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Figures semblables et rapport de similitude

Figures semblables et rapport de similitude. Les figures semblables. ~. ~. Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes :. - mêmes formes;. - mêmes mesures d’angles homologues;. - rapports des côtés homologues proportionnels.

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Figures semblables et rapport de similitude

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  1. Figures semblables et rapport de similitude

  2. Les figures semblables ~ ~

  3. Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes : - mêmes formes; - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions. Les figures semblables sont créées par des similitudes, donc une (des) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures.

  4. 1 2 3 6 1 1 3 3 1 = ≠ 2 2 6 7 2 3 7 2 2 5 5 Voici quelques exemples : Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse. Non, elles n’ont pas la même forme. Oui, même forme, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels. Non, même forme, mêmes angles homologues congrus, mais côtés homologues non proportionnels. Oui, les figures isométriques sont des figures semblables avec K = 1.

  5. B’ B 4 8 C A 6 C’ A’ 12 m hauteur  A’B’C’ m A’C’ 12 8 K : = = = = m hauteur  ABC m A C 6 4 m A C K = 1 6 = = m A’C’ 2 12 noté K. est le rapport des segments homologues, Le rapport de similitude mesure d’un segment d’une des figures Il s’établit comme suit : mesure du segment homologue de l’autre figure Exemple : 2 ou 2 Remarque Tu pourrais aussi poser ce rapport : L’important est de conserver le même rapport tout au long du problème.

  6. 8 4 4 8 Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ? 12 2 12 cm 9 cm HAUTEUR RAYON = 9 x hauteur rayon 2 cm Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ? rapport des côtés : = 2 rapport des hauteurs : 2 rapport des apothèmes : 2 Le rapport de similitude (K) est le même pour tous les segments homologues. = 12 x = 18 x = 1,5 cm

  7. À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures en créant d’autres rapports : K : - le rapport de similitude - le rapport des périmètres ( Rp ) K2 : le rapport des aires ( Ra ) K3 : le rapport des volumes ( Rv ) Examinons ce qu’il en est.

  8. 6 6 3 Un carré de 3 unités de côtés. Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues. On l’appelle K. Ici, K = = 2

  9. 6 6 K = = 2 3 24 12 Un carré de 3 unités de côtés. Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 Qu’en est-il du rapport des périmètres ? Carré 2 : 4c = 4 X 6 = 24 Carré 1 : 4c = 4 X 3 = 12 Rapport des périmètres : = 2 Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.

  10. Un carré. Un carré. Si on double ses dimensions : K = 2. On obtient un nouveau carré dont l’aire est plus grande. 4 fois K2 = 4 Si on triple ses dimensions : K = 3. On obtient un nouveau carré dont l ’aire est plus grande. 9 fois K2 = 9 Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K². Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Le nombre k2 s’appelle le rapport des aires.

  11. Un cube. Si on double ses dimensions : K = 2. On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 8 fois K3 = 8

  12. Ainsi de suite… Un cube. Si on triple ses dimensions : K = 3. On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 27 fois K3 = 27 Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K3. Le nombre k s’appelle le rapport de similitude. Le nombre k3 s’appelle le rapport des volumes.

  13. A C C’ A’ 3 cm 6 cm B’ D’ 5 cm D B 10 cm 16 1 m A’B’ Périmètre A’B’C’D’ 3 1 = = = = Périmètre ABCD 32 2 6 2 m AB Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude. Exemple : Kp = K =

  14. C A A’ C’ 3 cm 6 cm B’ D’ 5 cm D B 10 cm 2 1 1 15 Aire A’B’C’D’ 1 = = 2 2 60 Aire ABCD 4 Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré. Raire = K2 Exemple : K = Ra = soit = K2

  15. Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube. Rv K3 = Prisme 2 Prisme 1 3 cm 2 cm 6 cm 4 cm 5 cm 10 cm 3 Volume du prisme 1 30 1 1 1 = = Volume du prisme 2 240 8 2 2 Rapport des volumes Exemple : soit K = Rv = = K3

  16. a c = b d Ces 4 rapports K : le rapport de similitude (Rp) K : le rapport des périmètres K2 : le rapport des aires (Ra) K3 : le rapport des volumes (Rv) permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.

  17. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L 10 20 m AC = = 17 34 m GI 30 X 17 10 30 x = x = 51 m GH : = 10 17 x 10 40 40 X 17 y = y = 68 = m IH : 10 y 17 14 X 17 10 14 z = z = 23,8 m LH : = 10 17 z Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. x y z K =

  18. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L m AC 10 20 = = 17 34 m GI Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100 100 X 17 100 10 Périmètre ABCD x = 170 : x = = Périmètre GHIK 10 x 17 Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. K = Le rapport des périmètres = le rapport de similitude.

  19. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L 10 17 2 100 10 102 420 = = 289 17 172 x Aire ABCD 100 420 X 289 1213,8 x ≈ : x = = 100 289 Aire GHIK Détermine l’aire du parallélogramme GHIK. Aire ABCD : L X l = 30 X 14 = 420 K = Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires. K2 =

  20. 9 4 4 K = 9 3 64 4 43 = = 9 93 729 64 Volume du petit 200 200 X 729 : x≈ x = 2278,1 cm3 = 64 Volume du grand 729 x Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm2, détermine le volume du gros cylindre. Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm3 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes. K3 =

  21. 2 Rapport des périmètres : 3 2 Périmètre du petit x : = Périmètre du grand 3 54 54 X 2 x = 36 cm x = 3 Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Prends le temps de poser le rapport correctement.

  22. 20 20 ÷ 5 4 2 4 4 Ra : = = = 45 45 ÷ 5 9 3 9 9 Petite hauteur 16 2 3 X 16 : = x = 2 Grande hauteur x 3 Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm2 et de 45 cm2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? L’information fournie est le rapport des aires. On demande la mesure d’un segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude (K). donc K : x = 24 cm

  23. 1600 ÷ 25 64 1600 = 3125 3125 ÷ 25 125 3 3 3 4 64 64 = = 5 125 125 2 42 4 16 = = Ra : K2 52 5 25 = Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3. Détermine le rapport de similitude et le rapport des aires. Rv : K =

  24. 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Aire totale : 126,72 cm2 88 126,72 Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. L X l X H = Volume du petit prisme : 6 X 2 X 4 = 48 cm3 Ra : Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

  25. 88 si Ra : 126,72 88 4 chiffres après la virgule pour de la précision. 88 9,3808 = ≈ 126,72 11,257 126,72 3 9,38083 9,3808 ≈ ≈ 825,5049 825,504 9 11,257 11,2573 1 426,487 6 1 426,487 6 48 cm3 Volume du petit prisme = = Volume du gros prisme x x ≈ 48 cm3 X 1 426,487 6 ≈ 825,5049 alors K : K3 ≈ K3 = 82,94 cm3

  26. 88 si Ra : alors K : ou 88 126,72 126,72 88 88 126,72 126,72 88 = = et K3 : 3 3 88 126,72 126,72 Volume du petit prisme 48 88 48 X 126,72 x = = : x Volume du grand prisme 126,72 3 3 1 1 3 3 3 3 88 2 2 2 2 2 2 2 2 Tu pourrais aussi procéder comme suit : Avec la calculatrice : 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) ≈ 82,94 cm3

  27. Echelle 1/2 Echelle 3/2 3 27 1 1 K = K3 = K = K3 = 2 8 2 8 Masse de la figure réduite 1 x x Masse de la figure agrandie 27 : = : = 8 160 8 Masse de la figure initiale Masse de la figure initiale 160 Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou. x = 20 mg x = 540 mg

  28. Echelle 1/2 Echelle 3/2 3 9 1 1 K = K2 = K = K2 = 2 4 2 4 1 Masse de la figure réduite x x Masse de la figure agrandie 9 : = : = Masse de la figure initiale 4 4 Masse de la figure initiale 4 4 Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou. x = 1 mg x = 9 mg

  29. Remarques 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin : - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures d’aires : K2 - pour trouver des mesures de volumes : K3 2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion. 3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène d’abord ces rapports au rapport de similitude.

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