Rovnice a ich riešenia

1. Rovnice a ich riešenia Rišová III.F

2. Rovnica • Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi • Rovnica prvého stupňa • Rovnica s jednou neznámou možno po príslušných úpravách napísať v tvare ax=b , kde a aj b sú dané čísla alebo výrazyobsahujúce známe veličiny. • Riešenie (koreň) má tvar x =b/a, ak a≠0.

3. Rovnica druhého stupňa (kvadratická rovnica) • Každá rovnica , ktorá má všeobecný tvar ax2 +bx +c =0 sa nazýva kvadratická rovnica. Kde a, b , c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice. ax2 je kvadratický člen, b lineárny člen a c absolútny člen. • Kvadratická rovnica má najviac 2 riešenia v množine reálnych čísel. • Môže byť: 1. bez absolútneho člena ax2 +bx =0 (c=0) • 2. rýdzo kvadratická ax2 + c=0 (b=0) • 3. Normovaná kvadratická rovnica x2 + p*x + q = 0 – všeobecná rovnica sa vydelila a za členy, ktoré nám vzniknú dosadíme parameter p a q • Graficky sa kvadratická rovnica zobrazí ako parabola pričom v hodnotách koreňov sa parabola pretína s osou x.

4. Riešenia kvadratických rovníc • Riešenie cez diskriminant:-diskriminant má tvar D= b2 -4ac • - pre korene kvadratickej rovnice x1 ;x 2 platí vzťah kde ak D<0 neexistuje √D potom K=0 • ak D=0, √0=0 potom K= (b/(2*a)) • ak D>0 K= (x1 ;x 2 )

5. Riešenie s pomocou vietových vzťahov • pre korene kvadratickej rovnice v všeobecnom tvare platia vzťahy x1+ x 2 = -b/a • x1* x 2 = c/a vzťahy platia iba pre a≠0 a pre a ,b, c, x € R

6. Riešenie rozkladom na súčin • dá sa použiť iba ak kvadratická rovnica má tvarax2 + c. • Potom podľa vzorca ax2 - (-c ) = a a(x+√(c÷a))(x-√(c÷a)). Z upraveného tvaru sú hodnoty koreňov jednoznačné

7. Riešenie substitúciou(nahradením): • Nahradzujeme jednu neznámu ďalšou. Pri riešení však nemôžme zabudnúť, ktorá neznáma je pôvodná a ktorá iba odvodená.

8. Riešenia sústavy rovníc • Sústavou m-lineárnych rovníc o n-neznámych sa nazýva sústava tvaru • využívame 3 metódy: • dosadzovaciu (substitučnú) metódu; • sčítaciu (adičnú) metódu; • porovnávaciu (komparačnú) metódu. • matice • determinanty

9. Sčítacia metóda • každú rovnicu po úprave na základný tvar vhodne násobíme tak, aby sa po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma odčítala. Dosadzovacia metóda • Z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a v ostatných rovniciach tú istú neznámu vyjadrením nahradíme.

10. Porovnávacia metóda • Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu. • Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

11. Matice

12. sústavu rovníc možno zapísať do matice • „i“ je číslo riadku a „j“ je číslo stĺpca, ktoré sú usporiadané do „m“ riadkov a „n“ stĺpcov.

13. Typy matíc • štvorcová matica (m=n) • diagonálna matica (je matica, ktorá má na všetkých miestach okrem hlavnej diagonály nuly) • jednotková matica (je matica, ktorá má vo svojej diagonále samé jednotky a ostatné čísla sú nulové. Jednotkovú maticu štandardne označujeme E) • nulová matica (matica, ktorá má všetky prvkynulové)

14. Determinanty • Každej matici možno priradiť číslo zvané determinant |A|. • Daná je všeobecné rovnice sústavy rovníc : ax + by + cz = d a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 • Sústavu rovníc možno zapísať do determinantu tretieho stupňa , skrátene označený • Je to isté ako výraz a b1 c2 + bc1a2 + ca1b2 – cb1a2 – ac1b2 – ba1c2 . Tento výraz možno dostať zo schematického označenia tabuľky

15. Ostatné typy rovníc • Diofantické rovnice- 1 rovnicu s viacerými neznámymi riešime v Z v N • Kubická rovnica- rovnica 3 stupňa ax3 + bx2 + cx + d=0 • Rovnice vyšších stupňov- možno znižovať: -rozkladom na súčin -Substitúciou -Delenie polynómov – treba poznať aspoň 1 koreň

16. Ďakujem za pozornosť