Similitude et dissimilitude dans les systèmes d’information

1. Similitude et dissimilitude dans les systèmes d’information Philippe Balbiani Institut de recherche en informatique de Toulouse

2. Introduction Information : définie en termes d’objets et de propriétés Propriété : décrite en termes d’attributs et de valeurs d’attributs

3. Plan Systèmes d’information Relations dérivées des systèmes d’information Opérateurs dérivés des systèmes d’information Logiques dérivées des systèmes d’information

4. Systèmes d’information Ensemble des « objets  » : OB Ensemble des « attributs » : AT Ensemble des « valeurs de l’attribut a » : VALa f : (x,a)OBAT  f(x,a)VALa Système d’attributs : (OB,AT,(VALa)aAT,f)

5. Systèmes d’information S=(OB,AT) est : « total » ssi xOB aAT a(x)≠ « déterministe » ssi xOB aAT Card(a(x))≤1 xOB, AAT : x est « A-déterministe » ssi aA Card(a(x))≤1 D(A)={xOB : x est A-déterministe}

6. Systèmes d’information

7. Systèmes d’information

8. Systèmes d’information S=(OB,AT), AAT : S est « A-séparable » ssi aA u,vVALa ({xOB : ua(x)}=({yOB : va(y)} ssi u=v) S est « séparable » ssi S est AT-séparable

9. Systèmes d’information Ensemble des « objets  » : OB Ensemble des « propriétés » : PR f : xOB  f(x)PR Système de propriétés : S=(OB,PR,f)

10. Systèmes d’information

11. Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x ind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité forte » x fin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant forte » x bin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière forte »

12. Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x wind(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « indiscernabilité faible » x wfin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion avant faible » x wbin(A) y ssi aA a(x)a(y) : « inclusion arrière faible »

13. Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x icom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité forte » x sim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive forte » x nim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative forte »

14. Relations dérivées Relations de similitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x wicom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « incomplémentarité faible » x wsim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité positive faible » x wnim(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « similarité négative faible »

15. Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x div(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité forte » x rnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite forte » x lnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche forte »

16. Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x wdiv(A) y ssi aA a(x)=a(y) : « diversité faible » x wrnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative droite faible  » x wlnim(A) y ssi aA a(x)a(y) : « similarité négative gauche faible  »

17. Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x com(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité forte » x rort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite forte » x lort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : «  orthogonalité gauche forte »

18. Relations dérivées Relations de dissimilitude S=(OB,AT), x,yOB, AAT : x wcom(A) y ssi aA a(x)=-a(y) : « complémentarité faible » x wrort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : « orthogonalité droite faible » x wlort(A) y ssi aA a(x)-a(y) : «  orthogonalité gauche faible »

19. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB, AAT, Bool expression booléenne : x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))= x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠ x R(=,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))= x R(≠,,Bool)(A) y ssi aA Bool(a(x),a(y))≠

20. Relations dérivées S=(OB,AT), AAT, aAT : ind(A) est réflexive, symétrique et transitive fin(A) et bin(A) sont réflexives et transitives icom(A) est symétrique; si A≠ alors icom(A) est réflexive; icom(a) est co-3-transitive sim(A) et nim(A) sont faiblement réflexives et symétriques; si S est total alors sim(A) est réflexive

21. Relations dérivées S=(OB,AT), AAT, aAT : wind(A) est réflexive et symétrique; wind(a) est transitive wfin(A) et wbin(A) sont réflexives; wfin(a) et wbin(a) sont transitives wicom(A) est réflexive, symétrique et co-3-transitive wsim(A) est réflexive et symétrique wnim(A) est faiblement réflexive et symétrique

22. Relations dérivées S=(OB,AT), AAT, aAT : div(A) est symétrique; si A≠ alors div(A) est irréflexive; div(a) est co-transitive Si A≠ alors rnim(A) et lnim(A) sont irréflexives; rnim(a) et lnim(a) sont co-transitives com(A) est symétrique et 3-transitive; si A≠ alors com(A) est irréflexive rort(A) est symétrique; si A≠ alors rort(A) est irréflexive lort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

23. Relations dérivées S=(OB,AT), AAT, aAT : wdiv(A) est irréflexive, symétrique et co-transitive wrnim(A) et wlnim(A) sont irréflexives et co-transitives wcom(A) est irréflexive et symétrique; wcom(a) est 3-transitive wrort(A) est symétrique; si S est total alors wrort(A) est irréflexive wlort(A) est faiblement co-réflexive et symétrique

24. Relations dérivées S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} : R()=OBOB R(AB)=R(A)R(B) Si AB alors R(A)R(B)

25. Relations dérivées S=(OB,AT), A,BAT, Bool expression booléenne, R{R(=,,Bool), R(≠,,Bool)} : R()= R(AB)=R(A)R(B) Si AB alors R(A)R(B)

26. ind(a) : {x1, x2}, {x3, x4}, {x5, x6, x7} ind(b) : {x1, x3}, {x2, x4}, {x5}, {x6, x7} ind(a)ind(b) : {x1}, {x2}, {x3}, {x4}, {x5}, {x6, x7} ind(a)ind(b) : {x1, x2, x3, x4}, {x5, x6, x7} Relations dérivées

27. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB, A,BAT : cx,y={aAT : x div(a) y} cx,x= cx,y=cy,x x ind(A) y ssi cx,yA=

28. Relations dérivées

29. Relations dérivées ind(a) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6} ind(b) : {x1, x6}, {x2}, {x3, x4, x5} ind(c) : {x1}, {x2, x3, x4, x5, x6} ind(d) : {x1}, {x2, x3, x5}, {x4, x6} ind(e) : {x1, x6}, {x2, x4, x5}, {x3}

30. Relations dérivées

31. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB : x fin y ssi x fin(AT) y x bin y ssi x bin(AT) y x wfin y ssi x wfin(AT) y x wbin y ssi x wbin(AT) y x sim y ssi x sim(AT) y x nim y ssi x nim(AT) y x wsim y ssi x wsim(AT) y x wnim y ssi x wnim(AT) y

32. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB : x fin x Si x fin y et y fin z alors x fin z Si x sim y alors y sim y Si x sim y alors y sim x Si x sim y et y fin z alors x sim z x sim x ou x wfin y x sim y ou y wnim z ou x wfin z

33. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB : x wfin x Si x wfin y et y fin z alors x wfin z Si x fin y et y wfin z alors x wfin z Si x wsim y alors y wsim y Si x wsim y alors y wsim x Si x wsim y et y fin z alors x wsim z x wsim x ou x fin y x wsim y ou y wnim z ou x fin z

34. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB : x bin x Si x bin y et y bin z alors x bin z Si x nim y alors y nim y Si x nim y alors y nim x Si x nim y et y bin z alors x nim z x nim x ou x wbin y x nim y ou y wsim z ou x wbin z

35. Relations dérivées S=(OB,AT), x,yOB : x wbin x Si x wbin y et y bin z alors x wbin z Si x bin y et y wbin z alors x wbin z Si x wnim y alors y wnim y Si x wnim y alors y wnim x Si x wnim y et y bin z alors x wnim z x wnim x ou x bin y x wnim y ou y wsim z ou x bin z

36. Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,yOB : x fin y ssi f(x)f(y) x bin y ssi f(x)f(y) x sim y ssi f(x)-f(y) x nim y ssi f(x)-f(y)

37. Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,yOB : x fin x Si x fin y et y fin z alors x fin z Si x sim y alors y sim y Si x sim y alors y sim x Si x sim y et y fin z alors x sim z x sim x ou x fin y x sim y ou y nim z ou x fin z

38. Relations dérivées S=(OB,PR,f), x,yOB : x bin x Si x bin y et y bin z alors x bin z Si x nim y alors y nim y Si x nim y alors y nim x Si x nim y et y bin z alors x nim z x nim x ou x bin y x nim y ou y sim z ou x bin z

39. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), XOB, A,BAT : L(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)X} U(A)(X)={ind(A)(x) : xOB et ind(A)(x)-X} L(A)(X)=-U(A)(-X) U(A)(X)=-L(A)(-X) Si AB alors : ind(A)ind(B) L(A)(X)L(B)(X) U(A)(X)U(B)(X)

40. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X,YOB, AAT : L(A)(X)X XU(A)(X) L(A)(XY)=L(A)(X)L(A)(Y) U(A)(XY)=U(A)(X)U(A)(Y) L(A)(L(A)(X))=L(A)(X) U(A)(U(A)(X))=U(A)(X) L(A)(OB)=OB U(A)()=

41. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), XOB, A,BAT : L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X) U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X) L(AB)(X)L(A)(X)L(B)(X) U(AB)(X)U(A)(X)U(B)(X) Si X≠OB alors L()(X)=; L()(OB)=OB Si X≠ alors U()(X)=OB; U()()=

42. Opérateurs dérivés

43. Opérateurs dérivés A={Taille, Distance, Satellite}, X={Mercure, Vénus, Jupiter, Saturne, Pluton} : L(A)(X)={Jupiter, Saturne} U(A)(X)={Mercure, Vénus, Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Pluton}

44. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), XOB, A,BAT : Pos(A)(X)=L(A)(X) Neg(A)(X)=-U(A)(X) BL(A)(X)=X-L(A)(X) BU(A)(X)=-XU(A)(X) B(A)(X)=BL(A)(X)BU(A)(X) Si AB alors : BL(A)(X)BL(B)(X) BU(A)(X)BU(B)(X)

45. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), X,YOB, AAT : BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y) BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y) BL(A)(XY)BL(A)(X)BL(A)(Y) BU(A)(XY)BU(A)(X)BU(A)(Y) BL(A)()= BU(A)()=OB BL(A)(OB)=OB BU(A)(OB)=

46. Opérateurs dérivés S=(OB,AT), XOB, A,BAT : BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X) BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X) BL(AB)(X)BL(A)(X)BL(B)(X) BU(AB)(X)BU(A)(X)BU(B)(X) Si X≠OB alors BL()(X)=X; BL()(OB)= Si X≠ alors BU()(X)=-X; BU()()=

47. Logiques dérivées Logique SIM1 : Syntaxe : ::=P()[fin][bin][sim][nim] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P)OB M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat  … M, x sat [all] ssi yW M, y sat 

48. Logiques dérivées Logique SIM2 : Syntaxe : ::=P()[fin][bin][wfin][wbin][sim] [nim][wsim][wnim] Sémantique : M=((OB,AT),V) V(P)OB M, x sat [fin] ssi yW si x fin y alors M, y sat  …

49. Logiques dérivées Logique S4+5 : Syntaxe : ::=P()[ind][fin][bin] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P)OB M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat  …

50. Logiques dérivées Logique IL : Syntaxe : ::=P()[ind][fin][sim] Sémantique : M=((OB,PR,f),V) V(P)OB M, x sat [ind] ssi yW si x ind y alors M, y sat  …