S-SYSTEMS ETAPPROCHE HYBRIDE

1. S-SYSTEMS ETAPPROCHE HYBRIDE

2. PLAN • DEFINITION D’UN S-SYSTEM • RECHERCHE DES POINTS D’EQUILIBRE • STABILITE D’UN S-SYSTEM • DEFINITION D’UN XS-SYSTEM • REDUCTION DE LA COMPLEXITE D’UN MODELE • INTERROGATION ET LOGIQUE TEMPORELLE • BIBLIOGRAPHIE

3. 1. DEFINITION • Réaction chimique : loi d’action de masse loi d’action de masse • Équation : Lois de puissance

4. 1.DEFINITION Le S-système S(α,β,G,H) est le système dynamique défini sur l’ouvert Ω = (R+*)n par : OU

5. 1.DEFINITION • Les paramètres xn+1, . . . , xn+m sont appelés variables indépendantes, par opposition aux variables dépendantes qui sont les xi, pour i de 1 à n • Les coefficients αi et βi sont appelés taux cinétiques et les coefficients gij et hijordres cinétiques. • Xi = Vi+ - Vi- Production Dégradation

6. 1.DEFINITION Exemple: Tableau associé Diagramme d’interactions

7. 2.ETUDE D’EQUILIBRE D’UN S-SYSTEM • Afin d’étudier les points d’équilibre du système S(α,β,G,H) nous devons résoudre le système d’équations :

8. 2.ETUDE D’EQUILIBRE D’UN S-SYSTEM Exemple: Solution: X

9. 3.ETUDE DE STABILITE DU SYSTEME • X est un point d’équilibre asymptotiquement stable ssi G − H est signée semi-stable çad:

10. 3.S-approximation et recherche d’équilibres positifs • Idée: partant de X0 on construit une suite Xi qui converge vers un point d’équilibre X

11. EXEMPLE Système Points d’équilibre Courbes

12. L’ automate hybride H=(Z,V, ,I,F,Init, Inv, Flow, jump) • Z= Xi, pour i allant de 1 à n • V= ensemble des nœuds, = ensemble des transitions. I et F= état Initial et Final pour chaque Vi • Init=initialisation Inv= Domaine d’invariance • Flow= Dérivé jump= saut vers l’état suivant 4.XS-SYSTEM • Principe: Associer à notre S-System, un automate qui permet de donner une trace discrète du système . L’approche obtenu ainsi est dit hybride

13. 4.XS-SYSTEM • Une trace tr (S, t0, X (t0), s, tf ) = g(t0), g(t0 + s), . . . , g(t0 + j*s) est obtenu en fixant • - temps initial t0 • - des valeurs initiales pour X (t0) • - un pas s • un temps final tf = to + j * s, (j >= 0) • Exemple :

14. 5.REDUCTION D’UN MODELE • Problème: Le modèle proposé risque de devenir Complexe (nbre de nœuds très grand) • Solution: Réduire le nombre de nœuds • Méthode: -Bisimulation: Deux états sont équivalents s’ils Finissent par atteindre le même état -Collapsing: Garder les informations au niveau de l’état vaut mieux que construire d’autres états

15. 6.1 INTERROGATION D’UN MODELE • Principe : Utiliser un langage formel pour interroger notre modèle (CTL) • Concepts : • Prédicat = proposition que peut prendre 2 valeurs (vrai ou faux) • Quantificateur : -  X Δ: signifiant que Δ est vraie a la transition suivante -   G Δ : pour Δ est toujours vraie -   F Δ : pour Δ finit par devenir vraie, - …etc.

16. 6.2 TL : TEMPORAL LOGIC • Principe : Réaliser un langage d’interrogation de notre modèle proche du langage naturel • Instructions (query) : -Eventually -Always -Until -Release -Next Time - implies,…etc.

17. 6.2 TL : TEMPORAL LOGIC • Exemples : • Eventually(steady_state and Always[GTP < k]) • Eventually[(pLambdaCI < 0.25) and Always[(plambdaCI < 0.25) • implies Eventually[plambdaCI > 0.5]] and Always [(plambdaCI > 0.5) • implies Eventually[plambdaCI < 0.25]]].

18. BIBLIOGRAPHIE [1] L. Tournier. Étude et modélisation mathématique de réseaux de régulation génétique et métabolique, Thèse de Doctorat,INP Grenoble 2005 [2] E.O. Voit. Computational analysis of biochemical systems. Cambridge University Press, 2000. [3] M.Dam Temporal logic,automata and classical theories, sixth european school in logic . copenhagen 1994 [4] M. Antoniotti, A. Policriti, N. Ugel and B. Mishra. Model Building and Model Checking for Biochemical Processes. Cell biochemistry and biophysics, Humana press 2003, Vol. 38, 3 [5] M. Antoniottia , C. Piazzac;, A. Policritid , M. Simeonic , B. Mishraa, Taming the complexity of biochemical models through bisimulation and collapsing: theory and practice, Theoretical Computer Science 325 (2004) 45 – 67