO-M Wiskundig Modelleren

1. BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 4 Differentie- en differentiaalvergelijkingen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

2. Onderwerpen • De rijkdom van Jane • Een eerste orde differentievergelijking • Oplossen van differentievergelijkingen • Hogere orde differentievergelijkingen • Een dieet • Een eerste orde differentiaalvergelijking • Scheiden van variabelen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

3. Differentie- en differentiaalvergelijkingen • Wanneer • veranderingen over tijd spelen een rol • Veranderingen gebeuren in stapjes (discreet) • differentievergelijkingen • Veranderingen gebeuren continu • differentiaalvergelijkingen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

4. Hoe Jane rijk werd • Een ouderpaar besluit bij de geboorte van hun dochter Jane elk jaar op haar verjaardag ƒ 200,- op haar spaarbankboekje te storten. De eerste storting vindt plaats op de dag van Jane’s geboorte. Buiten dit jaarlijkse spaarbedrag wordt er niets op de spaarrekening gestort. Evenmin wordt er voor Jane’s twintigste verjaardag een bedrag opgenomen van de rekening. Elk jaar wordt op Jane’s verjaardag een rente van 5% over het totale bedrag bijgeschreven BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

5. Jaar Vermogen Kn Opbouw van Jane’s vermogen 0 200 0.05  200 + 200 1 200 + 0.05  200 + 200 = 410 0.05  410 + 200 2 410 + 0.05  410 + 200 = 630.5 0.05  630.5 + 200 3 630.5 + 0.05  630.5 + 200 = 826.025 Definieer: Kn is het vermogen in jaar n Dan is: Kn+1 - Kn = 0.05  Kn + 200 1e orde differentie BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

6. 1e orde lineaire differentievergelijking lineaire recurrente betrekking Naamgeving Kn = 200 + 0.05Kn  Kn+1 - Kn = 200 + 0.05Kn  Kn+1 = 200 + 1.05Kn BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

7. Kn+1 = 200 + 1.05Kn K1 = 200 + 1.05200 = 200(1 + 1.05) K2 = 200 + 1.05K1 = 200 + 1.05  200 (1+ 1.05) = 200(1 + 1.05 + 1.052) K3 = 200 + 1.05K2 = 200 + 1.05  200 (1+ 1.05 + 1.052) = 200(1 + 1.05 + 1.052 + 1.053) Kn = 200(1 + 1.05 + 1.052 +…+ 1.05n) BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

8. - Jane’s vermogen in jaar n 1.05Kn = 200(1.05 + 1.052 + 1.053 +…+ 1.05n+1) Kn = 200(1 + 1.05 + 1.052 +…+ 1.05n) 1.05Kn - Kn = 200(1.05n+1 - 1) BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

9. Algemene oplossing 1e orde vergelijking • 1e orde lineaire differentievergelijking • un = a + (b-1).un • 1e orde lineaire recurrente betrekking • un+1 = a + b.un • Algemene oplossing: Homogene differentievergelijking: un = (b-1).un BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

10. Hogere orde differentievergelijkingen • Hogere orde differenties • verschillen van verschillen • 2un = un+1 - un = un+2 - un+1 - (un+1 - un) = un+2 - 2un+1 + un • Voorbeeld • Yn+3 - 3Yn+2 + 8Yn+1 -4Yn = 0 • 3e orde homogene lineaire differentievergelijking • 3 beginvoorwaarden nodig BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

11. Afvallen • Door de toepassing van een streng dieet valt een persoon van 90 kg in 30 dagen 10 kg af. Er is vastgesteld dat het gewichtsverlies per dag evenredig was met het gewicht op dat moment. • Beschrijf het afvalproces door middel van een differentiaalvergelijking BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

12. gewichtsverlies is evenredig met gewicht zelf Een afval differentiaalvergelijking • Definieer • x(t) is het gewicht op moment t • Dan is • x(t) de verandering in gewicht op moment t • Er geldt: x(t) =  x(t) =  x BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

13. x(t) =  x • 1e orde differentiaalvergelijking • alleen eerste afgeleide • Oplossen door scheiden van variabelen • 2 variabelen • x • t BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

14. Scheiden van variabelen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

15. x(0) = 90 x(30) = 80 Begingewicht: 90 kg In 30 dagen 10 kg afgevallen Bekende gegevens invullen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002