Analisi e gestione del rischio

Analisi e gestione del rischio Lezione 11 Modelli in forma ridotta

Limiti del modello di Merton Il modello di Merton produce: • Sottovalutazione dell’opzione di default put e dei credit spread; 2) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata su scadenze brevi 3) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata per emittenti di standing creditizio più elevato.

Azioni Parmalat e CDS

Il valore di mercato del rischio di credito (Expected loss)…

…e quello previsto dal modello di Merton

Credit spread bassi • Il problema di credit spread bassi è che la calibrazione richiederebbe valori di volatilità dell’attivo troppo alti per essere coerenti con le probabilità di default storiche • Soluzioni • Asset substitution: volatilità dell’attivo può cambiare • Absolute priority violations: servizio strategico del debito (Anderson e Sundaresan, 1996) • Valutazione conservativa del valore dell’attivo e della probabilità di default (Cherubini e Della Lunga, 2001) • Altri fattori di rischio: es. liquidità

Credit spread a breve • Un altro limite rilevante del modello di Merton consiste nel comportamento dei credit spread a breve, che sono molto bassi ed hanno l’intercetta a zero. • Per porre rimedio a questo problema esistono tre soluzioni • Introdurre un processo a salto nel valore dell’azienda (Zhou, 2001) • Introdurre rumore nella default barrier (CreditGrades, Giesecke, 2003) • Introdurre “rumore” nell’informazione sull’azienda (Duffie e Lando, 2001, Baglioni e Cherubini, 2005)

L’approccio in forma ridotta • Nell’approccio in forma ridotta i credit spread sono ottenuti direttamente sulla base di un modello statistico della probabilità di default dei debitori. • Tipicamente, per modellare la probabilità di default è usato un processo di Poisson, che è caratterizzato da un parametro definito “intensità”: per questo questi modelli sono chiamati “intensity based” • Mentre i modelli strutturali sono basati sulla teoria delle opzioni, quelli in forma ridotta usano la teoria della struttura a termine.

Un modello di credit spread • Ricordiamo dai modelli strutturali che il credit spread è ottenuto come r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 –(1 – Q )(1 – V(L)/B)]/(T – t) dove Q è la probabilità di sopravvivenza e V(L)/B è il tasso di recupero. Assumendo un recovery rate pari a zero otteniamo r*(t,T) – r(t,T) = – ln[survivalprobability ]/(T – t) • A differenza dai modelli strutturali, la probabilità di sopravvivenza per ogni tempo T, cioè Prob ( > T), è determinata utilizzando un processo di Poisson.

Intensità di default • Se l’evento di default è modellato come un processo di Poisson otteniamo Probabilità ( > T) = exp (–  (T - t)) • Il parametro  è conosciuto come intensità del processo e definisce la probabilità che il titolo vada in default tra il temp t e t + dt. • Consideriamo un modello molto semplice nel quale: i) l’intensità è costante; ii) il tasso di recupero è zero • In questo caso, per tutte le maturità T il credit spread è r*(t,T) - r(t,T) = 

Modelli a intensità variabile • Se il parametro di intensità non è fisso, ma si assume che cambi al passare del tempo, il modello può generare curve dei credit spread di forma più generale di quella piatta legata al modello di Poisson • In generale, abbiamo r*(t,T) – r(t,T) = (t,T) …dove (t,T) è la media integrale dell’intensità di default da t a T, esattamente come il rendimento a scadenza è la media integrale dei tassi forward • Per questo motivo è naturale utilizzare la teoria della curva per scadenze

Modellare l’intensità • Poiché l’intensità può essere modellata utilizzando gli stessi strumenti matematici della teoria della struttura a termine, possiamo selezionare qualsiasi modello della curva dei tassi per rappresentare la funzione di intensità di default. • Questi modelli possono quindi essere classificati come quelli della struttura a termine, • Modelli fattoriali, con curva degli spread endogena • Modelli con curva dei credit spread esogena (HJM) • Modelli dei credit spread osservabili, ad esempio swap

Modelli affini di intensità • Assumiamo che l’intensità istantanea di default sia descritta da un processo diffusivo come d (t) = k( – (t))dt + dz(t) dove con valori  = 0, 0.5 otteniamo un modello affine della struttura a termine dei titoli defaultable Debito(t,T) = v(t,T)exp(A(T-t) - B(T -t) (t)) con A e B funzioni descritte nei modelli di Vasicek ( = 0) o Cox Ingersoll Ross ( = 0.5)

Recovery rate positivo • Se assumiamo • recovery rate positivo • indipendenza tra rischio di tasso e di interesse possiamo scrivere (con  il recovery rate) Debito(t,T; )=v(t,T)[Prob( > T)+ Prob(  T)] Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Prob( >T)v(t,T) Debito(t,T; 0)= Prob( >T)v(t,T), da cui... Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) D(t,T; 0)

Implied survival probabilities • Dall’equazione precedente Debito(t,T; )=  v(t,T) +(1-) Debito(t,T; 0) e da Debito(t,T; 0) = Prob( >T)P(t,T) otteniamo Prob( >T) = [Debito(t,T; )/v(t,T) –]/(1 – ) … cioè la probabilità di sopravvivenza coerente con i prezzi osservati dei titoli defaultable, rispetto a quelli osservati per la stessa maturità sulla curva dei titoli privi di rischio di default.

Probabilità di default • Lo spread di un titolo BBB a 10 anni rispetto alla curva risk-free è di 45 punti base. • Nell’ipotesi di recovery rate pari a zero abbiamo Prob( >T) = exp (– .0045 10) = 0.955997 e la probabilità di default è 1 - 0.955997 = 4.4003% • Nell’ipotesi di un recovery rate del 50% abbiamo Prob( >T) = [exp (– .0045 10) - ]/(1- ) = 0.911995 e la probabilità di default è 1 - 0.911995 = 8.8005%

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