Introducción a la Sociomática El Estudio de los Sistemas Adaptables Complejos en el Entorno Socioeconómico. Dr. Gonzalo

1. Introducción a la SociomáticaEl Estudio de los Sistemas Adaptables Complejos en el Entorno Socioeconómico.Dr. Gonzalo Castañeda Capítulo 8 Modelos Computacionales de Redes

2. 8.0 Introducción • Los modelos computacionales de redes permiten describir una topología más flexible que la de CA y ABM móviles • En una red los agentes son nodos y los lazos son conexiones entre agentes (se combinan vínculos cercanos con lazos física y socialmente distantes) • La topología de la red ayuda a describir una gran gama de configuraciones de los elementos-relacionales (sistemas jerárquicos, cluster fragmentados, grupos cohesionados) • Redes en el mundo real: neuronas conectadas por axones; computadoras entrelazadas por líneas telefónicas; moléculas del cuerpo vinculadas por reacciones químicas; paginas de internet que se ligan entre sí; especies de un ecosistema, miembros de una comunidad con lazos sociales; empleados de una empresa conectados por un organigrama • Las redes ayudan a describir la topología de una gobernanza social, y la dinámica con que ésta cambia (i.e. la retícula del entorno no es inmutable)

3. Ejemplos de redes: • (a) Consejeros en australia (b) Comercio de productos • (c) Sistema judicial EU (e) Blogs en singapur

4. (e) Proteinas de la levadura • (f) Relaciones sexuales entre adolescentes

5. 8.1.- Las redes y la teoría de gráficas • En 1736 Leonhard Euler estableció las bases matemáticas de la teoría de gráficas (redes) • Los puentes de Könisberg: ¿es posible caminar por c/u de estos siete puentes sin tener que cruzar alguno de ellos más de una vez? • Euler visualizó a los puentes como lazos (o ligas) y a los pedazos de tierra como nodos ( o vértices)

6. Solución: El punto de partida y de llegada tiene que ubicarse en nodos con un número non de lazos; una travesía que cruza todos los puentes una vez debe tener sólo dos de estos nodos. • En este caso todos los nodos son nones → no hay solución; en 1875 se construyó un octavo puente entre B y C • Primeros avances se dieron en gráficas ordenadas, hasta los 50’s que aparecieron las redes aleatorias de Erdos y Rényi • Debido a que las redes son representaciones matemáticas de fenómenos muy diversos, se eligió la formación aleatoria de lazos como una primera aproximación • ¿Cómo establecer la red carretera de un país muy pobre con 50 pueblos? • Conectar a todos los pueblos entre sí requiere 1225 caminos (50 x 49/2), solución no factible con recursos fiscales escasos

7. Solución de Erdös y Rényi: Si se forma un camino entre dos pueblos al azar y este proceso se repite varias veces con el tiempo se forma un ‘componente gigante’. • Entre mayor sea el número de nodos menor es el porcentaje de lazos aleatorios para formar una red conectada • Una red con 300 nodos puede tener 50,000 lazos pero sólo se requieren el 2% de lazos; con 1,000 nodos sólo se requiere el 1% • La conectividad de la red es importante para entender diversos fenómenos: propagación de enfermedades, flujo de información, impacto ante fallas (e.g. red eléctrica) • Las redes naturales y sociales no están formadas por conexiones aleatorias (¿?)

8. *Parábola de los botones • S. Kauffman: Se toman al azar dos botones para amarrarlos, se repite el proceso varias veces con otras parejas pero permitiendo que un botón previamente elegido sea hilvanado de nueva cuenta • Cuando se rebasa el umbral de un lazo por nodo se da un cambio súbito, pasando de clusters pequeños a un cluster gigante. • (a) Formación de clusters (b) Fase de transición

9. * El Componente Gigante • Netlogo: Model Library → Sample Models → Networks → Giant Component • Se inicializa la corrida con un cierto número de nodos, conforme avanza se conectan parejas tomando nodos al azar • Antes de cruzar el umbral (un lazo en promedio por nodo) existen pequeños clusters (pantalla a), después aparece súbitamente el componente gigante (pantalla b). • Pantalla (a) Pantalla (b)

10. 8.2 El Fenómeno de Sincronización • El analizar la formación de redes a través de mecanismos aleatorios es limitativo para entender la auto-organización de agentes que se desenvuelven en un entorno de interacción local • Ejemplos de sincronización: células que marcan el latido del corazón, neuronas que disparan impulsos en el cerebro, individuos que aplauden en conciertos, chasquido de los grillos, menstruación colectiva, planetas que orbitan, brillo de las luciérnagas • Sincronización es un orden emergente de carácter temporal en el que eventos similares pasan al mismo tiempo y de manera persistente • No hay sincronización cuando vuelan palomas o cuando individuos tocan el claxón, o cuando coincide el andar de personas

11. Osciladores acoplados: entidades que se ciclan de manera automática repitiendo una y otra vez determinada acción en un intervalo de tiempo relativamente regular • Para que haya acoplamiento se requiere comunicación o mecanismos físicos o químicos con los cuales dos o más osciladores se influyen entre sí para actuar a una misma frecuencia • Ejemplos: luces, fuerza de gravedad, corriente eléctrica • Osciladores acoplados vivos (células, animales, individuos) o inanimados (planetas, electrones, péndulos, fotones)

12. * La relevancia de la interacción local en la sincronización • Los aplausos al final de un concierto empiezan siendo arrítmicos para luego realizarse en armonía • Un grupo empieza a aplaudir con ritmo, y éste contagia a individuos que están en una vecindad. • En conciertos la sincronía se combina con aplausos caóticos; el ritmo reduce la frecuencia de los aplausos y la sonoridad → sincronización se da a costa de la intensidad • La coordinación o sincronización suele ser consecuencia de acciones locales que, por alguna razón, contagian a otros y así se generalizan en la población • Este es el caso de movimientos sociales, en donde las acciones de unos cuantos puede terminar en el desmoronamiento del status quo

13. *Modelos de sincronización sin interacción local • Mirollo y Strogatz (1990) demostraron matemáticamente que la sincronización es posible para un conjunto de n osciladores idénticos que se encuentran conectados entre si • Conjunto de osciladores cuyo voltaje aumenta siguiendo la trayectoria de una curva cóncava; al llegar a un umbral se dispara un impulso de energía que se redistribuye en la red

14. Los que estaban cerca del umbral también se disparan con el impulso recibido, pero los que iniciaban en su ciclo se alejan con el impulso (no es evidente la sincronización pero se van formando cluster de osciladores) • Limitante del modelo: debido a la diversidad genética los osciladores no son idénticos; no hay interacción local, todos los nodos tienen la misma importancia • Diversidad: ¿Cómo sincronizar a un grupo de corredores muy compacto, algunos muy lentos y otros muy rápidos? • Los corredores de jogging se gritan para regular sus tiempos (conectividad) • La posibilidad de sincronización se incrementa entre más acentuada sea la homogeneidad de las frecuencias observadas. • Matemáticamente resulta muy difícil incorporar elementos de heterogeneidad e interacción local, necesidad de acudir a un modelo de cómputo

15. *Heterogeneidad entre los osciladores y sincronización

16. * Ejemplos de sincronización con interacción local • (a) En el mundo biológico: luciérnagas que centellean para atraer una pareja y aparearse • En un principio cada quién va con su propio timing pero con el tiempo va surgiendo la armonía • Común en el sureste-asiático y África • (b) En el mundo social: la ola mexicana, en donde grupos de individuos se levantan momentáneamente de la tribuna y alzan la mano dando la apariencia de una ola gigante que se desplaza en el sentido de las manecillas del reloj a lo largo de la tribuna • Aunque se inició en el fut americano de E.U. se generalizó al mundo en el mundial de 1986 • La probabilidad de que la ola se propague depende del número de individuos que la inicia y el umbral que requiere un individuo para ser activado y levantarse de su asiento.

17. * El centelleo rítmico de las luciérnagas • En Netlogo: Model Library → Sample Models → Biology → Fireflies • Agentes con un reloj virtual que indica a cada insecto centellear al inicio de su ciclo, cuando éste llega a su valor máximo el reloj se reposiciona en cero. • Ciclos de c/luciérnaga son idénticos, la diferencia esta en la definición aleatoria de su reloj a lo largo del ciclo • Cuando se llega a un determinado número de brillos en la vecindad (flashes-to-reset), el observador elige estrategia: • (a) avanzada: la luciérnaga centellea inmediatamente y se reposiciona en cero • (b) retrasada: se fija el reloj el número de periodos que dura el centelleo (flash-length) por lo que el ciclo se vincula con el último agente que lo influyó • No siempre se da la sincronización, y ésta no necesariamente se obtiene para toda la población

18. (1) estrategia avanzada (flashes-to-reset = 1, flash.lenght = 1) → no hay sincronización • (2) estrategia retrasada (flashes-to-reset = 1, flash.lenght = 1) → sincronización total en 950 periodos • (3) estrategia avanzada (flashes-to-reset = 2, flash.lenght = 1) → solo llegan a sincronizarse unas 910 luciérnagas de un total de 1500.

19. La Ola mexicana • Después de analizar 14 videos de olas en un estadio con 50,000 aficionados, Farkas y sus colegas encontraron que por lo general la ola se logra impulsar con 12 individuos • La ola se mueve a razón de 12 metros (o 20 asientos) por segundo y tiene una amplitud de entre 6 y 12 m. (15 asientos en promedio). • Para mayores detalles sobre la mecánica de formación de olas ver http://angel.elte.hu/wave/index.cgi?m=models

20. 8.3 Las redes de mundo pequeño • ¡¡El mundo es pequeño!! Es siempre una causa de asombro • Sara una humilde habitante de Cholula se encuentra a tres pasos del presidente de Eslovenia • Stanley Milgrom realizó el primer estudio formal de este tipo: dos individuos tomados al azar de cualquier parte del mundo se encuentran a seis grados de separación • El asombro se debe a que la gente interactúa en la cotidianidad con un núcleo reducido de personas, sin estar conscientes que nuestros conocidos y los de los amigos pueden pertenecer a clusters muy diferentes

21. * El experimento de Milgram (1967) • Antecedentes: el cuento ‘cadenas ‘ (1929) del escritor húngaro Karinthy • Se seleccionaron 296 personas de Boston y Omaha Nebraska, a quienes se les encomendó llegar una carta a un corredor de bolsa de Boston (sólo 217 iniciaron el experimento) • La carta no debía ser enviada directamente sino a una persona que fuera conocida personalmente y que pudiera estar mas ‘cerca’ del objetivo • En promedio la carta llegó en 5.5 pasos, aunque 64 no llegaron a su destino final • Deficiencias estadísticas: (a) 100 de Boston fueron reclutadas a través de un anuncio de periódico; (b) 100 de Nebraska a través de una lista de inversionistas; (c) 96 restantes de Nebraska al azar de una lista de direcciones postales (de éstas sólo 18 llegaron a su destino) • (d) En otro estudio entre individuos de Wichita, Kansas y la esposas de un estudiante del Harvard Divinity School, llegaron sólo 3 de 60 • (e) Los dos puntos del extremo de la cadena deberían haber sido elegidos aleatoriamente • (f) No se puede saber si las cartas llegaron por la ruta más corta • (g) Al desconocer la conectividad de la red no se sabe si existen individuos aislados (al ubicarse en islas la longitud calculada sería infinita) • En 2003 se reprodujo el ejercicio con e-mail, Se iniciaron 24,163 cadenas con gentes de 66 paises, los objetivos eran 18 personas de 13 paises. Llegaron a término 384. Longitud media de 4, pero con ajuste de entre 5-7

22. * En una topología de redes aleatorias • Existen mundos pequeños en las redes aleatorias de Erdös y Rényi • Si Juan tiene 50 conocidos, y éstos a su vez otros 50; en dos pasos se tienen 2500 personas, en tres pasos 125,000 (50 x 2500)…en seis a 15,625 millones (506); cifra muy por encima de los 6 mil millones de habitantes

23. ¿Un individuo de Tlacotalpan Ver. tiene la misma probabilidad de estar cerca de un vecino del pueblo que de un esquimal de la zona ártica? • En una gráfica aleatoria los lazos entre nodos no respetan la proximidad física o cercanía social de los agentes (los amigos de Juan son amigos entre si) • Si A tiene lazos fuertes con B y C, posiblemente existan lazos similares entre B y C (triadas) • Formación de redes tiene un alto componente histórico: estado actual de los vínculos sociales depende de la configuración de periodos previos

24. Un planteamiento extremo sería caracterizar a las redes sociales mediante gráficas ordenadas • Este es el caso de un CA unidimensional sin fronteras (anillo) con 24 nodos y tres vecinos en cada lado. • Existe un alto grado de aglutinamiento ya que cada nodo comparte 2/3 partes de los vecinos, pero no es un mundo pequeño puesto que se requieren 4 pasos para ir de un lado a otro del anillo • Para un mundo pequeño más real se requiere un balance entre una estructura ordenada y la existencia de trayectorias cortas

25. * Los lazos débiles de una red social • Watts y Stogatz (1998) crearon sus redes de mundo pequeño partiendo de una red ordenada y desconectando ciertos nodos para establecer tendidos aleatorios • ¿Cómo se interpretan estos tendidos aleatorios en términos sociológicos? • Mark Granovetter (1973) define la diferencia entre lazos fuertes (vínculos entre personas que interactúan cotidianamente) y lazos débiles (conexiones entre individuos sin relación estrecha) • Los lazos débiles permiten que un movimiento social se propague o que personas encuentren empleo; estos puentes sociales hacen que la información fluya y no sea redundante (networking)

26. Los lazos débiles o puentes sociales de una red • Los lazos débiles y fuertes se combinan para formar una red social • Los fuertes se suelen presentar en triángulos, cuando uno de ellos se rompe la conectividad queda inalterada • En cambio cuando los lazos débiles se rompen (líneas punteadas), se fracturan los puentes sociales, las distancias se hacen más largas y se fragmenta la sociedad • Los lazos débiles pueden ser interpretados como los puentes aleatorios que conectan a los distintos clusters • En la realidad estos puentes no se establecen de manera fortuita, los antecedentes sociales importan

27. * El modelo beta de Watts y Strogatz • Se parte de un anillo en el que todos los nodos tienen el mismo número de lazos • El objetivo es monitorear el grado de aglutinamiento y separación conforme se desconectan lazos y se hacen tendidos aleatorios • ¿Existe un punto intermedio en el que coexisten el mundo pequeño y la estructura de clusters? • Beta: probabilidad de que c/lazo sea desconectado y reposicionado aleatoriamente en otro nodo → b = 1 (red aleatoria), b = 0 (red ordenada) • Para valores cercanos a 0, la creación de puentes sociales tiene un impacto marginal en el grado de aglutinamiento pero se producen reducciones importantes en el grado de separación

28. * Topología del modelo beta • “Longitud promedio de la trayectoria” (L): número mínimo de lazos entre dos nodos, repitiendo el cálculo para todas las parejas posibles de nodos y obteniendo el promedio • “Aglutinamiento” (C): probabilidad de que dos nodos conectados a un tercero estén vinculados entre sí.

29. * Redes de mundos pequeños • Cuando se incrementa el valor de beta, el impacto sobre C es limitado (i.e. los puentes aleatorios no reducen en mucho los conocidos en común). • La creación de atajos sociales sí tiene un gran impacto en L, no sólo porque el nodo que mantiene el lazo desconectado establece un puente sino también porque dicho puente beneficia a los vecinos que lo rodean

30. * Simulación de un mundo pequeño en una red igualitaria • NetLogo : Model Library → Sample Models → Networks → Small World • Red en un anillo con radio 2, el observador elige el número de nodos. • Con 100 nodos, beta = 0.16 → L pasa de 12.7 a 4.4, mientras que C pasa de 4.5 a 2.6

31. * Evidencia empírica de mundos pequeños • ¿Existe evidencia que soporte los valores de L y C de una red de mundo pequeño? • Comunidad de actores (Internet Movie Database: http://www.imdb.com), existe un cluster gigante de 225,000 actores (datos 1898-2000), los actores vinculados en pocos pasos • Comunidad científica. Paul Erdös escribió 1500 artículos con 507 co-autores. Número de Erdös = pasos que separan a los autores del matemático húngaro (Samuelson es un Erdös 5) • ¿Son estas propiedades de carácter universal? • Evidencia con una red tecnológica (red eléctrica del occidente de E.U.) y otra de carácter biológico (302 neuronas del gusano C elegans) • Existe evidencia de un mundo pequeño: L similares a las de una red aleatoria equivalente y C que reflejan estructura de cluster

32. Red de colaboración de Erdos

33. * El Oráculo de Bacon • Kevin Bacon tiene una separación de 2.96 pasos(http://www.imdb.com/name/nm0000102/) • Existen otros 1000 actores con un número menor a pesar de haber tenido una carrera prolífica (60 películas, más de 1900 vínculos directos) • Número de Bacon de Salma Hayek es de 2 ya que participó en Four Rooms (1995) con Marisa Tomei quién a su vez actuó en Loverboy (2005) con Kevin Bacon.

34. * Evidencia empírica reciente • Trabajos con redes who-talks-to-whom • Leskovec y Horvitz utilizaron datos de conversación en Messanger con 240 millones de cuentas • Resultado: casi todas incluidas en componente gigante • Con muestra de 1000 calcularon longitud de trayectoria mínima: media (6.6), mediana (7) • Precaución: no necesariamente coincide con red de amistades

35. * Grados de separación en red del Messanger

36. * Búsqueda de primer-aliento (breadth-first search) • Método para calcular longitud de trayectoria más corta en una red con miles o cientos de miles de nodos • (i) Determinar a todos los amigos del nodo x que están a una distancia de 1. • (ii) Encontrar a todos los amigos que están a una distancia de 1 de los amigos de x, pero sin incluir a los amigos con los que x tiene vínculos directos, y declarar que éstos están a una distancia de 2. • (iii) Determinar a todos los amigos de los nodos que están a una distancia de 2 de x, pero sin incluir a aquellos que tienen vínculos directos con x o que están a una distancia de 1 de x, y declarar que éstos están a una distancia de 3 y así sucesivamente.

37. Organización de los nodos en función de las etapas de separación

38. 8.4. El problema de la búsqueda • No es lo mismo identificar la existencia de trayectorias cortas que encontrarlas • En el experimento de Milgram c/individuo recibe una carta, en la red de W & S se hace una búsqueda de amplio espectro y luego se calcula la trayectoria mínima • El tendido aleatorio de W & S no toma en cuenta la distancia social entre individuos. Existen barreras geográficas, religiosas, de status, profesionales • Las cartas dirigidas al corredor de bolsa de Boston seguían por lo general criterios geográficos o de ocupación • En cada etapa los individuos identifican cual es la mejor trayectoria sin preocuparse de lo que los demás destinatarios intermedios hagan con su envío

39. * Búsqueda descentralizada • Kleingber plantea un modelo en el que los tendidos aleatorios se hacen sobre una retícula • Sin embargo, los lazos débiles son menos factibles conforme mayor es la distancia • Uno de c/k nodos elegidos al azar presenta un tendido aleatorio • Prob de conectar v con w: d(v, w)–q • Si exponente de aglutinamiento (q > 0) probabilidad del lazo se reduce en función de la distancia • Para redes grandes q=2 produce búsqueda eficiente • Con regla cuadrática-inversa los tiempos de búsqueda son reducidos a pesar de sólo conocer a vecinos

40. Con q pequeña • Con q grande

41. Intuitivamente, la regla cuadrática inversa permite lazos aleatorios distribuidos uniformemente en las distintas escalas de resolución de la red • Con tendidos aleatorios en distintas escalas dos nodos elegidos al azar pueden ser encontrados en pocos pasos • En anillo entre circunferencia d y 2d existen ~ d2 nodos • Probabilidad de conectar a un nodo ~ d-2 • Probabilidad de que al menos un nodo conectado ~ d2 . d-2 = 1 • Probabilidad acumulada es independiente de d • Distancia a la que se encuentra un anillo no incide en la probabilidad de que exista lazo débil

42. * La búsqueda descentralizada en Netlogo • Modelo elaborado por Bakshy y Adamic • Red en una retícula bidimensional en forma de torus • Lazos con 4 vecinos y tendido aleatorio de acuerdo a la regla:Prob [lazo (v, w)] ~ 1/d(v,w)-r, • Se elige al azar un nodo-salida y nodo-objetivo • (i) En c/paso se verifica si el nodo alcanzado es el objetivo • (ii) Tomar lazo no utilizado con el tendido de mejor posicionamiento • (iii) Si todos visitados, tomar el mejor • Notar que r = 0 no es el valor óptimo, ¿Cuál es?

43. Red virtual: • Resultados • r = 7.3 → tiempo de búsqueda promedio = 25.37 • r = 1 → tiempo = 12.56 pasos

44. * Evidencia empírica de regla cuadrática-inversa • En redes reales nodos no están igualmente distribuidos en el espacio geográfico • Ejemplo: subscriptores de LiveJournal

45. Alternativa: ‘redes de amistad basadas en rango’ • Probabilidad de lazo débil ~ R(v,w)-1 • Rango = número de nodos que están más cerca de v de lo que esta w

46. Liben-Nowell probaron que con regla de rango-inversa se logra búsqueda eficiente • Con red uniforme se tiene que R(v, w) = d2 por lo que regla de rango es una generalización

47. Con 500,000 usuarios de sitio Livejournal se encontró que la probabilidad de que dos nodos conectados con un rango r ~ r-1 • Coeficiente de la ley de potencia para frecuencia de parejas de nodos con rango r entre -1.15 y -1.12 • Si se divide entre Costa Oeste y Este se encuentra mejor aproximación (-1.05)

48. 8.5. Las redes jerárquicas • W & S mostraron que los puentes sociales tienen un papel crítico en la arquitectura de la red • Pero la información que se distribuye no se genera de manera simétrica • Conectores: agentes cuyos vínculos con diversos grupos sociales les permiten propagar modas, tendencia, difundir gustos, innovaciones, prácticas empresariales • Las redes aleatorias de E & R, W & S son de tipo igualitario (igual número de lazos -grado- por nodo) → no es posible describir conectores • Si la web fuera una red aleatoria igualitaria la probabilidad de una página a la que se ligan 500 páginas sería de sólo 10-99. • Entonces ¿por qué existen amazon, google, yahoo? • Estudio de Barabási con la página de la Universidad de Notre Dame: 82% eran ligadas por tres o menos, 42 páginas tenían más de 1,000 ligas

49. * Redes jerárquicas versus redes igualitarias • (a) jerárquica centralizada (b) jerárquica descentralizada • (c) igualitaria aleatoria (W&S) (d) igualitaria distribuida

50. Estructura jerárquica descentralizada (hubs): rutas aéreas en los E.U. Un número reducido de aeropuertos tienen una cantidad enorme de llegadas y salidas (Atlanta, Dallas, Chicaho, N.Y.), demás aeropuertos con pocos vuelos • Otros hubs: artistas de cine (los conectores participan en películas de diversos géneros), ecosistemas, moléculas vinculadas entre sí • Además del grado de separación y el aglutinamiento, la jerarquía es una tercera propiedad • Puede haber mundos pequeños en redes igualitarias pero también en jerárquicas • Si el promedio es de seis pasos de separación, los conectores tienen dos o tres • W & S sobreestimaron la importancia del modelo beta en la descripción de la realidad