A-VII Les Conducteurs

1. Mica Silicium Cuivre A-VII Les Conducteurs A-VII.1 Introduction • Les matériaux aux propriétés intéressantes pour les applications de l’électricité – électronique sont de trois classes • Les conducteurs • Les semiconducteurs • Les isolants Dans le cadre de ce cours seuls les conducteurs, sous-entendu de l’électricité, nous intéressent

2. – + La force électrique dans la matière

3. Énergie Bande de conduction Bande de valence Niveaux de Cœur Pour spécifier la nature conductrice d’un matériau et les propriétés électriques qu’il va manifester, cherchons à savoir où se placent les électrons dans la matière solide (condensée au sens large). Dans la matière, les électrons nous sont fournis par les atomes. Si ces atomes restaient isolés les uns des autres les électrons resteraient bien sagement sur leur atome initial. Le fait de les réunir (les atomes) pour constituer un matériau bouscule l’arrangement initial pour donner: • Des électrons restant sur leur atome initial: ce sont ceux des couches électroniques profondes, peu perturbées par la promiscuité des atomes voisins. Niveaux de Cœur • Des électrons qui passent d’un atome donné à un atome voisin, partagés pour constituer les liaisons chimiques. Bande de valence • Des électrons « libérés » de leur atome initial et qui peuvent se déplacer très facilement dans la matière car peu liés aux atomes fixes du matériau. Bande de conduction

4. Bande conduction Bas de bande de conduction Gap Sommet de bande de valence Bande de valence • D’une classe de matériaux à l’autre le schéma de répartition des électrons reste globalement le même. Ce qui change essentiellement c’est l’écart énergétique existant entre les électrons les plus hauts de la bande de valence et ceux les plus bas de la bande de conduction. Cet écart s’appelle la bande interdite, le gap en anglais. • Si le gap est grand (>5 eV « électron-volt ») peu d’électrons peuvent passer dans la bande de conduction et le matériau est isolant. • Si le gap est nul, beaucoup d’électrons pourront se trouver dans la bande de conduction et le matériau sera conducteur à toute température. • Si le gap est ~eV, il sera alors possible de provoquer l’arrivée d’électrons dans la bande de conduction et rendre le matériau conducteur, alors qu’il ne l’était pas intrinsèquement. Ces matériaux dits semiconducteurs, véritables machines à électrons, jouent un rôle essentiel dans la technologie d’aujourd’hui: Matériel Informatique, Matériel des Télécommunication, Électronique en général…

5. Électron extérieur, candidat à la liberté Voici un schéma qui résume les trois situations Isolant Conducteur Semiconducteur Bande de Valence Bande de Conduction Gap Pour que la matériau soit conducteur il faut que les atomes constitutifs aient des électrons extérieurs peu liés à l’ensemble de l’atome. L’expression « électron libre » est entrée dans le langage courant, comme d’autres expressions d’autant plus usitées que mal comprises.

6. + + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Sous une forme idéale un matériau conducteur va se présenter comme suit Retenons que dans un tel matériau de très nombreux électrons sont disponibles pour la conduction. Le conducteur sera dit parfait si la moindre sollicitation électrique, présence d’un champ électrique même très faible, est en mesure de déplacer les charges libres. Tous nos conducteurs seront de dimensions finies. Il résulte de ce qui précède la première propriété pour un conducteur isolé de toute source de charges électriques et ayant trouvé son équilibre électrique: Il ne peut exister de charges à l’intérieur de la matière d’un conducteur, qui ne peut être chargé qu’en surface. En effet si de telle charges électriques existent le champ électrique créé par toutes les charges sur l’une d’entre elle va la mettre en mouvement, occurrence contraire à l’hypothèse d’équilibre préalablement atteint. A-VII.2 Propriétés d’un conducteur à l’équilibre

7. Conducteur à l’équilibre Surface de Gauss interne  + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + + + + + + + + + + + + + + + B + + + + + + + + + + A + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Si la densité de charges libres est nulle dans le matériau l’application du théorème de Gauss sur une surface quelconque, fermée, interne à la matière, conduit à un champ électrique nul. Ce qui implique que Le champ électrique à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre est nul. Que dire du potentiel d’un conducteur à l’équilibre? Comme le champ électrique interne est nul, la différence de potentiel entre deux points A et B du conducteur, circulation interne du champ électrique entre ces deux points, est nulle Le conducteur à l’équilibre est équipotentiel sur tout son volume de matière. Comme le potentiel est une fonction continue de l’espace, ce potentiel et aussi celui de sa surface. Un conducteur à l’équilibre est un domaine équipotentiel.

8. Conducteur à l’équilibre + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + M + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Il résulte de l’équipotentialité du conducteur que les lignes de champ, si elles existent, sont extérieures et perpendiculaires aux surfaces du conducteur (il peut exister des surfaces internes). La densité locale de charges en un point M de la surface étant σ(M), cherchons à déterminer le champ électrique en surface. On construit, traversant la surface du conducteur, une petite surface de Gauss constituée d’un petit cylindre extérieur, de hauteur infinitésimale, de surface de base et de surface latérale et fermée par une surface interne quelconque.

9. E=0, no field! Lignes de champ du système « cylindre-disque » Il faut remarquer que les lignes de champ sont bien perpendiculaires au conducteur et que le champ à l’intérieur du conducteur cylindrique est nul

10. + + + + + + + + + + + + + + + + + + M + + Conducteur à l’équilibre + + • La surface fermée de Gauss est la somme • Le flux du champ électrique à travers ces trois surfaces donne • Pour le champ dans le conducteur étant nul, le flux également. C’est la raison pour laquelle nous n’avons pas précisé la forme de • Pour le champ à la surface du conducteur lui étant perpendiculaire, il est tangent à , et son flux est nul. • Pour le champ lui étant perpendiculaire avec la normale bien orientée le flux est égal à • La charge intérieure de , celle découpée sur la surface du conducteur, est donnée par • Il en résulte l’expression du champ à la surface du conducteur à l’équilibre

11. S’ + + + + + S + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + Pouvoir des pointes Depuis longtemps utilisé dans les paratonnerres le pouvoir des pointes peut être abordé comme suit. Le long du tube de flux entre S et S’ le flux se conserve Par variation de cette quantité Soit aussi en valeur absolue Pour une surface assimilable localement à une sphère de rayon de courbure R Soit localement Pour un accroissement δR donné, la variation relative de champ est inversement proportionnelle au rayon de courbure.

12. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + M + + Conducteur à l’équilibre + + Pour un conducteur chargé à l’équilibre une charge quelconque de la surface va être soumise à l’action de toutes les autres charges . Si le conducteur est isolé de toute influence extérieure les charges en surface ne peuvent être que du même signe, soit toutes positives soit toutes négatives. A l’équilibre une charge + (absence d’un électron sur un site atomique) ne peut côtoyer une charge – (électron), les deux devant s’annihiler. Cherchons à estimer une telle force. Considérons au point M un élément de la surface orientée du conducteur à l’équilibre. Le champ total créé par le conducteur en ce point est . Il peut être, par la pensée, considéré comme la somme • Du champ créé par la surface voisine , champ créé en son centre par un petit disque • Du champ créé par le reste du conducteur privé de ce petit disque • Nous avons vu dans les calculs des champs que le champ au centre d’un disque était en intensité égal à ceci indépendamment de son rayon. Donc et le champ créé par le reste du conducteur sur l’une de ses parties est en intensité

13. Force totale par unité de surface résultant de la pression électrostatique + + + + + + + + Surface extérieure S + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + Conducteur à l’équilibre + + + + + M + + + + + + + r + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Ce champ agit sur la charge locale ce qui donne la force Cette force ramenée par unité de surface donne une pression, pression dite électrostatique dont l’intensité est On voit sur cette expression que l’action de cette pression est indépendante du signe des charges et est toujours dirigée vers l’extérieur, résultat de l’action répulsive entre charges de même signe (expérience de la bulle se savon). A-VII.3 Relation Charge-Potentiel d’un conducteur à l’équilibre La charge totale du conducteur à l’équilibre, c’est le seul présent dans l’univers, est donnée par Le potentiel en un point M du conducteur est donné par Multiplier la densité de charges en surface σ par une constante k revient à faire dans ces expressions ce qui porte à faire

14. Il existe donc une relation de proportionnalité entre l’augmentation de la charge totale d’un conducteur seul et celle de son potentiel. Si on accepte la convention qu’un conducteur non chargé , Q = 0, est au potentiel V = 0, la relation cherchée entre charge et potentiel peut alors s’écrire Le coefficient de proportionnalité C est la capacité du conducteur seul, à ne pas confondre avec la capacité d’un condensateur, exprimée usuellement avec la même lettre C, un condensateur étant formé de plusieurs (souvent deux) conducteurs en influence. L’unité de la capacité C est le Farad. La capacité d’un conducteur est une grandeur qui dépend essentiellement de la géométrie et de la matière qui entoure le conducteur, ici le vide supposé. Exemple: Pour un conducteur sphérique de rayon R les exemples traités dans les paragraphes précédents permettent de retenir l’expression La Terre en tant que conducteur sphérique aurait une capacité de 700μF avec un rayon de 6370 km!

15. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + A-VII.4 Énergie d’un conducteur isolé Comme précédemment le conducteur à l’équilibre est seul dans l’univers. Il peut être traité comme un ensemble de charges ponctuelles en interaction. L’énergie potentielle d’interaction de ce système de charges est donnée par l’expression générale déjà vue Mais ici le conducteur étant un domaine équipotentiel, l’énergie potentielle d’interaction de toutes les charges du conducteur prend la forme L’utilisation de la relation permet de tirer deux autres expressions utiles de cette énergie Conducteur à l’équilibre charge Q , potentiel V

16. r Couche sphérique δr O Sphère rayon R, charge Q Localisation de l’énergie électrique Voyons sur un cas particulier où se trouve localisée dans l’espace cette énergie d’interaction entre les charges d’un conducteur. Prenons à cet effet le cas d’une sphère conductrice de rayon R, chargée par Q. Nous pouvons en calculer l’énergie avec Faisons l’hypothèse que l’énergie électrique se distribue dans l’espace où le champ électrique n’est pas nul avec une densité volumique d’énergie Et retrouvons l’énergie calculée ci-dessus en faisant la somme de toute l’énergie distribuée. Soit un couche sphérique centrée sur la sphère chargée, de rayon r et d’épaisseur δr. Cette couche à un volume Le champ électrique créé par la sphère chargée est à la distance r > R, calcul vu dans une application précédente La densité d’énergie électrique prend la forme

17. L’élément sphérique contient la quantité d’énergie Le calcul de l’énergie totale conduit à un calcul d’intégrale élémentaire, sur le domaine où le champ n’est pas nul Nous retrouvons bien l’expression cherchée. Ce qui précède n’est pas une démonstration mais uniquement une vérification par le calcul de la cohérence entre la densité d’énergie par unité de volume postulée et sa totalité sur tout l’espace vide de conducteur. Le caractère positif de la vérification n’est pas un hasard calculatoire mais répond bien à l’existence d’une entité physique identifiable, la densité d’énergie par unité de volume qui, bien que non palpable n’en demeure pas moins réelle. La localisation de l’énergie portée par le champ électrique justifierait à elle seule l’étude du champ électrique comme grandeur physique de première importance.

18. Lignes de champ Lignes de champ Conducteur à l’équilibre 2 Conducteur à l’équilibre 1 A-VII.4 Système de deux conducteurs à l’équilibre Nous commençons l’étude des systèmes de conducteurs à l’équilibre en nous limitant à deux conducteurs afin de poser, tant les problèmes nouveaux qu’une telle situation pose, que les relations entre grandeurs physiques de base qui pourront ensuite facilement être généralisées au cas de N conducteurs. La situation des lignes de champ dessinée est totalement arbitraire. C’est une situation d’influence partielle où un certain nombre de lignes de champ (façon de parler car elle ne sont pas dénombrables) vont d’un conducteur à l’autre. Une autre situation d’influence totale sera vue plus loin.

19. Lignes de champ S2int S2 - - - - Conducteur 2 - S1 - - + S1int + + - + + - + - + Tube de flux - + - + - - + - - + - - + - - Conducteur 1 + - + + + + + + + Théorème des éléments correspondants Soit un tube de flux qui intercepte le conducteur 1 sur la surface et le conducteur 2 sur la surface avec une surface latérale . On construit une surface de Gauss avec la surface latérale une surface interne au conducteur 1 de forme quelconque et qui intercepte et une surface construite de la même manière dans le conducteur 2. La charge totale intérieure au tube de flux est celle portée par les deux surfaces et soit au total Le flux du champ sur les surfaces et est nul puisque le champ électrique est nul dans les conducteurs à l’équilibre. Sur la surface latérale le champ est tangent, donc le flux y est également nul. Le théorème de Gauss conduit à la relation suivante pour la charge intérieure au tube de flux Soit l’énoncé du théorème des éléments correspondants: Les charges découpées par un tube de flux qui va d’un conducteur à l’équilibre à un autre sont égales en nombres et opposées en signe.

20. - - - - - - - + + + - + + - + - + - + - + - - + - - + - - + - - Lignes de champ + - + + Potentiel V2 + B + + δS2 + + Conducteur 2 A Potentiel V1 δS1 Tube de flux Conducteur 1 Densité d’énergie électrique volumique Soit comme précédemment un tube de flux, ici infinitésimal en section, joignant deux conducteurs à l’équilibre. La circulation du champ électrique sur la ligne de champ entre A du conducteur 1 et B du conducteur 2 donne Sur la charge électrique est Sur la charge électrique est Sur ces conducteurs nous avons les champs en surface reliés aux densités surfaciques de charges par les relations et . Le flux du champ électrique étant constant le long du tube de flux L’énergie d’interaction des deux charges et aux potentiels et est Le théorème des éléments correspondants donne Soit pour l’énergie En utilisant la circulation du champ

21. Densité d’énergie électrique volumique (suite) La charge étant une constante on l’introduit dans l’intégrale et il vient compte tenu des relations précédentes La quantité représente l’élément de volume du tube de flux engendré par se déplaçant de Il est alors possible d’écrire L’intégrale le long de la ligne de champ de cette quantité revient à intégrer sur tout le tube de flux entre les deux conducteurs. La quantité représente bien une densité d’énergie par unité de volume. Un tel calcul sur tous les tubes de flux donnera l’énergie totale

22. M(2) Conducteur à l’équilibre 2 + M(1) Conducteur à l’équilibre 1 - • Relations entre charges et potentiels de deux conducteurs en influence à l’équilibre • Pour un seul conducteur nous avions trouvé la relation . • Ici, chaque conducteur aura sa charge et son potentiel et qui vont être inter-dépendants. • Soient et les charges discrètes qui se trouvent respectivement sur les surfaces des conducteurs 1 et 2. • Le potentiel du conducteur 1 est la somme en M(1) des deux contributions • Les charges du conducteur 1 • Les charges du conducteur 2 • Pour des distributions surfaciques de charges et ces expressions • Deviennent et • Il vient des expressions semblables pour le potentiel total du conducteur 2

23. Les charges totales de chaque conducteur peuvent s’écrire et • Multiplier les densités de charges par un coefficient k soit et • conduit aux transformations • Si les potentiels sont pris nuls quand les conducteurs ne sont pas chargés, on en déduit des relations de correspondances linéaires entre les charges et les potentiels, relations écrites de la manière suivante • et • Soit en notation matricielle • Les coefficients ont la dimension de capacité (Farad) et sont de deux types • Les qui sont positifs (à démontrer en exercice) et qui relient la charge d’un conducteur à son potentiel lorsque le potentiel de l’autre conducteur est nul. Par exemple • Les (i  j), avec qui sont négatifs (à démontrer en exercice) et qui relient la charge d’un conducteur, dont le potentiel est nul, au potentiel de l’autre conducteur. Par exemple • D’autre par existe la relation (à démontrer en exercice) Cette relation sera très utile dans l’étude des condensateurs. L’inégalité se transforme en égalité lorsque le système est en influence totale.

24. Pour le système de deux conducteurs il n’est pas inutile de décliner les relations entre ces coefficients • Les termes positifs • Les termes négatifs égaux • La relation d’influence Remarque importante: Les relations et leur sœur ne sont pas des relations intrinsèques aux conducteurs 1 et 2 respectivement bien qu’elles ressemblent à s’y méprendre à la relation trouvée pour un seul conducteur . En fait les coefficients dépendent de la géométrie de chaque conducteur comme de leurs positions relatives l’un par rapport à l’autre.

25. Conducteur à l’équilibre 2 + Conducteur à l’équilibre 1 - Le système de deux conducteurs en influence est directement extensible à celui de N conducteurs, les lois de correspondance charges-potentiel étant linéaires. Nous ne traiterons pas du cas général qui pourra être vu en exercice et appliqué à plus de deux conducteurs (exemple de trois petites sphères aux sommets d’un triangle). Le cas de deux conducteurs en équilibre et en influence permet de traiter des condensateurs classiques et nous suffira pour l’instant. Énergie potentielle d’interaction de deux conducteurs en influence à l’équilibre Nous avons à notre disposition l’énergie d’interaction d’un système de N charges ponctuelles Ici les N charges sont distribuées sur les surfaces des deux conducteurs sur le conducteurs 1 et sur le conducteur 2, avec Il est alors possible de décomposer l’énergie totale en deux termes Comme chaque conducteur est un domaine équipotentiel et soit finalement

26. Énergie potentielle d’interaction de deux conducteurs en influence à l’équilibre (suite) • Nous pouvons donner, en vue des applications, deux autres formes à l’énergie ci-dessus calculée, soit en fonction des seuls potentiels, soit en fonction des seules charges. • Expression avec les seuls potentiels. Utilisons les expressions vues plus haut sous forme développée qui intégrées dans celle de l’énergie donne • Expression avec les seules charges Inversons les expressions afin de tirer les potentiels en fonction des charges. Nous écrirons les relations obtenues sous la forme L’énergie prend la forme Ces deux expressions de l’énergie sont très utiles pour traiter des interactions entre conducteurs chargés • Conducteurs non reliés à des sources de potentiel : les charges sont constantes dans • Conducteurs reliés à des sources de potentiel : les potentiels sont constants dans Attention les ne sont pas égaux à

27. A-VII.5 Interaction entre deux conducteurs à l’équilibre • Nous avons vu que l’énergie d’interaction entre deux conducteurs dépendait des coefficients d’influence fonctions de la géométrie de chaque conducteur et de leurs positions mutuelles. • Le déplacement des conducteurs l’un par rapport à l’autre va modifier cette énergie puisque les coefficients seront modifiés. • Nous distinguerons deux cas: • Les conducteurs ne sont pas connectés à des sources de charges: leurs charges respectives restent constantes pendant la transformation essentiellement de position • Les conducteurs sont connectés à des sources de charges à potentiels constants: leurs charges respectives peuvent varier, mais leurs potentiels restent constants pendant les transformations de position. Dans le premier cas, en l’absence de source de charges, seul l’observateur qui réalise les déplacements travaille et son travail se transforme en variation d’énergie potentielle d’interaction entre les conducteurs Dans le deuxième cas, la présence de sources de charges occasionne un certain travail des sources qu’il va falloir estimer et qui va intervenir dans le bilan énergétique du système avec le travail de l’observateur qui réalise les déplacements et la variation d’énergie potentielle d’interaction du système de conducteurs en équilibre.

28. Déplacement quasi-stationnaire Conducteur à l’équilibre 2 Conducteur à l’équilibre 1 Fixe Déplacement quasi-stationnaire G2 G1 Ce qui intervient étant le déplacement relatif des deux conducteurs, considérons 1 fixe et 2 en déplacement quasi-stationnaire sous l’effet conjugué des forces électriques et mécanique de l’observateur Les générateurs G1 et G2 prennent des charges au potentiel nul, représenté par et les amènent aux potentiels et . Ils réalisent ainsi les travaux pour G1 et pour G2 Ces expressions viennent de l’énergie potentielle W = qV d’une charge q au potentiel V. Prise au potentiel zéro, la charge acquiert l’énergie qui lui est donnée par G1 . Il en est de même pour

29. L’énergie potentielle totale du système des deux conducteurs est Sa variation, avec les potentiels constants donne Le total des travaux des sources est La variation totale de l’énergie potentielle du système des deux conducteurs est la somme Il est alors possible de tirer l’expression du travail de l’observateur Résumons les résultats relatifs à ce cas:

30. Plaque 1 Plaque 2 Plaque 2 Plaque 1 + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - Fixe Fixe x O x O Traitement d’un cas particulier : deux plaques conductrices en vis à vis Soit deux plaques planes, conductrices, identiques, rectangulaires (la forme n’influe pas sur la suite), parallèles en vis à vis. La plaque 1 maintenue fixe est chargée par , la plaque 2 est chargée par . . Elles ont chacune une surface S et sont distantes de x, qui reste petit par rapport aux dimensions des plaques. L’énergie d’interaction des deux plaques est Admettons la relation entre Q et V que nous établirons dans le paragraphe des condensateurs Q = CV avec pour le condensateur plan ici présent . L’énergie prend la forme ou

31. Plaque 2 Plaque 1 Fixe + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - x O • Pour que la plaque 2, attirée par la plaque 1 avec une force , reste immobile, il faut lui appliquer une force telle que • Cherchons à calculer la force par deux méthodes différentes. • Lors d’un déplacement de la plaque 2 à charge constante, pas de connexion à des sources • Lors d’un déplacement de la plaque 2, cette dernière reliée à un générateur et la plaque 1 à la masse . Déplacement à charges constantes. Il est commode de calculer à partir du travail de l’observateur pour un déplacement de la plaque 2. A charges constantes nous sommes dans le cas où . Un calcul direct donne Pour l’énergie augmente, et comme , le potentiel augmente puisque Q = Cte. On peut le déduire également de Q = CV car avec si x augmente C diminue et V doit augmenter.

32. Plaque 2 Plaque 1 Fixe + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - O x G Déplacement à potentiels constants Dans cette situation un calcul direct de la variation d’énergie d’interaction à potentiel constant donne Soit la force Cette expression prend la même forme que dans le calcul précédent en utilisant Q = CV et Au passage notons que le travail fourni par la source est Pour l’énergie diminue, et comme , la charge diminue puisque V = Cte. On peut le déduire également de Q = CV car avec si x augmente C diminue et Q doit diminuer, le générateur retire des charges négatives à la plaque 2 et des charges positives partent à la masse.

33. Calcul des actions entre conducteurs chargés en interaction • En général elles sont de deux types • Les forces: pour des déplacements en translation • Les moments: pour les rotations autour d’un axe Les deux cas sont mis en œuvre dans les électromètres techniques. A charge constante: pour un déplacement infinitésimal ou - la composante suivant x de la force électrique pourra se calculer avec - le moment des forces autour de l’axe pourra se calculer avec A potentiel constant: pour un déplacement infinitésimal ou - la composante suivant x de la force électrique pourra se calculer avec - le moment des forces autour de l’axe pourra se calculer avec Dans tous les cas il faudra être très vigilant sur les grandeurs conservées et celles variables au cours des transformations impliquant des conducteurs en interaction reliés ou pas à des générateurs électriques.

34. Un exemple d’influence Sphère conductrice en présence d’une charge de très petite dimension y I M θ x -q’ O M’ x = OM q > 0 x’ = OM’ Soit une sphère conductrice de rayon R, de centre O, placée au potentiel V = 0. Elle est soumise à l’influence d’une charge de très petite dimension positive, placée en M, à la distance x = OM (on se place dans le cas où x > R, pour fixer la figure). On cherche à remplacer le couple « sphère , q », par le couple de charges de très petites dimensions « q , -q’ », q’ étant placée à la distance x’ = OM’ sur la droite OM. Il faut trouver les valeurs de q’ et de x’ telles que le couple « q , -q’ », crée un potentiel nul en tout point de la sphère, soit ici indépendamment de l’angle θ. Potentiel de la sphère V = 0

35. La charge q crée en I sur la sphère le champ électrique avec La charge q’ crée en I sur la sphère le champ électrique avec Le champ électrique total s’écrit avec Le potentiel électrique total au point I de la sphère s’écrit soit L’expression du champ électrique donne les deux relations La deuxième équation donne qui reportée dans la première donne La combinaison de ces deux relations donne soit encore Après simplification on obtient Cette relation conduit aux deux quantités cherchées et

36. Calcul du champ électrique à la surface de la sphère. On porte directement dans l’équation les deux relations précédentes qui donnent q’ et x’. Il vient . La variable r n’est pas la plus adéquate pour décrire un point sur la sphère. L’expression en fonction de θ donne Densité de charges à la surface de la sphère Nous connaissons la relation entre la densité de charges en surface d’un conducteur et le champ en surface . Il vient, la densité devant être négative, la charge ponctuelle d’influence étant positive Charge totale portée par la sphère On choisit une surface élémentaire dS découpée sur la sphère entre les deux cônes d’axe OM et d’angles θ et θ + d θ (nous avons déjà rencontré une telle surface élémentaire). Elle s’écrit La charge totale de la sphère est donnée par La primitive ne pose pas problème et donne Force existant entre la charge ponctuelle et la sphère La force qui s’exerce sur la sphère vient de la distribution non uniforme de la charge en surface.

37. Cette distribution non uniforme est la conséquence de l’influence de la charge ponctuelle sur la sphère. Il est alors possible de calculer la force cherchée en utilisant les forces de pression électrostatique sur la surface. La pression électrostatique est donnée par Par raison de symétrie autour de l’axe OM seule la composante de la force sur cet axe n’est pas nulle. Il vient alors directement Avec les notations précédentes il vient Soit aussi La primitive ne pose pas de problème essentiel. Il vient finalement le signe (-) marque l’attraction entre sphère et q. Il est possible d’obtenir ce résultat en calculant directement la force entre les deux charges ponctuelle q et – q’ distantes de x – x’ qui avec et donne le bon résultat.

38. Calcul du potentiel créé en M par la sphère Il est possible de procéder à un calcul direct à partir de Soit avec les mêmes notations que précédemment Le calcul de la primitive ne doit pas poser de problème et donne au final Il est possible de retrouver ce résultat à partir du potentiel créé en M par la charge – q’ avec et

39. Plan conducteur en présence d’une charge de très petite dimension I θ M’ M x O x’ = M’O x = OM -q’ q > 0 Le plan est placé au potentiel V = 0. Il est soumis à l’influence d’une charge de très petite dimension positive, placée en M, à la distance x = OM, OM perpendiculaire au plan. On cherche à remplacer le couple « plan , q », par le couple de charges de très petites dimensions « q , -q’ », q’ étant placée à la distance x’ = OM’ sur la droite OM. Il faut trouver les valeurs de q’ et de x’ telles que le couple « q , -q’ », crée un potentiel nul en tout point I du plan, soit ici indépendamment de l’angle θ.

40. Pour que le champ total en I soit perpendiculaire au plan il faut par raison de symétrie que q’ = q et x’ = x La charge q crée en I sur le plan le champ électrique Le champ électrique total s’écrit avec soit La densité surfacique de charges électriques sur le plan en I est donnée par soit La charge électrique totale portée par le plan est donnée par La symétrie autour de l’axe OM nous incite à choisir un dS de la forme avec Ainsi pour la charge du plan Ce résultat montre que toute les lignes de champ qui partent de q aboutissent sur le plan, l’influence est totale bien que le plan n’entoure pas la charge q. Ce sont ses dimensions infinies qui lui permettent d’intercepter toutes les lignes de champ. Calcul de la force exercée sur le plan. C’est la présence de la charge q en M qui est cause de la distribution de charges à la surface du plan, donc de l’existence d’une pression électrostatique donnée par

41. La force qui s’exerce sur le plan peut alors s’écrire comme soit avec les notations utilisées Il est possible de retrouver se résultat en calculant directement la force entre les deux charges ponctuelles avec q’ = q

42. - - - - - - Conducteur 2 - - - - - - - + + - + + + + + - - + + + + - + + - + + + - + + - - + + - - + + Conducteur 1 - - + + - + - + + - + - + - + - + + - + - + - + + + + - + - + + + + + - - - - - - - - - - - - - A-VII Les Condensateurs Les condensateurs sont des associations de conducteurs, en général deux, qui présentent l’un vis à vis de l’autre une zone de surface en influence totale. Nous avons vu dans l’exemple traité plus haut l’archétype du condensateur plan, pour lequel l’influence des deux surface S n’est pas totale, mais conçue comme telle si la distance entre les plaques x est très faible par rapport à leur surface, condition en général satisfaite si une forte capacité est désirée puisque Un cas d’influence totale est obtenu lorsqu’un des conducteurs creux 2 entoure complètement l’autre 1. La charge portée par le conducteur 1 se retrouve avec le signe opposé sur la surface intérieure du conducteur 2 (en vertu du théorème des éléments correspondants). La surface extérieure du conducteur 2 peut porter une charge (non représentée sur le dessin). Le conducteur 1 étant en influence totale vis à vis du conducteur 2 nous avons la relation. Nous avons aussi Par contre, comme le conducteur 2 n’est pas en influence totale vis à vis du conducteur 1 nous n’avons pas mais toujours

43. Les relations charges-potentiels • donnent ici et • En simplifiant les notations, soit la charge accumulée sur le conducteur en influence totale • (fonction condensateur) et la différence de potentiel entre les deux conducteurs, donc aux bornes du condensateur. • Nous obtenons la formule classique des condensateurs • Nous avons déjà signalé le danger qu’il peut y avoir à confondre cette expression avec son identique pour un conducteur isolé. • Bien que d’un usage limité, il est possible de tirer de ces équations la charge extérieure du conducteur 2. • Soit aussi • Énergie emmagasinée dans le condensateur. Elle se compose de deux parties • Celle résultant de l’influence totale entre les deux conducteurs. Elle se calcule directement avec C’est elle qui nous intéresse dans l’utilisation des condensateurs.

44. Conducteur 2 Conducteur 1 • Celle résultant de la charge extérieure au potentiel Exercice à faire : Cas de trois sphères concentriques Conducteur 1 : sphère de rayon R1 chargée avec Q1 > 0. Conducteur 2 : sphère creuse de rayon intérieur R2 , de rayon extérieur R3 chargée avec Q2 > 0. 1- Trouver et tracer le champ E(r) pour tout r 2- Trouver et tracer le potentiel V(r) pour tout r avec V() = 0 3- Donner l’expression Q = CV du condensateur formé 4- Exprimer la forme générale de l’énergie en faisant apparaître l’énergie du condensateur. 5- Vérifier la localisation de l’énergie dans les espaces vides