Analisi e gestione del rischio

1. Analisi e gestione del rischio Lezione 14 Basket Credit Derivatives Funzioni di Copula

2. Rischio di portafogli di crediti • Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti si è particolarmente sviluppato in prodotti che forniscono l’esposizione a un portafoglio di credito. • I derivati su basket di crediti hanno svolto lo stesso ruolo dei derivati creditizi a livello univariato. Possono essere utilizzati • Per trasferire il rischio di credito • Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di “nomi”

3. Portafogli di CDS • Assumiamo di avere un portafoglio di un numero limitato anche se non trascurabile di CDS (assumiamo 50-100 nomi, ad esempio) • Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di osservare kdefault entro la scadenza del CDS e assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e la stessa per tutti gli n nomi.

4. Derivati “first-to-default” • Consideriamo un derivato di credito che paga “protezione”, la prima volta che un elemento del paniere di “nomi” di riferimento è in default. La protezione si estende fino al tempo T. • Valore del derivato è FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i nomi nel basket. Possiamo anche scrivere Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)

5. Derivati “first-x-to-default” • Consideriamo invece un derivato di credito che paga “protezione”, sui primi x default dei “nomi” di riferimento del paniere precedente. • Il valore del derivato sarà ovviamente

6. La specificazione di Q(x) • Valutare i derivati di credito su basket richiede quindi la specificazione della distribuzione congiunta di default Q(x) • Tale distribuzione dipende da due elementi • La probabilità di default (e la LGD, se considerata stocastica), di ciascun “nome” nel basket • La struttura di correlazione (dipendenza) tra default (e LGD) dei “nomi” nel basket.

7. Modelli di Q(x) • Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita attesa di ciascun nome sono • Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e stessa LGD) • Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default e diversa LGD) • Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono • Default indipendenti • Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin) • Funzioni di copula • Factor copula (default condizionalmente indipendenti)

8. Default indipendenti • Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le scelte più ovvie per la distribuzione congiunta sono • La distribuzione binomiale • La distribuzione di Poisson

9. Intensità di portafoglio • Il modello di Poisson è particolarmente utile perché consente l’immediata estensione dei modelli in forma ridotta a portafogli di crediti. • L’assunzione di indipendenza implica che Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)… e nei modelli intensity based Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)] • Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che è la somma delle intensità di default individuali dei singoli nomi:  = 1 + 2 +…

10. Valutazione di un first-to-default • Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]) • Il problema è trovare un’estensione di questo modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli eventi di default.

11. Distribuzione di Marshall Olkin • La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale estensione del processo di Poisson al caso multivariato. • Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la distribuzione di Marshall Olkin abbiamo Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)] • La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è 12 = 12 /(1 + 2 + 12)

12. Intensità di portafoglio • L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che shock diversi causano il default di sotto-insiemi dei nomi. • Il problema è che può esistere un numero arbitrariamente alto di shock, e questo rende la calibrazione del modello proibitiva • In genere viene proposta la specificazione

13. Valutazione di un first-to-default • Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)]) • Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di default riduce il valore del contratto first-to-default.

14. Funzioni di copula • Alla base delle funzioni di copula c’è il principio delle trasformazione con integrale di probabilità. • Se per una variabile Xi con distribuzione di probabilità Hi calcoliamo la trasformata integrale ui =Hi(Xi), ui ha distribuzione uniforme in [0,1]. • Dalla distribuzione congiunta H(X1, X2,…, Xn ), H(X1, X2,…, Xn ) = = H(H1-1(u1), H2-1(u2),…, Hn-1(un))=C(u1, u2,…,un) • La funzione C(u1, u2,…,un) è detta funzione di copula. Che proprietà deve avere?

15. Funzioni di copula • Prendiamo per esempio il caso bivariato. • Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se z, u e v sono in [0,1] C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) – C (u1, v1)  0 per tutti i valori u2 > u1 ev2 > v1 • Teorema di Sklar: ogni distribuzione congiunta può essere scritta come una funzione di copula che abbia le distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasi funzione di copula che abbia distribuzioni come argomenti è una distribuzione congiunta

16. Funzioni di copula: esempi • Due rischi A e B con probabilità congiunta H(A,B) e probabilità marginali Ha(A) e Hb(B) H(A,B) = C(Ha, Hb), e C è una funzione di copula. • Casi: 1) Cind(Ha, Hb) = HaHb, rischi indipendenti 2) Cmax(Ha, Hb) =min(Ha,Hb) dipendenza perfetta positiva 3) Cmin(Ha, Hb) =max(Ha + Hb–1,0) dipendenza perfetta negativa • Dipendenza imperfetta (limiti di Fréchet) max(Ha + Hb–1,0) C(Ha, Hb)  min(Ha,Hb)

17. Correlazione • Uno dei problemi della non-normalità dei rendimenti a livello multivariato è che la correlazione lineare non è affidabile • Può verificarsi che la correlazione lineare risulti inferiore a 1 (superiore a – 1) anche se due variabili sono perfettamente dipendenti. • Questo si verifica quando • Le distribuzioni marginali non sono ellittiche • Le relazioni tra le due variabili non sono lineari • Esempio: x ~ N(0,1), y = x2 ~ 1 è semplice mostrare che la covarianza è zero, anche se ovviamente x e y sono perfettamente correlati.

18. Funzioni di copula e struttura di dipendenza • Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di dipendenza, come il  di Kendall o il S di Spearman’s • Si noti, che, a differenza degli stimatori non parametrici, l’indice di correlazione lineare  dipende dalle distribuzioni marginali e può non coprire l’intero range tra – 1 e + 1, e rende problematica la determinazione del grado relativo di dipendenza.

19. Esempi di funzioni di copula Copule ellittiche • Distribuzioni multivariate ellittiche, come la normale o la t di Student, possono essere utilizzati come funzioni di copula. • Copule normali sono ottenute da C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) e gli eventi estremi sono indipendenti. • Per funzioni di copula Student t con v gradi di libertà C(u1, u2,…, uN) = T(T – 1 (u1 ), T – 1 (u2 ), …, T – 1 (uN ); , v) eventi estremi sono dipendenti, e l’indice di tail dependence è una funzione di  e v.

20. Esempi di funzioni di copula Copule archimedee • Copule archimedee sono costruite a partire da una funzione generatrice  da cui calcoliamo C(u,v) =  – 1 [(u)+(v)] • Un esempio è la copula di Clayton. Ponendo (t) = [t –a – 1]/a otteniamo C(u,v) = max[u –a+v –a – 1,0] –1/a