Aula 9 - definições

1. Aula 9 - definições SISTEMAS LINEARES Mestrado em Engenharia Elétrica. Maio-2003

8. 1) A equação Y(s)=H(s)U(s) , no domínio de Laplace, • descreve a relação entre a entrada U(s) e a saída Y(s) • de um sinal, é chamada de descrição externa. • 2) H(s), denominado de Função de Transferência, • é fatorado com a razão de duas matrizes polinomiais • H(s)=P(s)/Q(s)

9. As equações abaixo: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(to)=xo cond. inicial y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t), são chamadas deequações de estado ou equações dinâmicase descrevem um sistema internamente. São equações diferenciais lineares de primeira ordem de dimensão-n.

10. 1) A(.),B(.),C(.),D(.), são funções do tempo com dimensões n x n; n x q; p x n, and p x q, respectivamente. 2) O vetor sinal u( . ) de dimensões qx1 é uma função contínua do tempo, chamada de sinal entrada (ou controle). 3) De maneira similar, o sinal y( . ) de dimensões px1 é conhecido como sinal de saída. 4) O vetor de dimensão n é chamado de estado do sistema.

11. 5) O caso invariante no tempo, refere-se às matrizes A, B,C, D, constantes. 6) Quando p = q = 1, o modelo é chamado SISO (Single-Input Single-Output). Neste caso B é um vetor coluna e C é um vetor linha. 7) Quando p e q forem maiores do que um (>1), o modelo é chamado de MIMO (Multiple-Input Multiple-Output). Neste caso, B and C são matrizes. Em ambos casos (SISO & MIMO), o vetor estado pode ainda ser (e geralmente é) de dimensão n.

12. IMPORTANTE: • Estas duas equações serão desenvolvidas usando conceitos de linearidade, invariância no tempo, causalidade e relaxamento. • Para que possamos realizar uma análise qualitativa, precisamos investigar as propriedades desta duas equações: • . • x(t) = Ax(t) + Bu(t) • y(t) = Cx(t) + Du(t)

13. Exemplo: Um foguete é propelido por uma força vertical que é proporcional a razão de ejeção da massa u0, i.e., F= .uo, logo a massa m(t) =uo. A posição vertical do foguete em relação à superfície da terra é dada por h(t), sua massa por m(t), e sua velocidade por v(t). As equações de movimento são: m(t) .v(t) = .uo - m(t)g; h(t)=v(t) ; m(t) =uo O que nos leva a uma equação diferencial de segunda ordem em h(t):

14. Definindo x1=h, x2=h e y=h nós obtemos o modelo estado-es- paço de dimensão n=2:

15. NETWORK + X Y V1(t) + SISTEMA V2  Resposta à entrada ZERO: É a saída Y quando a entrada X=ZERO. A saída (zero-input response) Y pode ser diferente de ZERO pois poderão existir cargas ou fluxos iniciais. Estado do sistema: É o conjunto de condições iniciais do sistema. Resposta Estado Zero: É a saída Y devida a uma entrada arbitrária X quando (Zero-state response) todos as condições iniciais  zero (zero state).

16. Variáveis de Estado: São um conjunto de variáveis que • descrevem o comportamento interno de um sistema. • Representam elementos físicos, logo podem ser medidos. • Representação por Variáveis de Estado: É o modelo • que é definido em termos das variáveis de estado. • O Modelo de Estado: É apresentado em termos de equa- • ções matriciais.

17. Álgebra Linear: É usada para realizar transformações de similaridade para resolver equações algébricas lineares e computar funções de uma matriz. Solução das Equações de Estado: Diferentes análises, levam a diferentes maneiras de descrever o mesmo sistema.

18. Estabilidade: É uma propriedade qualitativa de um • sistema linear. É o primeiro requerimento a ser obtido • quando se projeta um sistema. • Temos • Estabilidade BIBO (bounded input, bouded output) • Se um sistema não for internamente estável • não será BIBO! • Estabilidade no sentido de Lyapunov • Estabilidade Assintótica

19. Estabilidade à resposta impulsiva: Se lim |h(t))|   o sistema ébounded. t AiBk H(s) = + , onde Ai são pólos simples s+pi (s + pk)2 e Bk sãopólos múltiplos. h(t) terá então pólos desta forma, para r<1: Aie-pitu(t) e Bk [(tr-1)/(r-1)!] e-pkt u(t)

20. Figura 1

21. 1) Para a estabilidade à resposta impulsiva, todos os valores característicos (pólos=) devem estar localizados no plano esquerdo. jw  2) Um circuito que possua só R,L,C (elementos passivos)é estável. 3) Fontes dependentes (Op.AMP.) são fontes de instabilidade. Pólos no eixo jw são permitidos desde que não sejam únicos

22. Procedimentos para determinar a estabilidade: P(s) H(s)= onde Q(s)=bosn+b1sn-1+....bn para n>2 determine a Q(s) a estabilidade do sistema. 1) Podemos resolver explicitamente a equação para encontrar as raízes ou então usar o Polinômio de Hurwitz: Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s Hurwitz restritopólos no eixo jw

23. Procedimentos para determinar a estabilidade: Q(s) =(s+a)r [s+(b+jc)]m [s+(b-jc)]m (s2+d2)s 1) Todos os b’s são > do que ZERO. 2) Abaixo de sn não existem expoentes faltando (não existe sinal negativo para cancelar outro termo). 3) Quando em Q(s) nós apenas temos termos do tipo (s2+d2), (perdemos os termos de ordem ímpar). 4) Quando em Q(s) temos apenas termos do tipo (s2+d2)s, perde- mos os termos de ordem par. Exemplo:1) Q(s)= 2s4+10s3-12s3+21s+76  -12 sistema instável! 2) Q(s)= 63s6 + 24s4 10s2 + 64  Sem os termos ímpares sistema pode ser estável - condição necessária mas não suficiente!

24. Estabilidade BIBO e(t) r(t) R(s)=H(s).E(s) Pr(s) PH(s).Pe(s) = Qr(s) QH(s).Qe(s) limt |e(t)| limt |r(t)| BI(bounded input) BO(bounded output) A B C D r(t) = TL-1( + + ...) ( + + ...) s+p1H s+p2H s+p1E s+p2E boundedse todos os pólos bounded por suposição estão no LHP e sem pólos no eixo jw H(s)

25. Exemplo: Sendo dado H(s)= e uma entrada e(t)=10 sen(2t)u(t). w R(s) = +  R(s)=  r(t)= tsen2t u(t) t não bounded Aqui, precisamos Hurwitz restrito porque podemos excitar uma freqüên- cia natural do circuito que resultará em ressonância.

26. Controlabilidade e Observabilidade: • Essencial no estudo da estabilidade e da teoria • do controle ótimo. • Predição ou filtragem de sinais. • Se um estado é controlável, os eigenvalues da • equação podem ser arbitrariamente definidos pela • introdução de realimentação de estado através de • uma matriz de ganho constante. • Se as equações de estado são observáveis, seus • estados podem ser gerados, criando-se um • estimador de estado com eigenvalue arbitrado.

27. Controlabilidade e Observabilidade: • De forma simplificada podemos dizer que controlabilidade • estuda as possibilidade de dirigir um estado desde a entrada. • Observabilidade estuda a possibilidade de estimar um esta- • desde a sua saída. • Se uma equação dinâmica é controlável, todos os modos da • equação podem ser excitados desde a entrada. • Se uma equação dinâmica é observável, todos os modos da • equação podem ser observados da saída.