Czym zajmuje się kombinatoryka?

2. Czym zajmuje się kombinatoryka? Kombinatoryka to teoria obliczania liczby elementów zbiorów skończonych. Najważniejszym jej zadaniem jest konstruowanie spełniających pewne określone warunki odwzorowań jednego zbioru skończonego w drugi oraz znajdowanie wzorów na liczbę tych odwzorowań.

3. Pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka Zbiór Każdy zbiór nie zawiera dwóch identycznych elementów, to znaczy każdy element traktujemy tak, jakby występował tylko jeden raz, a kolejność elementów zbioru nie odgrywa roli. Przykłady: zbiór cyfr arabskich {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, zbiór oczek na kostce do gry {1,2,3,4,5,6}, zbiór liter alfabetu {a, b, c, …, z}

4. Pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka Ciąg Kolejność ustawienia wyrazów w ciągu jest bardzo ważna. Zmieniając kolejność wyrazów w ciągu otrzymujemy inny ciąg. Ciąg może zawierać wyrazy identyczne lub nie. Przykłady ciągów otrzymanych ze zbioru {a, b} - bez zwracania (ab, ba) - ze zwracaniem (aa, ab, ba, bb)

5. Pojęcia, którymi posługuje się kombinatoryka n! (n silnia ) Symbol n! - oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1∙2∙3∙…∙n Przyjmujemy: 0!= 1 1!= 1 Przykłady: 4!=1.2.3.4=24 5!=1.2.3.4.5=4! .5=120

6. Pojęcia którymi posługuje się kombinatoryka Symbol Newtona Przykład: n nad k

7. Permutacje Permutacjązbioru n- elementowego nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru. Liczbę permutacji obliczamy ze wzoru Kolejność występowania wyrazów ma tutaj znaczenie. Permutacje zbioru 3- elementowego: { a, b ,c } abc bac cab acb bca cba

8. Zasada mnożenia Jeśli pewną czynność wykonuje się w k – etapach, przy czym etap 1 można wykonać na n1 sposobów, etap 2 na n2 sposobów, …, k-ty etap na nk sposobów, to liczba N sposobów, jakimi można wykonać tę czynność wyraża się wzorem: N = n1 · n2 · … · nk Przykład: Rzucamy sześcienną kostką do gry i monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? n1 = 6 (liczba możliwych wyników w rzucie kostką), n1 = 2 (liczba możliwych wyników w rzucie monetą) N = n1 · n2 = 6· 2 = 12

9. Permutacje z powtórzeniami Jeżeli zbiór Z składa się z n przedmiotów podzielonych na s rozłącznych grup, gdzie liczby elementów w poszczególnych grupach wynoszą odpowiednio k1,k2 ,…,ks i k1 + k2 +…+ ks = n , to liczba permutacji nierównoważnych zbioru Z jest równa Przykład: Ile różnych słów mających sens lub nie można utworzyć z liter wyrazu „baobab” ?

10. Wariacje bez powtórzeń k-wyrazową wariacją bez powtórzeń ze zbioru n- elementowego nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg o różnych wyrazach należących do n- elementowego zbioru. Liczbę wariacji bez powtórzeń obliczamy ze wzoru Kolejność wyrazów ma znaczenie. Przykład: 2- wyrazowe wariacje bez powtórzeń ze zbioru 3- elementowego { a, b, c }: ab ba ca ac bc cb

11. Wariacje z powtórzeniami k- wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru n- elementowego nazywamy każdy k- wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n- elementowego zbioru. Wyrazy mogą się powtarzać. Liczbę wariacji z powtórzeniami obliczamy ze wzoru Kolejność wyrazów ma znaczenie. Przykład: 2- wyrazowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru 3- elementowego { a, b, c }:aa ab ac ba bb bc ca cb cc

12. Kombinacje Kombinacjąk- elementową ze zbioru n- elementowego nazywamy dowolny podzbiór k- elementowy danego zbioru n- elementowego. W podzbiorach kolejność elementów nie jest ważna. Liczbę kombinacji obliczamy ze wzoru Przykład: 2- wyrazowe kombinacje ze zbioru 3-elementowego {a, b, c}: {a, b} {a, c}{b, c}

13. Zadanie 1. Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą pierwszą mniejszą od 10, zaś druga jest dodatnim dzielnikiem liczby 15 ? Rozwiązanie Zbiory A i B zawierają po 4 elementy, stąd liczba wszystkich rozwiązań wynosi (reguła mnożenia)

14. Zadanie 2. Rzucono sześcienną kostką do gry oraz monetą. Wynikiem doświadczenia jest para (a, b), gdzie a jest wynikiem rzutu kostką, natomiast b – wynikiem rzutu monetą. Ile jest możliwych wyników takiego doświadczenia ? Stąd

15. Zadanie 3. Do windy zatrzymującej się na 10 piętrach wsiadło 6 osób. Na ile sposobów mogą osoby te opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze? Rozwiązanie Mamy do czynienia z wariacjami 6-cio elementowymi zbioru 10-cio elementowego

16. Zadanie 4. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje a) cyfra 0 b) cyfra 4 Ad a) Zbiór zawiera dziewięć cyfr, więc za każdym razem do dyspozycji mamy dziewięć elementów, stąd Ad b) Zbiór zawiera dziewięć cyfr, ale jedną z nich jest 0, które nie może być cyfrą setek, więc za pierwszym razem mamy 8 możliwości, a następnie 9 i znowu 9, stąd

17. BIBLIOGRAFIA: Stanisław Słonikowski Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa dla szkół średnich Ewa Orłoś Rachunek prawdopodobieństwa dla liceum Jerzy Ligman Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa dla szkół średnich.

18. Prezentację przygotowali: Jakub Bartczak Joanna Chojnacka Natalia Mocek Anna Kaleta Natalia Mocek Aleksandra Szczepańska Ewa Telążka Justyna Tomczyk Adam Szewczyk Tadeusz Witkowski Magdalena Żuberek Oskar Prussak