Analisi e gestione del rischio

1. Analisi e gestione del rischio Lezione 17 Tecniche di mitigazione del rischio

2. Tecniche di mitigazione del rischio • Sul mercato si usano diverse tecniche per la mitigazione del rischio di controparte. L’ispirazione alla base di queste tecniche risiede fondamentalmente nella struttura dei mercati di tipo futures-style, basati su tre principi di fondo • La predisposizione di margini di garanzia • La rivalutazione (marking-to-market) e la liquidazione di guadagni e perdite sulle posizioni prima della scadenza del contratto. • La compensazione di guadagni e perdite su operazioni diverse • La predisposizione di clausole di mitigazione del rischio di controparte rendono più complessa la valutazione dei prodotti finanziari. Purtroppo non esiste molta letteratura sull’argomento.

3. Tecniche di mitigazione del rischioLa teoria • In principio possiamo pensare a diverse tecniche di riduzione del rischio di controparte • Possiamo far versare un margine alle due controparti all’inizio del contratto • Possiamo rivalutare la posizione a cadenze giornaliere o settimanali e richiedere il deposito della perdita come collateral • Possiamo accedere a un accordo di netting per cui in caso di default viene liquidata l’esposizione netta tra le controparti.

4. Tecniche di mitigazione del rischioLa pratica • In teoria tutte le tecniche descritte sopra portano a una riduzione del rischio di controparte. • Nella pratica gran parte delle banche utilizzano l’ISDA Agreement sul netting (punto 3) ed il Credit Annex che prevede il marking-to-market periodico delle esposizioni e lo scambio di collateral (punto 2)

5. Un semplice esempio • Riprendiamo il semplice esempio con cui abbiamo iniziato la nostra analisi: in contratto forward stipulato al tempo 0. • Sappiamo che il rischio di controparte è • Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione callvulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0). • Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0). • Per semplicità assumeremo anche che il sottostante ed il merito di credito della controparte siano indipendenti.

6. L’introduzione di un margine • Assumiamo che le parti si accordino per il versamento di un margine, sullo stile di un mercato futures, pari a C. In questo caso le controparti subiscono una perdita in caso di default solo nel caso in cui il valore del contratto in quella data sia maggiore di C. • L’estensione dell’analisi precedente è immediata e il rischio di controparte è valutato • Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione callvulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari a F(0) + C. • Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0) – C.

7. Margine con soglia • E’ facile realizzare che il rischio di controparte nel caso di margine con soglia equivale a una posizione corta in un’opzione con possibilità di reset dello strike, con il reset legato alla possibilità che la perdita ecceda una data barriera. Sappiamo che un’opzione di questo tipo è chiamata ladder • Otteniamo quindi per la posizione lunga,e per ogni t <   T LgdBfB()Call Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) + H) • Per la controparte corta avremo invece LgdAfA()Put Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) – H) dove fi() è la densità dei tempi di default di i = A, B. • Il rischio di controparte del contratto sarà ottenuto integrando le funzioni riportate sopra rispetto a .

8. L’utilizzo del collateral • Nella pratica viene utilizzata la tecnica dello scambio di collateral. • In particolare: • A intervalli regolari viene valutata la posizione a prezzi di mercato. • La controparte per la quale il contratto è out-of-the-money deposita la perdita come collateral presso la controparte • In generale lo scambio di collateral avviene per variazioni oltre una soglia minima. Comunque agli effetti pratici tale soglia è trascurabile perché è legata a problematiche di tipo operativo: evitare movimentazioni di cash per ammontari irrisori.

9. Rischio di controparte con collateral • Assumiamo una controparte lunga nel contratto forward, e assumiamo che al tempo  venga rivalutata la posizione a prezzi di mercato (marking-to-market). • Fino al tempo  la perdita a seguito di default della controparte sarà data da una posizione corta in un’opzione call con strike F(0). • Nell’ipotesi che la controparte non sia fallita prima di  in cui sia S() – P(,T)F(0) > 0, l’ammontare verrà depositato come collateral. • Se assumiamo anche che il collateral renda il tasso privo di rischio dal tempo  a T abbiamo che in questo caso la perdita da sarà data da S(T) – S() /P(,T) > 0

10. Il rischio di controparte con collateral • Definiamo GB(T) e GB() le probabilità di sopravvivenza della controparte corta. • Denotiamo inoltre Q( )= Pr(S()  P(,T)F(0)) • Al tempo t il rischio di controparte sarà dato da LgdB(1 – GB()) Call(S,t; F(0),T) + LgdB(GB() – GB(T)) FSCall(S,; S()/P(,T) ,T) [1 – Q()] + LgdB(GB() – GB(T)) Call(S,t; F(0) ,T) Q() dove FSCall(.) denota un’opzione call forward start.

11. Il rischio di controparte • La valutazione del rischio di controparte implica in questo caso • Un’opzione call con strike F(0) nell’evento che il default si verifichi prima della data di marking-to-market  • Una opzione forward start at-the-money forward nell’ipotesi che il default si verifichi dopo  e la posizione lunga sia in-the-money • Un’opzione call con strike F(0) nell’ipotesi che il default si verifichi dopo  e la posizione lunga sia out-of-the-money

12. Opzioni forward start: un richiamo • Ricordiamo che il valore di un’opzione forward start con inizio al tempo  e strike S() è uguale a • FSCall(S,; S() ,T) = = exp(–d( – t))Call(S,t; S(t),T –) dove d è il dividend yield. • Nel nostro caso, assumendo dato il tasso d’interesse r, possiamo porre  = exp(r(T – ))

13. Reset dello strike price • Una forma che è in qualche caso utilizzata e che conduce a una valutazione più semplice è data dalla liquidazione del contratto su una sequenza di date {t1,t2,…tn} e dalla riapertura di un altro contratto con la stessa scadenza T. • In questo caso il rischio di controparte è rappresentato da una sequenza di opzioni forward start, cioè un’opzione ratchet.

14. Reset dello strike price • In questo caso il valore del rischio di controparte è rappresentato da

17. Contingent collateral • Assumiamo che alla controparte sia richiesto di depositare collateral nel caso in cui il valore del contratto si muova contro di lei di più di H. Il pay-off sarà S() – v(,T)F(0) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0) < H oer ogni t   S() – v(,T)(F(0) + H) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0)  H per almeno un t   • Il prezzo del rischio di controparte per la parte lunga è f() LgdB[DOC(S(t),t; v(,T)F(0), , v(,T)F(0) + H)+ +DIN(S(t),t; v(,T)(F(0)+H), , v(,T)F(0) + H)] dove f() è la probabilità istantanea di default.

18. Opzioni ladder: richiamo • Richiamiamo le tecniche di valutazione utilizzabili per le opzioni ladder. Almeno nel nostro caso, con una sola soglia, questa opzione può essere replicata con opzioni con barriera. • Abbiamo infatti che: Opzione ladder (K, H) = Down(Up)-and-Out(K,H) + Down(Up)-and-In(H,H) • E’ immediato osservare che nel momento in cui la barriera viene toccata l’opzione originaria si disattiva e se ne attiva un’altra con un nuovo strike H, come dalla descrizione del prodotto.

20. Netting • La tecnica di riduzione del rischio di controparte più diffusa, particolarmente per transazioni tra intermediari finanziari è rappresentata dal netting agreement. • L’accordo di netting prevede che l’esposizione rilevante tra due controparti sia quella netta, cioè quella pari alla differenza tra i valori delle diverse posizioni.

21. Un semplice esempio • Assumiamo che la controparte A abbia CFi posizioni in contratti forward, i = 1, 2,…,p, con prezzi di delivery Fi e data di consegna Ti con la stessa controparte B. • Il valore di ogni posizione è valutato come CFi = [Si(t) – P(t,Ti)Fi] dove  = 1 rappresenta posizioni lunghe e  = – 1 rappresenta posizioni corte.

22. Valutazione del rischio di credito con netting • Assumiamo che la controparte B vada in default al tempo . Il valore dell’esposizione al quella data sarà pari al pay-off di un’opzione basket

23. Simulazione Monte Carlo • Come è noto l’unico modo di valutare opzioni basket è la simulazione Monte Carlo. • L’idea è di selezionare una griglia di date {t1,t2,…tn} e per ognuna di queste valutare un’opzione basket, con strike A(ti). Il valore del rischio di controparte in questo caso è quindi, per ogni data [G(ti-1) – G(ti)]Opzione Basket (S1, …Sp, ti; A(ti), ti) dove G(ti) è la probabilità di sopravvivenza della controparte oltre il tempo ti. • L’estensione all’utilizzo del collateral avviene secondo le stesse linee descritte nel caso della esposizione univariata.