Los Números Complejos

1. Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora 1ºA

2. Temario • Introducción • Representación gráfica • Operaciones de números complejos • Forma polar • Pasar de forma polar a forma binómico • Pasar de forma binómico a forma polar • Multiplicación y división • Potencias y raíces Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

3. Introducción • Toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria( ) recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los números complejos con la letra Z ; así z = a + bi • Se llama PARTE REAL a la primera componente “a”. • Se llama PARTE IMAGINARIA a la segunda componente “b”. • Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. • Dos números complejos son iguales si lo son cada una de sus partes. a + bi = c + di  a = c y b = d • Dos números son conjugados cuando tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. Se representa con una raya sobre la Z. Ej: z = a + bi z = a – bi • Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte real como la imaginaria. Ej: z = a + bi -z = -a –bi Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

4. Representación gráfica • Re. es la parte real y se representa en el eje de las X. • Im. es la parte imaginaria y se representa en el eje de las Y. • Z(a,b) es el punto del numero complejo. • r es igual al modulo de z(a,b). Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

5. Operaciones • Para sumar los números complejos se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias. Ej: Dados z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2iZ1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i • Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Ej: z1 - z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i • La multiplicación puede hacerse directamente observando que i2 = -1. Ej: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 • Para dividir expresiones complejas, se expresa el cociente en forma de fracción y se racionaliza el denominador de esta fracción, multiplicando ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador. Ej: Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

6. Pasar de polar a binomica • La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo. • Luego: • Por lo tanto: Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

7. Pasar de binomica a polar • Para pasar un número complejo z = a + bi a forma polar z = ra es suficiente con hallar el módulo |z| y el argumento a. • Llamaremos módulo del número complejo z, al número real dado por y lo denotaremos por |z|. • Llamaremos argumento a la tangente de la fraccion de b entre a. tag = Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

8. Multiplicacion y division • La multiplicación de dos números complejos en su forma polar da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.Ej: z x z = (r x r)a + a • La division es igual que la multiplicacion pero cambiando los simbolos de multiplicacion por el de division y el de sumar por el de restar. Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora

9. Potencias y raices • Las potencias daran como resultado el modulo elevado a la potencia y el argumento multiplicado por la potencia. • Las raices es igual al numero de raices que indica el radical. El argumento es igual a : argumento + 360 x (el radical – 1) y ÷ por el radical. Los Números Complejos Eduardo Chinea Mora