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Ingo Rechenberg. PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“. Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution. Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet. Der kubisch paraboloide Baumstamm. P.
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Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“ Bionik auf dem mathematischen Prüfstand Optimallösungen als Ergebnis der Evolution Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
P Solarbetriebener CO2-Sammler y 2r Mast Form eines Kiefernstamms Materialminimierung: Theorie „Träger gleicher Festigkeit“
Kleine Vene Arteriole Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes Arterienzweig Kapillare Vene Gewebe Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl Aorta 10 1 Große Arterien 3 40 Arterienäste 1 600 Arterienzweige 0,6 1800 Arteriolen 0,02 40 000 000 Kapillaren 0,008 1 200 000 000
Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige Genauigkeit ! 0.1 5% + - Arteriolen 0.01 Kapillaren z 3 6 9 0 10 10 10 10 Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen
Mensch 10000 kJ Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung a b Gehirnzellen Beinmuskeln Armmuskeln 3000000 Blutkörperchen/s Herzantrieb Blutneubildung a b Pumpleistung Herz [kJ] groß klein Neubildung Blut [kJ] klein groß
p Gesetz von Hagen Poiseuille D Q Qualitätsfunktion:
Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion: Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen
D D D 0 D 0 Q Q 0 1 Q z 0 Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab! Beispiel: =
Aorta 10 D Große Arterien mm Arterienäste 1 Arterienzweige 0.1 5% + - Arteriolen 0.01 Kapillaren z 3 6 9 0 10 10 10 10 Bedingung für die Lösung: Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.
v v Blutzellenvolumen Hämatokrit H = Gesamtvolumen Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen a Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ? b
HMensch = 42 – 44% Hoptimal = 43,3% (mathematische Lösung) Zeit HKamel= 28% Künstliche H-Werte HSchaf= 32% HSchwein= 41% Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms
Optimaler Blutkörperchenstrom
b Schlaue Gärtner Dumme Gärtner b Eingesparte Strecke Hinzugefügte Strecke g g j g g für v v
Zur “Mathematik” der Bienenwaben Am Boden der sechseckigen Zellen der Bienenwabe sieht man die versetzt angeordneten Zellwände der Gegenseite durchscheinen.
Gartenzaun Bienenwabe Das Angrenzungsproblem
Bienenwabe Zelle von Fejes Tóth Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution
Planet der Halslinge Alpha Tauri
Osmium Magnesium
2204 Erdlinge
Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz !
Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere Theorie für minimales Gewicht SL7/6
Theorie für minimales Trägergewicht G L7/6
Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten Euler Knickung l variabel Aus & Es kommen die Gleichungen hinzu:
Was ist Allometrie ? ( =gleich) Isometrie Mit gleichem Maß ( =anders) Allometrie Mit anderem Maß ( = bester) Beltistometrie Mit bestem Maß
Von der Zwergmaus zur Elenantilope Beltistometrie Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel
MAN-Schiffsdiesel mit 22000 kW Leistung Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung
Vergleich von Leistung und Gewicht: Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen Leistung: 22000 kW Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g Leistung: 0,99 kW 1000000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel. Sie leisten zusammen 1000000 kW. Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !