BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

1. BAB VI RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

2. 6.1 RUANG BERDIMENSI n EUCLIDEAN Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka tupel n berurutan (ordered n tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan ril (a1, a2, . . . , an). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n(n-space) dan dinyatakan sebagai Rn. z z Tripel berurutan (a1, a2, a3) dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau suatu vektor (a1, a2, a3) (a1, a2, a3)  y y x x

3. Definisi Dua vektor u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn disebut sama (equal) jika u1 = v1, u2 = v2, … , un = vn Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai u + v = (u1 + v1, u2 + v2, … , un + vn) Jika k adalah suatu skalar, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku didefinisikan sebagai ku = (ku1, ku2, . . . , kun)

4. 6.1.1 Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n Teorema Jika u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn), dan w = (w1, w2, . . . , wn) adalah vektor-vektor pada Rn serta k dan l adalah skalar, maka a) u + v = v + u b) u + (v + w) = (u + v) + w c) u + 0 = 0 + u d) u + (–u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k( u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu 1u = u

5. Definisi Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) adalah vektor-vektor sembarang, maka hasil kali dalam Euclidean (Euclidean Inner Product) u . v didefinisikan sebagai, u . v = u1v1 + u2v2+ … + unvn Contoh 6.1 Hasil kali dalam Euclidean dari vektor-vektor u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) pada R4 adalah u . v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

6. Sifat-sifat Hasil Kali Dalam Euclidean Teorema Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) u . v = v . u b) (u + v) . w = uw + vw c) (ku) . v = k(u . v) d) v.v 0

7. 6.1.2 Norma dan Jarak pada Ruang Berdimensi n Euclidean Jika u = (u1, u2, . . . , un), maka norma vektor u (ditulis dengan lambang ||u|| pada Rn adalah Jarak Euclidean (Euclidean Distance) antara titik u = (u1, u2, . . . , un) dan titik v = (v1, v2, . . . , vn) pada Rn didefinisikan sebagai,

8. Contoh 6.2 Jika u = (1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2), maka pada R4

9. Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz pada Rn Teorema Jika u = (u1, u2, . . . , un) dan v = (v1, v2, . . . , vn) adalah vektor-vektor pada Rn, maka: |u . v|  ||u|| ||v|| Dalam bentuk komponen dapat ditulis menjadi |u1v1 + u2v2+ … + unvn|  (u12 + u22+ u32)1/2(v12 + v22+ v32)1/2

10. Sifat-sifat Panjang pada Rn Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) ||u||  0 b) ||u|| = 0 jika dan hanya jika u = 0 c) ||ku|| = |k| ||u|| ||u + v||  ||u|| + ||v|| (ketidaksamaan segitiga)

11. Sifat-sifat Jarak pada Rn Teorema Jika u , v dan w adalah vektor-vektor pada Rn dan k adalah suatu skalar, maka: a) d(u, v)  0 b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v c) d(u, v) =d(v, u) =||ku|| = |k| ||u|| d(u, v) d(u, w) + d(w, v) (ketidaksamaan segitiga) Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka: u . v = 1/4 || u + v ||2 – 1/4 ||u – v||2

12. 6.1.2 Ortogonalitas (ketegaklurusan) Definisi Dua vektor u dan v pada Rndisebut ortogonal jika u . v = 0 Contoh 6.3 Jika u = (-2, 3, 1, 4) dan v = (1, 2, 0, -1), maka ruang Euclidean R4 adalah ortogonal karena u . v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0 Teorema Jika u dan v adalah vektor-vektor ortogonal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka || u + v ||2 = ||u||2 + ||v||2(teorema Phytagoras)

13. Rumus matriks untuk hasil kali titik Jika u dan v dinyatakan dalam notasi matriks kolom berikut, Sehingga, u . v = vTu = u1v1 + u2v2+ … + unvn

14. Contoh 6.4 = (5)(–1) + (–4)(3) + (7)(5) + (0)(7) = 18

15. Jika A adalah matriks n x n maka berlaku, Au . v = vT (Au) = (vTA) u = (AT v)T u = u . AT v u . Av = (Av)Tu = (vT AT) u = vT(AT u) = AT u . v Contoh 6.5 Diketahui Buktikan bahwa Au . v = u . AT v Bukti

16. Au . v = (7)(–2) + (10)(0) + (5)(5) = 11 u . ATv = (–1)(–7) + (2)(4) + (4)(–1) = 11 Terbukti Au . v = u . ATv

17. Tampilan Hasil Kali Titik dari Perkalian Matriks Misal A = [aij] adalah matriks m x n B= [bij] adalah matriks r xn Maka elemen ke ij dari AB adalah: ai1b1j +ai2 b2j + … + airbrj yang merupakan hasil kali titik dari vektor baris ke I dari A [ai1 ai2 … air] dan vektor kolom ke j dari B ai1 ai2 ⋮ air

18. Jika vektor-vektor baris A adalah r1,r2,… ,rn dan vektor-vektor kolom B adalah c1,c2,… ,cn , maka matriks hasil kali AB dinyatakan sebagai, Secara khusus, suatu sistem linier Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali titik sebagai,

19. Contoh 6.6 Sistem persamaan linier, 3x1 – 4x2 + x3 = 1 2x1– 7x2– 4x3= 5 x1 + 5x2– 8x3= 0 Dapat ditulis dalam bentuk hasil kali titik, (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 1 (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) = 5 (3, –4, 1) . (x1, x2, x3) 0

20. Latihan Diketahui u = (4, 7, –3, 2) dan v = (5, –2, 8, 1) Tentukan vektor x yang memenuhi persamaan: 5x – 2u = 2(w – 5x). 2. Misal u1= (–1, 3, 2, 0), u2 = (2, 0, 4, –1) u3 = (7, 1, 1, 4), u4 = (6, 3, 1, 2) Tentukan skalar c1, c2, c3, dan c4 sedemikian rupa, sehingga c1u1 + c2u2 + c3u3 + c4u4 =(0, 5, 6, –3) 3. Misalkan v = (–2, 3, 0, 6). Tentukan semua skalar k, sedemikian rupa, sehingga ||kv|| = 5 4. Berapakah nilai k agar u dan v ortogonal? a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k) b) u= (k, k, 1), v= (k, 5, 6)