Oleh : Asep Ridwan

1. Teori Peluang Oleh :Asep Ridwan JurusanTeknikIndustri FT UNTIRTA

2. Dasar Teori Peluang • Ruang Sampel • Kejadian dan Operasinya • Menghitung Titik Sampel : – Permutasi – Kombinasi

3. Peluang (Probabilitas) • Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian. • Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1. Seperti terlihat pada gambar di bawah, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul. • Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat. • Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, atau dengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.

4. Peluang (Probabilitas)-(Lanjutan) • Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5 • Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6 • Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan. • Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah: (3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9.

5. Ruang sampel • Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S • Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

6. Kejadian Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

7. Operasi dengan kejadian • Definisi 1 : Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B. • Gambar diagram Venn • Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8} • A∩ B= {2,4}

8. Operasi dengan kejadian (Lanjutan) • Definisi 2 Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0 Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

9. Operasi dengan kejadian (Lanjutan) Definisi 3 Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A ∪ B ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B • Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A ={1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}

10. Operasi dengan kejadian (Lanjutan) Definisi 4 • Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunansemuaunsur S yang tidaktermasuk Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'. Contoh : Q menyatakankejadianbahwa • seorangkaryawan yang dipilihsecaraacakdari suatupabrikadalahseorangperokok. Nyatakan kejadiankomplemen Q ?

11. Menghitung Titik Sampel • Teorema 1 : Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara. • Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

12. Teorema 2 • Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara. • Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto.

13. Definisi 5 • Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. • Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

14. Teorema 3 • Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! • Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24

15. Teorema 4 • Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah nPr = n ! (n-r)! • Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S.

16. Teorema 5 • Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)! • Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?

17. Teorema 6 • Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,…, nk berjenis ke k adalah • Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?

18. Teorema 7 • Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah: Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n. • Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung tujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur ?

19. Teorema 8 • Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah • Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.

20. Teorema 8 • Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah • Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.

21. Referensi • Christine Suryadi, Probabilitas dan Statistika Dasar teori Peluang, Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung

22. Tugas • senin aja ya…