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LA CLASE VIRTUAL

LA CLASE VIRTUAL. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NUMEROS COMPLEJOS. La ecuación x 2 +1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales. log e (-2) no es un número real. Tampoco es un número real (-2) p. LOS NUMEROS COMPLEJOS.

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Presentation Transcript

  1. LA CLASE VIRTUAL LOS NÚMEROS COMPLEJOS

  2. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales. • loge(-2) no es un número real. • Tampoco es un número real (-2)p

  3. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Un número complejoa viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe a=Re(a) • El segundo se llama parte imaginaria, y se escribe b= Im(a)

  4. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto C=R2 de los números complejos y el conjunto E2 de puntos del plano, habiendo fijado un sistema de referencia cartesiano. • De modo que el complejo a=(a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b.

  5. LOS NUMEROS COMPLEJOS • El complejo (0,1) se representa mediante la letra i y es la unidad imaginaria. • Los números reales son los números complejos de la forma (a,0), donde a es el número real que se identifica con el complejo (a,0). Los números imaginarios son de la forma (a,b), con b distinto de cero.

  6. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Los números reales forman el conjunto R al que le corresponde el eje de abscisas. Los números imaginarios puros se corresponden con los puntos del eje de ordenadas. • El módulo del complejo a=(a,b) viene dado por y el argumento por el valor de q tal que . Nótese que si q es un argumento también lo es q+2kp

  7. LOS NUMEROS COMPLEJOS • El argumento se llama principal si • La representación módulo argumental del complejo a=(a,b) viene dada por rq • La identidad entre los complejos (a,b) y (c,d) equivale a: a=c y b=d • La identidad entre los complejos rq y sz equivale a: r=s y q=z+ 2kp

  8. LOS NUMEROS COMPLEJOS • El paso del par ordenado a la forma módulo argumental se logra del siguiente modo:

  9. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La aritmética compleja viene dada por: • Se demuestra fácilmente que: rqsz=(rs)q+z

  10. LOS NUMEROS COMPLEJOS • El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b) • El inverso de a=(a,b), distinto de cero (0,0), es • También se tiene que para rq distinto de cero

  11. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La forma binómica del complejo (a,b) se escribe a+ib, ya que • La forma trigonométrica del complejo rq viene dada por r(cosq+isinq), puesto que

  12. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La forma exponencial del complejo rq viene dada por rq= r eiq teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la exponencial compleja: eiq =cosq+ i sinq

  13. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0 tiene como soluciones imaginarias i y -i. • De otra parte: • Además, si n es un número natural se tiene: (Fórmula de De Moivre)

  14. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Las expresiones anteriores son válidas para n negativo. • Además: de donde basta definir para poder evaluar la expresión con m y n enteros, n positivo.

  15. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La expresión en realidad corresponde a n números complejos diferentes dados por • Los afijos de son los vértices de un polígono regular de n lados, centrado en el origen de coordenadas.

  16. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Se justifica lo anterior como sigue: • Para los demás valores de k se repiten las soluciones cíclicamente

  17. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La exponencial compleja se define muy fácilmente: Sea a=(a,b), entonces • Nótese que:

  18. LOS NUMEROS COMPLEJOS • El logaritmo de un número complejo en realidad son infinitos complejos. En concreto:

  19. LOS NUMEROS COMPLEJOS • La justificación de lo anterior es como sigue:

  20. LOS NUMEROS COMPLEJOS • Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, con • Nótese que: • Se define mlmediante

  21. LOS NUMEROS COMPLEJOS • EJEMPLOS: • 1) loge(-2) • 2) (-2)p

  22. LOS NUMEROS COMPLEJOS • EJEMPLOS: • En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales): • 3) ii

  23. LOS NUMEROS COMPLEJOS • EJEMPLOS: • En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales): • 4)Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo doble.

  24. LOS NUMEROS COMPLEJOS • EJEMPLOS: • Se tiene que

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