Le calcul mental au cycle 3

1. Le calcul mental au cycle 3

2. Définition • ■ Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support n’intervient entre l’énoncé et la production du résultat. • ■ De plus, l’énoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme d’un énoncé de problème.

3. CALCUL MENTAL • Calcul automatisé ? • Calcul réfléchi ? • Calcul approché ? • Calcul instrumenté ? • Le travail sur le calcul approché commence au cycle 3. • Le calcul instrumenté doit faire l’objet d’une utilisation raisonnée et ne doit pas masquer des situations pouvant être résolues par le calcul mental. • Les compétences en calcul mental (résultats mémorisés,calcul réfléchi exact ou approché) sont à développer en priorité.

4. Modalités de présentation

5. Plan • - Raisons pour lesquelles le calcul mental est une priorité. • Distinction entre le calcul automatisé, automatisme et le calcul réfléchi. • Une progression • - Pistes de travail pour ces deux types de calcul.

6. Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (1)

7. Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi (2)

8. Distinction entre 2 procédures de calcul • Procédure automatisée → faible adaptabilité • - Automatisme → procédure productrice d’apprentissage

9. 2 formes de calcul mental • ► Le calcul automatisé • ► Le calcul réfléchi

10. Un exemple de calcul • Pour effectuer 45+17 • Les procédures possibles • Simulation mentale de l’algorithme écrit (l’élève pose dans sa tête l’opération en colonne) • Utilisation de la décomposition additive canonique de l’un ou des deux termes 45+17= 45+10+7=55+7= 62 45+17= 40+5+10+7= 50+12= 62 • Utilisation d’une décomposition additive de l’un des deux termes s’appuyant sur un passage à une dizaine supérieure 45+17= 45+5+12=50+12=62 ou 45+15+2=60+2=62 ou 2+43+17= 2+60 • Utilisation d’une décomposition soustractive de l’un des deux termes 45+20-3= 65-3= 62 - Etc…..

11. Une pratique régulière de calcul mental permetde familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher certaines propriétés des opérations et aussi d’amener l’élève à mettre en œuvre des procédures économiques.

12. Automatisé ou réfléchi, • le calcul mental doit occuper la place principale à l’école • élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière dès le cycle 2. • Au cycle 3 : les compétences en calcul mental résultats • mémorisés, calcul réfléchi exact ou approché sont à • développer en priorité.

13. Une pratique régulière de calcul mental: un moyen pouraméliorer les performances des élèves dans la résolution de problèmes • ► Amélioration des habiletés calculatoires: plus de rapidité dans la reconnaissance de • l’opération en jeu dans des problèmes familiers (additifs ou multiplicatifs simples) • Exemples: le problème de l’autobus • • L ’énoncé : • Dans un autobus, il y a n (28)voyageurs, à un arrêt, a (15) voyageurs montent et b (17) descendent. Combien y-a-t-il de voyageurs dans l ’autobus quand il repart ? • • Les variables : • – Les termes « montent » et « descendent » peuvent être permutés • – a peut être supérieur à b • – etc. • ► Prise de sens lors de la résolution de problèmes: allègement des tâches de calcul • ► Installation d’automatismes de calcul (schémas de problèmes en mémoire et procédures de résolution associées) • Mémoire organisée grâce à une certaine catégorisation et à un recours de problèmes prototypiques représentatifs de chaque catégorie. Mobilisation à bon escient du modèle le plus adapté pour résoudre le problème.

14. Des situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental au cycle 3 □ avec des nombres purs □ avec un support

15. Exemples d’activités avec des nombres purs • Calcul automatisé

16. Un exemple de progression • Domaine de l’addition et de la soustraction • Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition: somme de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associées). • Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers… • • Calculer les compléments correspondants. • Exemples : • 8000-5000 à rapprocher de 8-5 • 1500-700 à rapprocher de 15 centaines moins 7 centaines

17. • Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type: • Exemples : • 200 + 70 • 270 – 70 • 200 pour aller à 270 • 2000 + 37 • 2037 – 37 • 2000 pour aller à 2037

18. • Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur à 10) d’unités, de dizaines, de centaines…à un nombre quelconque (avec et sans retenue). • Exemples : • 86 + 3 • 386 + 50 • 3689 + 600 • … • • Calculer les compléments d’un nombre à la dizaine supérieure. • • Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure • pour des nombres entiers dont le chiffre des unités est 0. • Exemples : • de 430 à 500 • de 2430 à 2500…

19. • Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000. • Exemples : • Savoir que 75 = 50 + 25 ou 1000 – 750 = 250 • • Calculer certaines sommes de deux décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal. • Exemples : • 14 + 3,7 ou 0,3 + 0,5 ou 0,8 – 0,2 • 2,5 + 0,5…3,7 + 0,6 fin de cycle

20. • Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur. • • Calculer les compléments à l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule. • • Connaître quelques relations entre certains nombres entiers et décimaux. • Exemple : • 2,5 = 2 + 0,5 • 2,5 + 2,5 = 5 • 1,5 + 1,5 = 3…

21. • Ajouter ou soustraire des nombres entiers ronds. • Exemple : • Utiliser la proximité avec les dizaines ou les centaines entières, • proposer des calculs avec 9, 19, 11, 21, 8, 18, 12, 22, 99, 101, • 198… • • Calculer des sommes de plusieurs entiers en regroupant des • termes « qui vont bien ensemble ». • Exemple : • 43 + 280 + 60 + 57 + 20 • • Calculer des sommes et des différences de nombres décimaux • simples. • Conforter la compréhension de la valeur des chiffres en fonction de leur position.

22. • Calculer le complément d’un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule au nombre entier immédiatement supérieur. • Compétence liée à la connaissance des compléments à 100 des nombres entiers à deux chiffres • • Évaluer un ordre de grandeur en utilisant un calcul approché: • sommes de deux ou plusieurs nombres entiers ou décimaux, • différences de deux nombres entiers ou décimaux. • Repérer le nombre « rond » le plus proche.

23. Domaine de la multiplication et de la division • • Maîtriser le répertoire multiplicatif (tables): produits de deux nombres inférieurs à 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés. • Essentiel: répertoire à stabiliser, éviter la répétition mécanique des tables (obstacle à la mobilisation rapide d’un résultat), repérer des régularités ou des particularités sur la table de Pythagore… • 8 X 6 =…. • Combien de fois 8 dans 48 ? • Diviser 48 par 6 • 48 = …x…

24. • Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des • questions du type: • - Combien de fois 8 dans 50 ? • - Diviser 50 par 8. • Donner une réponse approchée. • • Situer un nombre entre deux résultats d’une table de • multiplication. • Exemple : • Encadrer 29 entre 2 multiples de 7 • 4 x 7 et 5 x 7

25. • Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, les nombres entiers. • Exemples : • Compétence à mettre en relation avec le système de numération chiffrée: • Multiplier 34 par 10 revient à chercher une autre écriture de 34 dizaines • Diviser 340 par 10 revient à chercher combien il y a de dizaines dans 340

26. • Calculer des produits du type 30 X 4, 400 X 8, 20 X 30… et les quotients correspondants. • • Connaître et utiliser les relations entre des nombres «repères »: • 100, 1000, 60 et leurs diviseurs. • Exemple : • Mémoriser que 25 est le quart de 100, la moitié de 50, le tiers de 75 • Ces relations sont liées à l’utilisation des expressions «moitié, double, quart, quadruple, tiers, triple» • • Multiplier et diviser par 10, 100 dans l’ensemble des nombres décimaux.

27. • Connaître les relations entre certains nombres décimaux • comme 0,25-0,5-0,75 et 1 ou 2,5-5-7,5 et 10. • • Calculer les doubles, moitiés des nombres entiers inférieurs à100 (résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple. • • Calculer les quadruples, quarts des nombres entiers inférieurs à 100 • (résultats entiers) ou de nombres plus grands lorsque le calcul reste simple. • Exemples : • Moitié de 240, 360, 900 • Quart de 120 ou 600 • En fin de C3: moitié des nombres impairs (2 chiffres) et double de • nombres comme 7,5…45,5

28. • Multiplier et diviser par 5, par 20, par 50. • Il peut être intéressant de considérer dans certains calculs 5 comme la moitié de 10… • • Multiplier un nombre par des nombres comme 11, 19, 9, 19, 21, 15, 25… • multiples procédures • • Décomposer un nombre sous forme de produits de 2 ou plusieurs facteurs. • Connaissance des tables et plus • 64 = 8 x 8 mais aussi 32 x 2, 16 x 4… • • Calculer mentalement un quotient et un reste entiers dans des • cas de division d’un nombre entier par un nombre entier. • Exemple : • Les élèves doivent, par exemple, être capables d’effectuer mentalement la division de 230 par 7, en décomposant 230 en • 210 + 20 ou en 140 + 70 + 14 + 6

29. Exemples d’activités avec support • Calcul automatisé • (avec traces écrites)

30. Numération et calcul • Les grilles de loto. Les nombres sont choisis en fonction du niveau. • Les nombres sont dictés par le maître ou un élève. Plusieurs activités sont envisageables avec les grilles de loto Lotos additifs et multiplicatifs Nombres donnés sous la forme de décompositions (ex : 14 + 10 + 4) (300 + 90 + 8 ) Écritures équivalentes (50 = 25x2 = 100/2 = 10x5 = …) Variantes: compléter avec le prédécesseur ou successeur des nombres inscrits (les cases seront blanches et non plus grisées)

31. Connaître les nombresJeu : qui a ? • Autres activités • possibles • - Nombre suivant et précédentQui a le nombre après • 799 3,9 • - Multiplier ou diviser par10 100 1000 0,1 0,01 • 0,001 • - Nombre de dizaines, de • centainesQui a 5 centaines, • 20 dizaines … • Tables d’addition, de multiplication 6x8 7X9

32. La suite de nombres • En ligne En rouleaux

33. Avant Après

34. Les furets individuels • Chaque élève doit compléter dans un temps court le tableau qui lui est proposé. (Variation des opérateurs: je compte de …en ….ou bien je multiplie par…..) 2,5 5 12, 7,5 10 15 Début Fin Variante: Les furets individuels avec « chut » tenir compte des cases « chut » qu’il ne doit pas compléter (case cachée). Possibilité de jouer sur la difficulté en plaçant 2 ou 3 cases « chut » à suivre.

35. Les nombres à placer

36. Tables à compléter

37. Décompositions d’un nombre • Choisir un nombre au tableau et demander de chercher toutes les décompositions possibles

38. Exemples d’activités avec support • Calcul réfléchi

39. 7 9 10 27 103 • Additives, soustractives • Les cascades • Multiplicatives 2592 2592 2592 6 6 6 4 4 4 2 2 2 3 3 3 Remarque : le dernier produit peut être vérifié à la calculatrice

41. 85 13 22 40 31 • Suites et règles • Ajouter 9 Multiplier par 2 et retrancher 1 513 3 5 9 17 Diviser par 2 et ajouter 3 36 5 132 68 260

42. Les carrés magiques • Additifs • Les nombres de 1 à 16 ne sont utilisés qu’une • fois. La somme de chaque ligne, chaque colonne, chaque diagonale = 34 Multiplicatifs Attention : le nombre utilisé doit être correct pour le produit vertical et horizontal.

43. Les carrés de nombres Règle : former des carrés de somme 100 Règle : former des carrés de somme 10 (avec des décimaux)

44. + ? + 5 + ? + 3 • Opérateurs On se déplace sur le quadrillage selon les opérateurs indiqués. Trouver les nombres qui vont occuper les cases marquées [?]

45. Multiples et fractions Principe : les élèves possèdent une grille avec la colonne de gauche remplie. Régulièrement, le maître propose de nouveaux nombres à chercher. On peut demander une écriture fractionnaire ou décimale. (Ex pour 9 : la moitié = 9/2 = 4,5)

46. Le compte est bon • Jeu de calcul mental par excellence associant les quatre opérations • - Dans un premier temps, le maître choisit des nombres qui donneront le résultat juste. • Exemple: 100 • - On peut ensuite fabriquer des cartes que l’on sort par tirage pour favoriser le caractère aléatoire des calculs. • Exemple de tirages

47. Utiliser les signes + - x : et les parenthèses pour obtenir le résultat. Exemple : (5 + 5) – (5 : 5) = 9 5 5 5 = 11 5 5 5 5 = 24 5 5 5 = 30 5 5 5 5 = 35 5 5 5 5 = 120 • Le bon compte Variantes : ▪ On donne le cadre et il faut trouver le résultat Ex : [( ? - ? ) x ? ] + ? =  31 Avec une série de nombres 1 2 3 4 2 7 8 15 13 14 20 ▪ On donne le cadre et il faut trouver le plus grand nombre On ne pose pas d’opération

48. Dictée de calcul • Voici un nombre : 307 • A ce nombre ajoutez deux centaines, puis ajoutez mille, puis ajoutez cinq centaines. • Écrivez le nombre qui suit celui que vous avez obtenu. • Les élèves peuvent éventuellement noter les résultats intermédiaires, seul le résultat final est exigé. • Voici un nombre : 495 • Enlevez à ce nombre trois dizaines, puis ajoutez quatre centaines, puis ajoutez trois milliers. • Écrivez le nombre qui précède celui que vous avez obtenu. • Mon nombre a • - Un dixième de plus que trois virgule huit. • - Un centième de moins que trois virgule soixante huit

49. Un résultat peut en cacher un autre • Le maître affiche au tableau : 3 x 37 = 111 • Comment trouver ? • 6 x 37 ? 30 x 37 ? • 3 x 370 ? 9 x 37 ? • 12 x 37 ? 300 x 37 ? • Connaissant 4 x 12 = 48 • Calcule • 40 x 12 = 16 x 12 = • 12 x 12 = 24 x 12 = • 400 x 12 = 4 x 1200 = • 4 x 120 = 4 x 24 = • 4 x 36 = 40 x 120 =

50. Les problèmes lus par le maître • Le trésor est caché dans l'une des trois tours. A toi de trouver le bon chemin en évaluant les opérations qui barrent le passage entre les salles : tu ne peux passer que si le résultat est juste.