1 / 70

BAB 4 VEKTOR

BAB 4 VEKTOR. Home. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain. Soal-Soal. PETA KONSEP. y. a. 45 O. o. x. Home.

bazyli
Download Presentation

BAB 4 VEKTOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 4 VEKTOR Home

  2. PerkalianSkalarDuaVektor ProyeksiOrtogonalsuatuVektorpadaVektor Lain Soal-Soal • PETA KONSEP y a 45O o x Home

  3. Dalamilmupengetahuankitaseringmenjumpaibesaranyang dapatdinyatakansuatubilangandisertaisatuan yang dinamakanbesaranskalar. Di sampingituadabesaran yang selaindinyatakandengansuatubilangandisertaisatuanjugamempuaiarah yang dinamakanVektor. Vektordigunakansebagaialat bantu untukmenunjukanbesardanarahsuatugaya. Home

  4. VEKTOR Vektordi R2 Vektordi R3 • PenulisanVektor • Vektor Basis • VektorSatuan OperasiAljabarpadaVektor ProyeksiOrtogonalVektorpadaVektor lain • Penjumlahan • Pengurangan • PerkalianVektor Sifat-sifatOperasiAljabarpadaVektor PerkalianSkalar 2 Vektor Home

  5. 1. PENGERTIAN VEKTOR DI R2 Vektordi R2adalahvektoryang terletakpadabidangdatar. Vektordi R2dapatdigambarkanpadabidangkartesius. Secarageometri, suatuvektordigambarkandengananakpanah yang mempunyaititikpangkaldantitikujung. Next Home

  6. Panjanganakpanahmenyatakanbesarvektor, sedangkanarahanakpanahadalaharahvektor. Vektorpadagambardisampingmerupakan vector denganpanjang 3 satuandanarahnya 30odarisumbu X positif. Back Next Home

  7. NOTASI VEKTOR Suatuvektordapatditulisdenganbeberapacara; Menggunakanhurufkecil yang dicetaktebal, misalnyaa, b ,c,….y, z Menggunakanhurufkecildengantandaanakpanahdiatasnya, misalnya a , b ,c,… Menggunakanhurufkecildengantandagarisdibawahnya, misalnyaa, b, c,… Back Next Home

  8. B. VEKTOR POSSISI Diberikansuatupersegipanjang OBCD yang terletakpadabidangcartesiusdengan OB = 8 Y C D X B O satuanpanjangdan BC = 6 satuanpanjangsepertigambardisamping. Koordinattitik B adalah (8,0) makavektorposisititik B terhadap O adalahb = ‹8,0›. Koordinattitik C adalah Back Next Home

  9. C(8,6) makavektorposisi C terhadap O adalahc = ‹8,6›. Koordinattitik D adalah D(0,6) sehinggavektorposisititik D terhadap O adalahd = ‹0,6›. Dari hasiltersebut, yang dimaksudvektorposisidarisuatutitikterhadap O adalahvektor yang titikpangkalnyaterletakpadapangkalkoordinat O(0,0) dantitikujungnyaadalahtitikitusendiri. Back Next Home

  10. Dari uraiandiatastampakbahwasuatuvektordi R2ditentukanolehkomponenmendatardankomponenvertikal. Komponenmendatarbernilaipositifjikaarahnyadarikirikekanandannegatifjikaarahnyadarikanankekiri. Selanjutnya, komponenvertikalbernilaipositifjikaarahvektordaribawahkeatasdannegatifjikaarahnyadariataskebawah Back Next Home

  11. C. PanjangatauBesarVektor Perhatikangambardisamping. DenganmenggunakanteoremaPhytagorasdapatditentukanpanjangataubesarvektor OC = √82+62 = √100 = 10 y C 6 X 8 O Back Next Home

  12. 2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR A. KesamaanDuaVektor Duavektordikatakansamaapabilakeduanyamempunyaibesardanarah yang sama. Misalnyadiberikanduavektoru = ‹u1 , u2› danv = ‹v1 , v2›. Vektoru = vjika u1 = v1dan u2 = v2 Back Next Home

  13. B. PenjumlahanVektor Misalkanvektorcadalahhasilpenjumlahanvektoradenganvektorb, ditulisc = a + b. a b Vektorcdinamakanresultandarivektoradanvektorb. Besarvektor c dapatditentukandenganaturansegitigadanaturanjajargenjang. Back Next Home

  14. 1). Aturansegitiga Diketahuiduabuahvektorsepertigambardiatas. Untuk b a c = a + b mendapatkanvektorc = a + b, vektorbdipindahkansedemikianrupa, sehinggatitikpangkalnyaberimpitdengantitikujungvektora. vektorc = a + badalahsuatuvektor yang pangkalnyamerupakantitikpangkalvektoradanujungnyamerupakantitikujungvektorb. Back Next Home

  15. 2). Aturanjajargenjang Cara lain untukmendapatkanvektorc = a + badalahdengan a c = a + b b memindahkanvektorbsedemikianrupasehinggatitikpangkalnyaberimpitdengantitikpangkalvektora. Vektorc = a + b yang kitacariadalahvektor yang titikpangkalnyadititikpangkalvektoradanbsertaberimpitdengan diagonal jajargenjang yang dibentukolehadanb. Back Next Home

  16. C. Vektornoldanlawansuatuvektor Vektornoladalahsuatuvektor yang panjangnyasamadengannoldanarahnyasembarang. Vektornoldinotasikandengan0 = ‹0, 0›.Lawansuatuvektoraadalahsuatuvektor yang apabila a -a dijumlahkandenganvektoramenghasilkanvektor0. Lawanvektoradapatditulis –a yaitusuatuvektor yang panjangnyasamadenganvektoratetapiarahnyaberlawanandenganvektora, sepertigambardisamping. Back Next Home

  17. D. Sifat-sifatPenjumlahan Jikaa, b, danc, adalahvektor-vektorsembarang, padaoperasipenjumlahanvektorberlakusifat-sifat Komutatifa + b = b + a Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) Terdapatunsuridentitas, yaituvektorosehinggaa + 0 = 0 + a = a Setiapvektormempunyaiinvers. Inversdariaadalah –asehinggaa +(-a)= -a + a = 0 Back Next Home

  18. E. PenguranganVektor Penguranganvektordapatdilakukandenganmenggunakanpengertianinversjumlahsuatuvektor. -b a a-b a b a – b = a + (-b) (a) (b) Misalkandiketahuivektoradanbpadagambar (a). Vektora – bdiperolehdengancaramenjumlahkanvektoradenganlawanvektorb, sepertigambar (b) Back Next Home

  19. CONTOH SOAL Tentukan AB, CD, dan EF padagambardisamping ! Penyelesaian ; Komponenmendatar 3 Komponenvertikal 2 Vektor AB = (3,2) Dengancara yang sama, B A C F E D diperolehvektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1) Back Next Home

  20. 3. PerkalianVektordenganSkalar A. PengertianPerkalianVektordengnSkalar Jikaaadalahsuatuvektordan k adalahbilangan real (skalar), perkalianantaravektoradenganskalar k ditulissebagai ka, yaitusuatuvektor yang panjangnyasamadengan |k| kali panjangvektoradenganarah ; Untuk k>0 maka kasearahdenganvektora. Untuk k<0 maka kaberlawananarahdenganvektora. Jikaa = (a1, a2) maka ka = (ka1, ka2) Back Next Home

  21. B. Sifat-sifatPerkalianVektordenganSkalar Misalkanvektoradanbadalahvektorsembarang, sedangkan k dan l adalahsembarangskalar. Perkalianvektordenganskalarmemenuhisifat-sifatberikut ; |ka|=|k||a| k(-a)=-ka ka = ak (kl)a = k (la) = a (kl) (k + l)a = ka + la K(a + b) = ka + kb Back Next Home

  22. CONTOH SOAL Diketahuisegitiga ABC dengan ruas0ruas garisberarah AC dan AB berturut-turutmewakilivektorcdanb. Ruasgaris PQ menghubungkantitik P dan Q, dengan P adalahtitiktengah AC dan Q adalahtitiktengh BC. Nyatakan QC dalambdanc. Penyelesaian ; Perhatika QC = ½ BC BC = AC – AB = c – b Dengandemikian QC = ½ (c – b) C P Q A B Back Next Home

  23. 4. PerkalianSkalarDuaVektor A. PengertianPerkalianSkalarDuaVektor Perkalianvektordenganvektordinamakanperkalianskalarduavektoratauperkaliantitikantaraduavektor (dot product). Misalkandiberikansembarangvektorbukannolyaituadanb. hasil kali darivektoradanbditulisa . b, didefinisikansebagaiberikut ; a . b = |a||b| cosθ Back Next Home

  24. Denganθsudutterkecil yang dibentukolehadanb. Hasil kali titikdarivektoradanbmerupakansuatuskalar. Jikaa = (a1 , a2) danb = (b1 , b2) makahasil kali titikdarivektoradanbadalah a . b = a1b1 + a2b2 Back Next Home

  25. B. sifat-sifatPerkalianSkalarDuaVektor Jikau, vdanwadalahvektor-vektorsembarangdan k suatuskalar , berlakusifat-sifatsebagaiberikut ; u . v = v . u u . (v + w) = u . v + u . w k (u . v) = (ku) . v = u .(kv) 0 . v = v . 0 = 0 u . u = |u|2 Back Next Home

  26. C. TeoremaOrtogonalitas Dari rumus dot product, diperolehteoremaortogonalitasyaituduavektorbukannoldikatakansalingtegaklurus (ortogonal) jikadanhanyajikaperkalianskalarkeduavektorituhasilnyasamadengan nol. Jadivektorudanvtegaklurusjikadanhanyajika ; u . v = 0 Back Next Home

  27. CONTOHSOAL Tentukannilai a agar vektoru =(8,a) danvektor v =(3,4) salingtegaklurus . Penyelesaian ; Duavektortegaklurusjikahasil kali titikkeduavektoritusamadengannol, sehinggau . v = 0 24 – 4a = 0 4a = 24 ↔ a = 6 Back Next Home

  28. 5. Vektor Basis di R2 Misalkanterdapatvektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1). Denganmemandangkomponen-komponenpadavektortersebuttampakbahwakeduavektoritusalingtegaklurusdanbesarkeduavektortersebutadalah |î| =|ĵ| = 1. setiapvektoru = (u1, u2) dapatdinyatakansecaratunggaloleh î dan ĵ, yaituu= (u1,u2)= u1(1,0)+ u2(0,1)= u1î + u2ĵ Back Next Home

  29. Dalamhalini, vektor î dan ĵ dinamakanvektor basis di R2 padaarahsumbu X positifdansumbu Y positif. Karena î dan ĵ mempunyaipanjangsatusatuan, vektor î dan ĵ berturut-turutdisbutvektorsatuanpadaarahsumbu X positifdansumbu Y positif. Back Next Home

  30. Sebagaicontoh, vektor yang mewakiliruasgarisberarah OP padagambardisampingdapatdinyatakansebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ y p x o 6. VektorSatuan Di R2 Dalamsubbabsebelumnyakitatelahmengenalvektor-vektor yang searahsumbu X positifdansumbu Y negatif, yaituvektorsatuan î dan ĵ. Back Next Home

  31. î = (1,0) ; ĵ = (0,1) Selanjutnya, kitajugadapatmenentukanvektorsatuan yang searahdenganvektora yang bukanvektor nol. Vektorsatuan yang searahdenganaadalahsuatuvektor yang besarnya 1 satuandanarahnyasearahdenganvektora. jika a =(x, y), vektorsatuandaria, ditulis â, adalahsebagaiberikut. â=a= 1 (x,y) |a| √x2 + y2 Back Next Home

  32. CONTOH SOAL Tentukanvektorsatuandarivektora = (-3,4) Penyelesaian ; Panjangvektoraadalah |a| = √(-3)2 + 42 = √25 = 5 Vektorsatuandariaadalah â = (-3/5 , 4/5) Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal inidapatkitatunjukkandengaancaraberikut ; |â| = √(-3/5)2 + (4/5)2 = 1 Back Home

  33. Jikavektorpadabidangdikatakanvektor d R2, vektorpadaruangdikatakanvektordi R3. 1. SistemKoordinatRuang Vektor-vektordalamruangdapatdigambarkandalamsistemkoordinatruang yang terdiridarisumbu X, sumbu Y dansumbu Z yang salingberpotongandititikpangkal O Next Home

  34. Sumbu X positif, sumbu Y positifdansumbu Z positifditetapkandengankaidahtangankanan. Ketigasumbuitumembentuktigabidangyaitusumbu X dengansumbu Y membentukbidang XY, sumbu X dengansumbu Z membentuksumbu XZ, sertasumbu Y dengansumbu Z membentuksumbu YZ. Back Next Home

  35. 2. PenulisanVektordi R3 z Perhatiikangambardisamping. Koordinattitik A(3,0,0) vektorposisinyaterhadaptitik O adalaha = OA = (3,0,0).dengancara yang samadiperoleh H G 2 4 D y O E F C 3 A B x b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG = (0,4,2). Back Next Home

  36. 3. Vektor Basis Di R3 Vektor basis padasumbu X dinyatakandengan î, vektor basis padasumbu Y dinyatakandengan ĵ, danvektor basis padasumbu Z dinyatakandengan k. dengandemikian, setiapvektorpadaruangdapatdinyatakandalambentukv = v1î +v2ĵ +v3k dengan v1, v2, v3adalahkomponenvektordarivektorv. Back Next Home

  37. z Padagambadisamping, vektor yang mewakiligarisberarah OF dapatdinyatakan OF = (3, 4, 2) Atau OF = 3î + 4ĵ + 2k H G 2 4 D y O E F C 3 A B x 4. OperasiAljabarpadaVektordi R3 A. KesamaanVektor Jikaa = bmaka a1 = b1, a2 = b2dan a3 = b3 Back Next Home

  38. B. PenjumlahanVektor a + b = (a1 , a2 , a3) + (b1 , b2 ,b3) = (a1+b1 , a2+b2 , a3+b3) Padapenjumlahanterdapat ; Unsuridentitas, yaituvektorO = (0,0,0) Lawandarivektor a adalah –a = (-a1, -a2, -a3) C. PenguranganVektor a – b = (a1, a2, a3) – (b1, b2, b3) = (a1-b1, a2-b2, a3-b3) Back Next Home

  39. D. PerkalianVektordenganSkalar Jikac = kamakac = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3) 5. PembagianRuasGaris A. PengertianPerbandinganRuasGaris Misalkantitik T terletakpadaruasgaris AB sehinggamembagiruasgaristersebutdenganperbandingan AT : TB = m : n. Back Next Home

  40. Tandapositifataunegatif m dan n menentukanletaktitik T padaruasgaris AB denganpedoman ; • Jika m dan n bertandasama (keduanyabertandapositifataunegatif) makatitik T terletakdiantaratitik A dan B (titik T membagiruasgaris AB). • Jika m dan n berlawanantanda (m positifdan n negatifatausebaliknya) makatitik T terletakdiluargaris AB. Back Next Home

  41. 5 7 4 1 -2 -2 B A B T T A A T B (c) (a) (b) • Padagambardiatas, titik T membagiruasgaris AB denganperbandingansebagaiberikut ; • Padagambar (a), titik T membagiruasgaris AB didalam, denganperbandingan AT : TB = 1 : 4 • Padagambar (b), titik T membagiruasgaris AB diluar, denganperbandingan AT : TB = 5 : -2 Back Next Home

  42. 3. Padagambar (c), titik T membagiruasgaris AB di luar, denganperbandingan AT : TB = -2 : 7 B. RumusPembagianRuasGarisdalamBentukVektor Misalkanruasgaris AB terletakpadabidangsehinggavektorposisititik A dan B berturut-turutadalahadanb. Titik T terletakpadaruasgaris AB denganperbandingan AT : TB = m : n. Back Next Home

  43. A Jika t adalahvektorposisititik T, vektortdapatditentukandenganrumusberikut ; m T n B a t b O t =na + mb , m + n ≠ 0 n + m Rumusinijugaberlakuapabilatitik T membagiruasgaris AB diluarsehingga m dan n berlawanantanda. Back Next Home

  44. C. PembagianRuasGarisdalamBentukKoordinat Misalkantitik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB). Titik T (xT, yT, zT) membagiruasgaris AB, denganperbandingan AT : TB = m : n. Koordinattitik T dapatditentukandenganrumusberikut ; Back Next Home

  45. 6. PanjangVektordalamRuang z Misalkanvektoraterletakdidalamruangsehinggaa = a1î + a2ĵ + a3k tampakpadagambardisamping. a3 a y a2 a1 x Panjangvektoradapatditentukandenganrumus ; |a| = √a12 + a22 + a32 Back Next Home

  46. 7. JarakAntaraDuaTitikdi R3 Misalkantitik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB). AB = b – a = (xA, yA, zA)- (xB, yB, zB) = (xA- xB, yA- yB, zA- zB) Dengandemikian , panjangvektor AB adalah ; |AB|=√(xA- xB)2 + (yA- yB)2 + (zA- zB)2 Back Next Home

  47. 8. VektorSatuandi R3 Vektorsatuandarisembarangvektora yang bukanvektornoldi R3, yaituvektor yang searahdenganvektordanabesarnya 1 satuan. Jikavektora=(x,y,z), vektorsatuandari a dapatditentukandenganrumus ; â =a= 1 (x,y,z) |a| √x2 + y2 + z2 Back Next Home

  48. CONTOH SOAL TentukanvektorSatuana = (-2, 6, -3) Penyelesaian ; |a| =√(-2)2 + 62 + (-3)2 = 7 â = 1/7 (-2,6,-3) = (-2/7 , 6/7 , -3/7) Back Home

  49. 1. PengertianPerkalianSkalarDuaVektor Misalkandiberikansembarangvektorbukannolyaituadanb. hasil kali titikvektoradanb, ditulisa . bdidefinisikansebaaiberikut ; a . b = |a||b| cosθ Jikaa =(a1, a2, a3) danb=(b1, b2, b3) makahasil kali titikvektoradanbadalaha . b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Next Home

  50. 2. Sifat-sifatPerkalianSkalarDuaVektor Jikaa, bdancadalahsembarangvektordalamruang, sedangkan k adalahsembarangbilangan real, berlakusifat-sifat ; Komutatif, a . b = b . a Distributifterhadappenjumlahandanpengurangan, a . (b + c) = a . b + a . c a . (b – c) = a . b – a . c k(a . b) = ka . b = a . kb a . a = |a|2 ≥ 0 Back Next Home

More Related