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Analisi e gestione del rischio. Lezione 16 Rischio di controparte in derivati. Derivati su mercati OTC. Lo sviluppo del mercato del finanza strutturata e l’operatività dei fondi speculativi ha spostato il baricentro dell’operatività in prodotti derivati sul mercato OTC
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Analisi e gestione del rischio Lezione 16 Rischio di controparte in derivati
Derivati su mercati OTC • Lo sviluppo del mercato del finanza strutturata e l’operatività dei fondi speculativi ha spostato il baricentro dell’operatività in prodotti derivati sul mercato OTC • Il mercato OTC consente • la copertura più precisa dei rischi connessi alle operazioni di finanza strutturata (es la copertura di prodotti esotici) • la realizzazione più precisa di strategie speculative degli hedge fund
Valutazione di prodotti OTC • La valutazione dei contratti OTC richiede di prendere in considerazione la possibilità che • La controparte fallisca prima della scadenza del contratto. • Il contratto debba essere chiuso prima della scadenza naturale del contratto • Le condizioni del merito di credito e di liquidità del mercato possono cambiare nel corso del contratto
L’esempio più semplice • Consideriamo un contratto lineare OTC, un forward, stipulato a tempo 0. • Se analizziamo la posizione prendendo in considerazione solo il rischio di variazioni del sottostante la valutazione è immediata CF(t) = P(t,T)EQ[S(T) –F(0)] = S(t) – P(t,T)F(0) dove F(0) è il prezzo forward al tempo 0. • Si noti che il prodotto è lineare (delta = 1) ed il portafoglio di replica è statico.
Il rischio di controparte • Per semplicità assumiamo che la il default della controparte avvenga alla data di consegna T. Si noti che i tempi necessari per l’eventuale recupero del credito sono tipicamente superiori a quelli di un derivato, a favore della nostra ipotesi, che comunque verrà abbandonata. • Assumiamo che se il valore del derivato alla data di scadenza è positivo per la controparte in default l’altra sia tenuta a onorare comunque il contratto, mentre se è negativo il credito della controparte ha lo stesso grado di seniority delle altre passività.
Posizioni lunghe e corte • La valutazione dell’impatto del rischio di controparte richiede la distinzione del segno della posizione. Assumiamo che la controparte A sia lunga (acquisto del forward) e la controparte B sia corta (vendita). • Nel caso in cui alla data di consegna sia S(T) > F(0) si dice che il contratto è in-the-money per la controparte lunga. In questo caso l’evento di credito rilevante è il default della controparte corta del contratto. • Se si verifica invece S(T) < F(0) si dice che il contratto è in-the-money per la controparte corta, ed è questa a essere esposta al rischio di credito. In questo caso l’evento di credito rilevante è il default della controparte lunga del contratto.
Default e perdita • Introduciamo due funzioni caratteristiche 1A e 1B. Ciascuna funzione assume valore 1 se la controparte riportata in pedice (A o B) è in stato di default al tempo T, e zero altrimenti. • Definiamo RRA e RRB i tassi di recupero delle due controparti. Nello stesso modo definiamo le loss-given-default LgdA = 1 – RRA e LgdB = 1 – RRB.
Rischio di controparte (lunga) • Il valore del pay-off del contratto forward deve tenere conto sia del segno del valore sia dell’evento di default della controparte rilevante. • Dal punto di vista della controparte lunga CFA(T) = max[S(T) – F(0),0](1 –1B) + max[S(T) – F(0),0]RRB1B – – max[F(0) –S(T),0] = CF(T) – LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]
Rischio di controparte (corta) • Anche per la controparte corta l’evento di default è rilevante solo nell’ipotesi in cui il valore del contratto finisca in-the-money. • Dal punto di vista della controparte corta CFB(T) = max[F(0) – S(T),0](1 –1A) + max[F(0) – S(T),0]RRA1A – – max[S(T) – F(0),0] = – CF(T) – LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]
Il rischio di controparte • Il rischio di controparte corrisponde a una posizione corta in opzioni. • L’opzione è di tipo call per il rischio di controparte dal punto di vista della controparte lunga del contratto. E’ di tipo put dal punto di vista della controparte corta. • N.B. L’esercizio dell’opzione dipende da • Il valore del sottostante alla data T • L’evento di default della controparte rilevante
Valutazione del contratto • Il valore del prodotto dal punto di vista della controparte lunga sarà dato da CFA(t) = S(t) – P(t,T)F(0) – EQ[P(t,T)LgdB1Bmax[S(T) – F(0),0]] = • Dal punto di vista della controparte corta avremo invece CFB(T) = – S(t) + P(t,T)F(0) – EQ[P(t,T)LgdA1Amax[F(0) – S(T),0]]
Fattori di rischio • Il rischio di controparte è rappresentato da EQ[P(t,T)Lgdi1imax[(S(T) – F(0)),0]] con i = A, B e = 1(–1) per opzioni call (put) • Il rischio di controparte è composto da • Rischio di tasso. • Rischio di mercato del sottostante • Rischio di default della controparte • Rischio di recovery • Tutti questi fattori di rischio possono essere correlati tra di loro.
Un modello semplice • Per focalizzare l’attenzione sugli effetti del rischio di controparte assumiamo che • Il tasso d’interesse sia dato o indipendente dagli altri fattori di rischio (quali modifiche richiederebbe il modello per abbandonare questa ipotesi?) • Il rischio di default della controparte sia indipendente dagli altri fattori di rischio.
Valutazione • Il valore del rischio di controparte è P(t,T)EQ[Lgdi1i] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]] • Notiamo che nel caso di un titolo zero-coupon-bond emesso da i, abbiamo Di = P(t,T) – P(t,T)EQ[Lgdi1i], o anche Di = P(t,T) – P(t,T)ELi, con ELi =EQ[Lgdi1i] la perdita attesa (expected loss). • Nel caso di indipendenza tra il mercato sottostante ed il rischio di default della controparte abbiamo [P(t,T) –Di] EQ[max[(S(T) – F(0)),0]]
Effetti del rischio di controparte (1) • Il primo effetto del rischio di controparte è quello di introdurre un secondo fattore di rischio. • Il valore del contratto finanziario può cambiare a causa di variazioni del profilo di rischio della controparte, riflessa nel credit spread di mercato o nella expected loss.
Il rischio di credito: approccio strutturale • Nel modello strutturale il rischio di credito è rappresentato da una posizione corta in un’opzione put. Otteniamo quindi
Il rischio di credito: i modelli in forma ridotta • Alternativamente, la probabilità di default può essere rappresentata in termini di intensità di default nell’approccio in forma ridotta (o intensity based). • In questo caso probabilità di default di una controparte è data da DP = (1 – exp(–(T–t)) e quindi EL = Lgd(1 – exp(–(T–t))
Informazione sul rischio di credito • La probabilità di default può essere calibrata usando • Dati storici (tassi di default e matrici di transizione) • Informazione implicita nei prezzi azionari • Informazione implicita negli asset swap. • Informazione implicita nei credit spread • Informazione implicita nei CDS
Effetti del rischio di controparte (2) • Un effetto rilevante del rischio di controparte è quello di trasformare un qualsiasi prodotto lineare in uno non lineare. • La componente di non linearità modifica il profilo di rischio del prodotto finanziario anche rispetto al rischio di mercato del sottostante. • In altri termini, anche assumendo che il merito rischio della controparte resti lo stesso, il valore del contratto risponde in maniera diversa ad aumenti e diminuzioni del sottostante.
Greek letters • La sensitività del contratto derivato a variazioni infinitesime del prezzo di mercato non è più quella di un titolo lineare. Abbiamo infatti A = 1 – ELBN() B = – 1 + ELAN(– ) con =(ln(S(t)/F(0))+(r + ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]
Effetti del rischio di controparte (3) • Non solo il rischio di controparte introduce non linearità in prodotti lineari: poiché si tratta di posizioni corte in opzioni, il tipo di non linearità introdotta è particolarmente rischiosa. • A parità di merito di credito della controparte e di valore di mercato del sottostante, il valore del contratto può essere ridotto da un aumento della volatilità del mercato (effetto vega) • Il rischio di controparte aumenta per variazioni di dimensioni rilevanti del sottostante sia al rialzo che al ribasso (effetto gamma).
Gamma e Vega • L’effetto di variazioni di dimensioni rilevanti del sottostante è dato da – n()/ [S(t)(T – t)1/2] • L’effetto di variazioni della volatilità è dato da – S(t)n()/ [(T – t)1/2 ] =(ln(S(t)/F(0))+(r – ½ 2)(T – t))/[(T – t)1/2 ]
Un esempio • Anagrafica contratto forward • Valore nozionale 1 milione • Volatilità 20% • Tempo di delivery 1 anno • Anagrafica della controparte • Loss given default (Lgd): 100% • Probabilità di default a 1 anno: 5% • Valore del rischio di controparte all’origine per posizione sia lunga che corta: 3983
Default prima della scadenza • Modifichiamo adesso l’analisi assumendo che il default si verifichi prima della scadenza, per esempio al tempo . • Il valore della perdita per posizioni lunghe max[S() – P( ,T)F(0), 0 ] e per le posizioni corte max[P( ,T)F(0) – S(), 0 ] • Il valore dell’esposizione al rischio di controparte è dato da una sequenza di opzioni che verrano moltiplicate per la densità di probabilità di default corrispondente a tempo .
Un algoritmo di valutazione del rischio di controparte • Ripartiamo il tempo di vita del contratto forward in una griglia di date {t1,t2,…tn} • Denotiamo Gj(ti) la probabilità di sopravvivenza della controparte j = A, B oltre il tempo ti. • Calcoliamo [GB(ti -1) – GB(ti) ]Call(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti ) [GA(ti -1) – GA(ti) ] Put(S(ti), ti; P(ti ,T)F(0), ti ) rispettivamente per posizioni lunghe o corte • Sommiamo i valori così ottenuti da per i che va da 1 a n.
Rischio di controparte in contratti swap • In un contratto swap entrambe le gambe del contratto sono esposte al rischio di controparte. • Nell’evento di default di una delle due parti l’altra subisce la perdita del valore netto di due flussi di pagamenti, se positivo. • Si noti che il valore netto del contratto è positivo se il valore del tasso swap al tempo del default è maggiore di quello all’origine, quando il contratto ha valore zero per convenzione.
L’esposizione al rischio di controparte • Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1, t2,…, tn} e che il default della controparte che riceve fisso (B) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la perdita per la controparte che paga fisso è pari a dove srè il tasso swap al tempo tj e kè il tasso swap originario. • Si noti che il pay-off è quello di una swaption payer.
L’esposizione al rischio di controparte • Assumiamo che lo scadenzario del contratto swap sia {t1, t2,…, tn} e che il default della controparte che paga fisso (A) si verifichi tra il tempo tj-1 e tj. In questo caso la perdita per la controparte che riceve fisso è pari a dove srè il tasso swap al tempo tj e kè il tasso swap originario. • Si noti che il pay-off è quello di una swaption receiver.
