Geometria e Álgebra

1. Geometria e Álgebra

2. Motivação:Geometria de objetos gráficos

3. Motivação: algoritmo de Traçado de Raios Pixel (RGB) Luz Câmara ye Iluminação ze xe Objetos zo yo xo

4. y x Coordenadas CartesianasPlano ou R2 y 0 x

5. z y 0 x Coordenadas CartesianasEspaço ou R3

6. y1+y2 p1+p2 x1+x2 Soma de vetores y y1 y2 x 0 x1 x2

7. Produto de vetor por escalar a < 0 0 < a < 1 a > 1 ay ax y y x 0 x

8. -p1 (y2-y1) p2-p1 (x2-x1) Distância entre vetores y y2 p2 y1 p1 x x2 x1 0

9. Aplicação: Esfera

10. Propriedades Gerais de Espaços Vetoriais • Comutatividade:p + q = q + p • Associatividade:(p + q)+r = p + ( q + r) • Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p • Inverso aditivo: p +(- p) = 0 • Distributividade:(a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q • Multiplicação por 1:1. p = p

11. Espaço Vetorial Funções de [a,b]R F, G (F+G)(x)=F(x)+G(x) (aF)(x)=aF(x) G(x) F(x) x a b Comutatividade: p + q= q + p Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r) Vetor nulo:p + 0 = 0+ p = p Inverso aditivo:p + (- p) = 0 Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q Multiplicação por 1:1. p = p

12. Espaço Vetorial Matrizes Rnm Soma: Produto por escalar:

13. Matrizes especiais

14. Matrizes especiais (cont)

15. Combinação Linear Independência linear:

16. z zk k j i y xi yj x Base Canônica ijk

17. Aplicações: retas e planos

18. f(x) x -  Aplicação: Série de Fourier

19. p3 p(a) p1 p2 p(a,b) p1 p2 p4 p1 p3 p2 Combinação Convexa

20. para todo se e somente se para todo para todo Generalização de Norma

21. Outras normas no Rn

22. Norma: aplicações Unitário: Distância:

23. Normas de função F F(x) x a b

24.  2 Distância e erro F, G G(x) F(x) G(x) -F(x) x a b

25. Distância entre superfícies distância de Hausdorff

26. Produto interno:definição geomética  desigualdade de Schwarz

27. Produto interno:expressão algébrica  k j i no R2

28. x x x i Produto interno:definição algébrica 

29.   Aplicações do produto interno:cálculo de ângulos

30. Projeção na direção de :  Projeção na direção perpendicular a : Aplicações do produto interno: projeção na direção ...

31. ^ n h h pn r Aplicação do produto internoreflexão de um vetor p

32. Aplicações do produto interno:equação de um plano normal a que distadda origem z d y 0 x

33. z d y 0 x Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a um plano  lado positivo  lado negativo

34. Aplicações do produto interno:posição de um ponto em relação a uma reta no R2 y d x

35. + = + p p ' , q p , q p ' , q = a p , q a p , q + = + p , q q ' p , q p , q ' = p , a q a p , q = Comutatividade ( simetria ) : p , q q , p ³ Positividade : p , p 0 , s ó é igual a zero se p = 0 Produto interno:generalização Bilinearidade:

36. Produto interno e norma de funções

37. Ortogonaliadade das funções da base de Fourier

38. Bases ortonormais Seja {p1, p2, ...,pn} tal que então:

39. Produto Vetorial p2 p1 

40. p2  p1 k k i i j × i j k Produto Vetorial

41. Produto Vetorialforma de lembrar

42. Matriz do produto vetorial

43. Produto vetorial aplicados 2 vezes

44. Aplicações do produto vetorial:movimento de um corpo rígido B’ B B’ B A

45. v13  v12 Aplicações do produto vetorial:áreas e normais Cálculo de áreas e normais p3 h p2 p1 Cálculo de ângulos

46. v23 v31 pi v12 pe Aplicações do produto vetorial:interior e exterior p3 p2 p1

47. Aplicações do produto vetorial:orientação e consistência de malha p3 p7 v23 v31 p2 p5 = p6 v12 p1 p4 p1 p2p3 p1 p3p7 p1 p2p4 p4 p5p6 p4 p5p2    

48. Produto misto h

49. Produto Misto e Determinante Mostre que: c.q.d.

50. Produto Mistopropriedade Mostre que: