LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx

1. LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDENJosé Alfredo Amorjaam@hp.fciencias.unam.mx Resumen • La lógica clásica de primer orden con igualdad es la rama más estudiada, aplicada y conocida de la lógica contemporánea. Desde luego, presuponemos que la lógica proposicional o lógica de enunciados, forma parte de la lógica de primer orden. La razón de esto es su riqueza expresiva, su versatilidad y aplicabilidad, sus teoremas fundamentales, así como su uso de modo importante en matemáticas, filosofía de la ciencia, ciencias de la computación y el razonamiento automático. Esto último ha tenido un desarrollo espectacular en la segunda mitad del siglo pasado. Por otro lado, la lógica clásica ha sido el punto obligado de referencia y comparación para la gran cantidad de lógicas no clásicas que se han desarrollado en ese siglo. • El razonamiento deductivo clásico es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos; esas conclusiones se conocen como consecuencias lógicas de las suposiciones o hechos. El razonamiento deductivo correcto es el razonamiento deductivo en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos. Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto. • El objetivo fundamental de la lógica en general es explicar la noción de consecuencia lógica la cual es una relación que se da entre un conjunto de enunciados (llamados premisas) y un enunciado particular (llamado conclusión). Dicho concepto de consecuencia lógica, en el caso de la lógica clásica de primer orden con igualdad, representa con rigor matemático la idea intuitiva de inferencia válida o inferencia correcta. Para lograr este objetivo, la lógica clásica de primer orden con igualdad utiliza, al igual que muchas otras lógicas, un lenguaje formal propio, definido de un modo riguroso al estilo matemático, basado en formas y no en significados. Los lenguajes formales son muy diferentes a los lenguajes naturales, por ejemplo sus símbolos forman oraciones de un modo absolutamente preciso, lo que evita ambigüedades como las de los lenguajes naturales y su interpretación está definida también de un modo riguroso por lo que los conceptos de verdadero o falso quedan definidos también de modo preciso.

2. Lógica de Predicadoso Lógica de Primer Ordeno Lógica Cuantificacional José Alfredo Amor Facultad de Ciencias UNAM jaam@hp.fciencias.unam.mx Abril de 2005

3. En el lenguaje coloquial se llama “lógico” a lo que es considerado de sentido común ¿Este sentido común que aplicamos en situaciones reales debe dirigir la construcción del razonamiento lógico? o por el contrario, ¿Son las normas de la lógica las que deben regir nuestra manera natural de razonar?

4. Es decir: ¿La manera natural de razonar determina a la lógica, o la lógica nos enseña a razonar correctamente? ¿Qué es lo lógico y lo no lógico?

5. ¿Esto es lógico o no lógico ?

6. ¿Esto es lógico o no lógico ?

7. LA LÓGICA • Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto. • El razonamiento deductivo correcto es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos, en el que las conclusiones se siguen necesariamente de las suposiciones o hechos.

8. Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas son sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos correctos. Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no.

9. DIPLOMADO EN LOGICAMódulo: Lógica de Predicados I. LA LOGICA DE PREDICADOS(o cuantificacional o de primer orden) • II. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN • III. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN • IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL

10. I. LA LOGICA DE PREDICADOS (O CUANTIFICACIONAL O DE PRIMER ORDEN) 1.Lenguajes naturales y lenguaje analítico. 2.Traducciones del lenguaje natural al lenguaje analítico, e inversamente. 3.Relación entre la lógica proposicional y la lógica cuantificacional. 4.Reglas de formación de fórmulas. Variables, enunciados. La igualdad.

11. II. LA SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN 1. Prerrequisitos de teoría de conjuntos. 2. Interpretaciones: verdad o falsedad de enunciados respecto a una interpretación. 3. Definición de verdad de Tarski. Fórmulas lógicamente válidas. 4. Argumentos deductivos válidos e inválidos. 5. La igualdad. Fórmulas y argumentos que incluyen igualdades.

12. III. LA SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN • 1. Deducción natural. Solo reglas. Correctud y Completud. • 2. Sistemas axiomáticos: axiomas, reglas de inferencia y definición de deducción. Metateorema de la Deducción. Correctud y Completud. • 3.Otros conceptos relacionados: teorías, consistencia, satisfacibilidad, completud, axiomatizabilidad, decidibilidad, etc.

13. IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL • 1.Regla de RESOLUCION. Correctud y Completud • 2. Demostración Automática de Teoremas • 3. Programación Lógica

14. Enunciados simples • Paris es la Capital de Francia • 2 + 2 = 1 • El Sol es una estrella • Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005 • La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes

15. Enunciados simples • Paris es la Capital de Francia C(p,f) • 2 + 2 = 1 =(2+2, 1) • El Sol es una estrella E(s) • Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005 PM(f,2005) • La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes est(u)>250 mil

16. Enunciados complejos • Tegucigalpa es la capital de algún país y alguna ciudad es la capital de Costa Rica • Caracas es la capital de Venezuela y San José es la capital de Costa Rica • Si 2+2 = 4 y 4 es par, entonces 2+2 es par • No existe alguien que rasure a todos los que no se rasuran a si mismos y sólo a esos

17. CUANTIFICADORES Y VARIABLES • El uso de cuantificadores yvariables no es común en el lenguaje coloquial. • Pero cuando se comprende su poder expresivo y riguroso se ha dado el primer paso para saber expresarse con él.

18. Lenguaje formal LP: símbolos básicos • Parámetros de predicado: letras mayúsculas del alfabeto P, Q, R, …. • Parámetros de constante: letras minúsculas a, b, c, …. • Variables individuales: x, y, z, w, …. • Símbolos lógicos: ,, , , , = • Símbolos de cuantificación: ,  • Símbolos auxiliares: ), (

19. Reglas de construcción de fórmulas de LP *Todo parámetro de predicado aplicado a constantes o variables y toda igualdad de constantes o variables, es una fórmula (atómica) de LP *Si  y  son fórmulas de LP, entonces (), (), (), () y () son fórmulas de LP *Si  es una fórmula de LP y x es una variable entonces (x) y (x), son fórmulas de LP

20. Formalizar el Lenguaje Coloquial • No se pretende formalizar todo el lenguaje coloquial sino el de contenido preciso estilo matemático: “Todo S es P" y “Algún S es P” • x[S(x)  P(x)] y x [S(x)  P(x)] S(x) simboliza “xes S” y P(x) “x es P” Estas expresiones son nuevas para el alumno por eso hay dificultad para representarlas

21. Proposiciones Categóricas en LP UNIVERSAL UNIVERSAL AFIRMATIVA NEGATIVA • A: Todo S es P E: Ningún S es P • x [S(x)  P(x)]x [S(x) P(x)] x [S(x)  P(x)] PARTICULAR PARTICULAR AFIRMATIVA NEGATIVA • I: Algún S es P O: Algún S no es P • x [S(x)  P(x)] x [S(x) P(x)]

22. EXPRESIVIDAD DEL LENGUAJE LP(PERROS Y CARTEROS) 1. Todos los perros muerden a algún cartero • x[P(x) y(C(y)  M(x, y))] 2.Hay un cartero al que muerden todos los perros • x[C(x) y(P(y)  M(y, x)] 3.Todos los carteros son mordidos poralgún perro • x[C(x) y (P(y) /\ M(y, x)] 4. Hay un perro que muerde a todos los carteros • x [P(x) /\ y(C(y)  M(x, y)]

23. Y SE PUEDE COMPLICAR! Todos los perros que asustan a algún cartero, lo muerden: xy [P(x) /\ C(y) /\ A(x, y)  M(x, y)] o bien: x[P(x)  y(C(y) /\ A(x, y)M(x, y))] Hay un perro que muerde a todos los perros que muerden a algún cartero: • x[P(x) /\ y(P(y) /\z(C(z)/\ M(y,z)) M(x,y))]

24. Ejemplos Fórmulas de LP • Todos son amigos de alguien: xy A(x, y) • Todos son amigos de todos: xy A(x, y) • Juan vió a María con el telescopio:VT(j, m) ? V(j, m)  T(m) ? • Alguien es amigo de todos: x y A (x, y)

25. Ejemplos de Fórmulas de LP • x [P(x, c) y P(y, c)] x[(P(x)Q(x))  (Q(x) P(x))] • x [P(x)  y (P(y)  x = y)] • [x P(x)]xy[P(x)P(y)x = y]

26. CRITERIOS DE VERDAD • Objetivos: conocer los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad. • Saber analizar a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado. Especialmente el caso del condicional.

27. Negación • "no P" denotada (P), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es falsa respecto a esa interpretación.

28. Disyunción • "P o Q" denotada (P  Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación. • Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas, P y Q, sean verdaderas respecto a esa interpretación.

29. Conjunción • "P y Q" denotada (P  Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación, y Q es verdadera respecto a esa interpretación.

30. Condicional A)“Si P entonces Q” denotada (PQ) es falsa respecto a la interpretación dada, si P es verdadera y Q es falsa, respecto a esa interpretación. B) “Si P entonces Q” denotada (PQ) es verdadera respecto a la interpretación dada, si no es falsa respecto a esa interpretación. Es decir si no sucede que P es verdadera y Q es falsa.

31. Bicondicional • "P si y sólo si Q" denotada (PQ), es verdadera respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q son verdaderas, o bien ambas P y Q son falsas, respecto a tal interpretación.

32. Cuantificación Existencial • [x Q(x)] es verdadera respecto a la interpretación dada, si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q es verdadera respecto a ese individuo yrespecto a esa interpretación.

33. Cuantificación Universal • [x Q(x)] es verdadera respecto a la interpretación dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera respecto a cada uno de ellos ahí respecto a esa interpretación.

34. Verdades Lógicas de LP: TODA FÓRMULA QUE RESULTA VERDADERA, BAJO CUALQUIER INTERPRETACION PARA LOS PREDICADOS Y LAS CONSTANTES DE LA FÓRMULA, Y CUALQUIER ASIGNACIÓN DE INDIVIDUOS A LAS VARIABLES

35. Ejemplo de Tautología en Lenguaje LP xA x Ax A V V F V

36. Ejemplos donde la validez lógica de primer orden coincide con la proposicional • P(c) P(c) formaA  A “c cumple la propiedad P o no la cumple” [P(c)  Q(c)]  [Q(c) P(c)] forma [A B]  [BA] [P(c) Q(c)]  [P(c)  Q(c)] forma [A B]  [A B]

37. Ejemplos donde la validez lógica de LP NO coincide con la proposicional o LE [x y P(x,y)]  [y x P(x,y)] (AB) “Si hay alguien en la relación P con todos entonces para todos hay alguien en la relación P con ellos” P(c) x P(x) (A  B) “Si c cumple la propiedad P entonces hay alguien que cumple la propiedad P”

38. Un último ejemplo • xy [ R(x,y) R(y,y) ] • “No hay en el universo de interpretación un individuo tal que esté en la relación R con todos los individuos (de ahí) que no están en la relación R consigo mismos, y sólo con esos”

39. ¿Sabemos negar? • La negación lógica del enunciado “Si te portas bien entonces te llevo al cine” es: a)Si no te portas bien entonces no te llevo al cine b)Si te portas bien entonces no te llevo al cine c) Te portas bien y no te llevo al cine 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que w  AB, entonces: a) wA y wB b) wA o wB 3.La negaciónlógica de “ser blanco” es: a) ser negro b) no ser blanco c) ser de color distinto al blanco

40. ¿Sabemos negar? 4.La negaciónlógica de “3 < x”es: a) 3 > x b) 3  x c) 3 ≮ x 5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es: a) Hay perros que no ladran b) Ningún perro ladra c) Todos los perros no ladran

41. Respuestas Correctas: c,b,b,c,a. • 1. La negación lógica del enunciado “Si te portas bien entonces te llevo al cine” es: c) Te portas bien y no te llevo al cine. • 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que wAB, entonces: b) wA o wB • 3. La negaciónlógica de “ser blanco” es: b)no ser blanco. • 4. La negaciónlógica de “3 < x” es: c) 3 ≮x • 5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es: a)Hay perros que no ladran.

42. Leyes de la Negación • Si P y Q son proposiciones cualesquiera las siguientes son ejemplos de equivalencias lógicas: •   P  P • (P Q)  (P Q) • (P Q)  (P Q) • (P  Q)  (P Q) • (P  Q)  (PQ) (Q P) • x P x P • xP x P

43. Otras Equivalencias Lógicas • (P  Q)  (Q P) • (P  Q)  ( P  Q) • (P  Q) (P Q) • x P x P • x P x P • x (P Q)  (x P x Q) • x (P Q)  (x P  x Q)

44. CONTRAEJEMPLOS • x (P  Q) x P x Q • x (P  Q) x P x Q Cuando no hay equivalencia la prueba es un contraejemplo

45. Símbolo para Consecuencia Lógica ______________ 

46. Símbolo para Consecuencia Lógica Premisas ______________ Conclusión

47. Ejemplo de Razonamiento en LP P(a)  Q(c) Q(c) __________________________________ P(a)

48. Prueba de validez lógica por tablas de verdad. PREMISAS CONCLUSION P(a) Q(c) P(a)  Q(c) Q(c) P(a) V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V P1 P2 C

49. Ejemplo de Razonamiento en LP x [ B(x) y [ R(x,y) R(y,y) ]] ____________________________________________________________________________________________________  x B(x)

50. Prueba de validez lógica de razonamientos en lenguaje coloquial: • Traducir del lenguaje coloquial a LP • Determinar la validez proposicional de la traducción por tablas de verdad • Si es valido proposicionalmente, entonces es valido en LP • Si no, entonces aplicar criterios de verdad de igualdad y cuantificadores (no hay algoritmo)