PRIMEROS PASOS HACIA LA DETERMINACIÓN DE DERIVADAS

1. PRIMEROS PASOS HACIA LA DETERMINACIÓN DE DERIVADAS 3º de Bachillerato Tecnológico Prof. María Cristina González Noble

2. Introducción • La llegada de la Geometría proporcionó un poderoso estímulo a la invención del cálculo diferencial puesto que , la representación gráfica de una función reveló muchas características importantes de la misma Prof. María Cristina González Noble

3. Pautas de crecimiento de una recta • Las rectas tienen un crecimiento constante, que se mide con su pendiente • Si la pendiente es grande , el crecimiento o decrecimiento es rápido • Si la pendiente es pequeña entonces crecen o decrecen lentamente • Cuando la pendiente es nula, la recta no crece ni decrece Prof. María Cristina González Noble

4. Pautas de crecimiento de una curva • El crecimiento de una curva es variable • Varía en cada punto de la misma • Para medir el crecimiento o decrecimiento de una curva, determinaremos la pendiente de la recta tangente a la misma, en cada punto de ella Prof. María Cristina González Noble

5. Tasa de variación media • Llamaremos tasa de variación media de una función f(x) , en el intervalo [ a , b ] al cociente resultante de dividir, variación de ordenadas sobre variación de abscisas Prof. María Cristina González Noble

6. Tasa de variación media (continuación) • Cuando se trabaja con una función f(x) a la que quiere determinársele la tasa de variación media en un intervalo, [a,b], procedemos a trazar la cuerda que va del punto de abscisa a, al punto de abscisa b • La pendiente de la cuerda anterior, se determina haciendo : variación de ordenadas , f(b) – f(a), dividido la variación de abscisas, (b-a) Prof. María Cristina González Noble

7. Tasa de variación instantánea • Cuando se estudia la tasa de variación media (T.V.M) en intervalos variables de la forma [a,b], en que a permanece fijo y b va tomando valores cada vez más próximos a a, se obtiene lo que ha de llamarse la tasa de variación instantánea • Se llama tasa de variación instantánea al límite de la T.V.M en el intervalo [a,b] cuando b tiende a a Prof. María Cristina González Noble

8. Qué significa esto • La T.V.M de una función en un intervalo la interpretábamos como la pendiente de la cuerda correspondiente. Prof. María Cristina González Noble

9. Qué significa esto • Al determinar la tasa de variación instantánea se considera que el extremo derecho del intervalo se va aproximando al izquierdo. Por consiguiente, las cuerdas correspondientes van tendiendo hacia la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=a. • La derivada de la función , en el punto de abscisa x=a, representada por f´(a), no es más que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa mencionado. Prof. María Cristina González Noble

10. Algunas aplicaciones de la razón de cambio • Velocidad promedio de un auto: supóngase que la distancia recorrida por un automóvil, que transita por un camino recto, t segundos después de partir del reposo, está dada por: f(t) = 2.t2 a) Calcúlese la velocidad promedio del auto en los períodos [22 , 23] , [22 , 22.1] , [22 , 22.01] Prof. María Cristina González Noble

11. Algunas aplicaciones de la razón de cambio b) Calcular la velocidad instantánea cuando t = 22 c) Comparar los resultados de las dos partes anteriores Prof. María Cristina González Noble