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DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION NORMAL. Mario Briones L. MV, MSc 2005. Características de la distribución normal. Es simétrica en torno a la media m La media (promedio), mediana y moda son iguales. El área total bajo la curva y sobre el eje X es una UNIDAD DE AREA. Características de la distribución normal.

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DISTRIBUCION NORMAL

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Presentation Transcript

  1. DISTRIBUCION NORMAL Mario Briones L. MV, MSc 2005

  2. Características de la distribución normal • Es simétrica en torno a la media m • La media (promedio), mediana y moda son iguales. • El área total bajo la curva y sobre el eje X es una UNIDAD DE AREA

  3. Características de la distribución normal • La distribución normal es una función que tiene sólodos parámetros, la media poblacional (m) y la varianza (s2). • La densidad normal alcanza un máximo cuando la variabletiene un valor igual a m y disminuye continua y simétricamenteen ambas direcciones en la medida que la variable se desvía de m. • Una variable con distribución normal m y varianza s2 se denotapor z ~ N(m, s2) donde ~ significa “se distribuye”.

  4. Algunas propiedades • La distribución de muchas variables biológicases aproximadamente normal. Toda variablecuya expresión sea el resultado de contribucionesaditivas de pequeño efecto tenderán a distribuirse normalmente.

  5. “NORMALIDAD”

  6. Algunas propiedades • Mediciones que no son normales puedenvolverse aproximadamente normales con unasimple transformación de escala. Ej. raíz cuadrada,logaritmo. • El recuento de unidades formadoras de colonias o el recuento de células somáticas deben ser transformados a logaritmo para ser analizados estadísticamente.

  7. Algunas propiedades • La distribución normal es relativamente fácilde trabajar matemáticamente. Muchosresultados útiles en estadística pueden serderivados si la distribución es normal. Inclusocuando las muestras provienen de distribucionesno normales.

  8. Algunas propiedades • Incluso si la distribución original de lapoblación no es normal, la distribuciónde las medias de repetidos muestreostenderán a ser normales, con muestreoaleatorio y en la medida que el tamañode la muestra aumenta

  9. Algunas propiedades • Si, al observar los estimadores de una muestra obtenida al azar desde una población, y la MEDIA, la MEDIANA y la MODAtienen valores parecidos, y si observamos un histograma y vemos que la mayor frecuencia de observaciones se agrupa entorno a la media, con colas hacia los extremos de la distribución,podemos asumir que:

  10. Algunas propiedades • LOS DATOS PROVIENEN DE UNA POBLACIÓN CONDISTRIBUCIÓN NORMAL • Si esto sucede, podemos aplicar las propiedades de la distribuciónnormal a las inferencias que hagamos a partir de los datos de lamuestra: por ejemplo,podemos decir que por encima del promedioobtenido en la muestra, se debería ubicar el 50% de la población.

  11. Algunas propiedades • Cuando la distribución normal tiene media igual a ceroy desviación estándar igual a 1, se trata de una distribuciónnormal estandarizada. • Existen tablas de área bajo la curva y altura de la ordenadapara la distribución normal estandarizada en todos loslibros de estadística

  12. “Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal. • CURTOSIS g2= 0 g2> 0 g2< 0

  13. Coeficiente de curtosis s= desviación estándar

  14. “Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal. • Error estándar de la curtosis • Si , entonces la distribución no es normal.

  15. “Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal. • COEFICIENTE DE ASIMETRIA: g1= 0 g1> 0 g1< 0

  16. Coeficiente de asimetría:

  17. “Deformaciones” o “desviaciones” de la distribución normal. • Coeficiente de asimetría: • Error estándar del coeficiente de asimetría: • Si , la distribución no es normal.

  18. DISTRIBUCION NORMAL ACUMULATIVA (fragmento, obtenido con la función DISTRIBUCION NORMAL ESTANDARIZADA de Excel)

  19. A= 0.68 68% m= 0 s= 1 -1s m +1s m= 0 s= 1 A= 0.95 95% -2s -1s m +1s +2s

  20. A= 0.99 99% m= 0 s= 1 -3s -2s -1s m +1s +2s +3s

  21. A2 -1.62 0.28 A1 ejemplo: Cuál es la probabilidad de que una desviación normal caiga entre -1.62 y +0.28? -3 -2 -1 0 1 2 3 Se divide el intervalo en dos partes: 1. de -1.62 a 0 A1= 0.4474 2. de 0 a 0.28 A2= 0.1103 Probabilidad total= 0.5577

  22. TABLA DE DISTRIBUCION ACUMULADA Esta tabla se utiliza con mayor frecuencia. Entrega el área bajo la curva desde cero hasta Z. Probabilidad de un valor Fórmula 1. Entre 0 y Z A 2. Entre -Z y Z 2A 3. Fuera del intervalo -Z, Z 1 - 2A 4. Menor que Z (Z positivo) 0.5 + A 5. Menor que Z (Z negativo) 0.5 - A 6. Mayor que Z (Z positivo) 0.5 - A 7. Mayor que Z (Z negativo) 0.5 +A

  23. Estandarización de una distribución normal • CUALQUIER VALOR xi EN UNA DISTRIBUCIÓNPUEDE SER ESTANDARIZADO SOBRE LA BASE DE SUDISTANCIA DESDE LA MEDIA, MEDIDA ENUNIDADES DE DESVIACIÓN ESTANDAR. • AL HACER ESTO, LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION SE HACE CEROY LA DESVIACIÓN ESTANDAR ES LA UNIDADDE LA ESCALA.

  24. TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL TODAS LAS TABLAS ESTANDARES DE DISTRIBUCION NORMAL TIENEN MEDIA CERO Y DESVIACION ESTANDAR 1 Existe una medición X con mediay desviación estándar  y se desea utilizar la curva normal. Se debe transformar la escala de X de tal manera que la media se hace cero y la desviación estándar 1. Este re escalamiento está dado por la relación: “desviación estándar normal” obtención del valor X a partir de Z

  25. VARIABLE X: Peso de nacimiento de terneros de carne, machos y hembras, de las razas Hereford, Angus e Híbridos ¿Cuál es el valor estandarizado (media cero y desviación estándar igual a 1) para un peso de nacimiento de 50 kilos?

  26. Con los mismos datos anteriores: ¿Cuál es la probabilidad de un peso de ternero al nacimiento entre 50 y 55 kilos, ambos incluidos? ¿Cuál es la probabilidad de que un ternero pese 30 kilos o menos?

  27. Respuestas: Límite inferior: 50 kilos……… Z= (50 – 39.4)/6.15= 1.72 Límite superior: 55 kilos………Z= (55 – 39.4)/6.15= 2.53 Area= 0.4943-0.4573 = 0.037 Escala normalizada 0 1.72 2.53 z Escala real 39.40 50 55 kilos Area= 0.4943 Area= 0.4573

  28. La pregunta en sentido inverso: • Entre que pesos, por sobre y bajo el promedio, se ubica el 50% de los datos de peso de nacimiento en la población de terneros a la cual pertenece la muestra?

  29. A partir de un área bajo la curva, determinar el valor z 0.25 0.25 z m z En este caso se busca en el cuerpo de la tabla un valor de área lo más parecido a 0.25 y en los márgenes se determina a que valor de z corresponde, en este caso es +0.675 y -0.675

  30. A partir del valor z, determinar el valor en kilos o la variable correspondiente • Entre +0.675 y -0.675 unidades estandarizadas de la curva normal (desviaciones estándares) se ubica el 50% de probabilidades de valores de peso. • Si en el caso de la variable peso la desviación estándar es de 6.15 kilos, entonces la distancia en el eje medida en kilos es de ±6.15 x 0.675 = ±4.15 kilos • Respuesta: m ±4.15 kilos

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