1 / 35

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

mort
Download Presentation

BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

  2. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek pada V disebut vektor. Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka v + u berada pada V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w

  3. Di dalam V trdapat suatu objek 0, yang disebut vektor 0 untuk V, sedemikian rupa, sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V. Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehingga u + (–u ) = –u + u = 0 Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah objek sembarang pada V, maka ku terdapat pada V. 7. k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)(u) 10. 1u = u

  4. Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Penyelesaian Aksioma 1 u + v adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 1).

  5. Aksioma 2 u + v = v + u adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 2). Aksioma 3 u + (v + w) = (u + v) + w adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 3).

  6. Aksioma 4 u + 0 = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 4). Aksioma 5

  7. u + (–u) = (–u ) + u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 5). Aksioma 6 ku merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 6).

  8. Aksioma 7 k(u+v) = ku + kv dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 7).

  9. Aksioma 8 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 8). Aksioma 9 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 9).

  10. Aksioma 10 1u = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 10).

  11. 7.2 Sub-ruang vektor Jika W adalah semua himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V , maka W adalah suatu sub-ruang dari V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W , maka u + v berada pada W. 2. Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah vektor sembarang pada W, maka ku berada pada W.

  12. Contoh 7.2 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa W memenuhi dua syarat sub–ruang vektor , yaitu : 1. W = {x,0} untuk sembarang nilai x, x ∈ R Misalkan a = (x1, 0) dan b = (x2, 0) dengan x1, x2 ∈ R, maka a, b ∈ W a + b = (x1 + x2, 0 ) dengan x1 + x2 ∈ R. Jadi a + b ∈ R Syarat ke–1 terpenuhi.

  13. Untuk skalar k , maka k a = ( kx1, 0 ) dengan kx1 ∈ R, jadi k a ∈ R Jadi syarat ke–2 terpenuhi Karena kedua syarat terpenuhi, maka W merupakan sub–ruang R2

  14. Merentang (Spanning) Misal v1, v2, …, vr, adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V. Himpunan {v1, v2, …, vr} dikatakan merentang V jika setiap vektor sembarang pada V merupakan kombinasi linier dari v1, v2, …, vr . Ditulis Span {v1, v2, …, vr} = V Contoh 7.3 Periksa, apakah himpunan V = {(1, 2), (1, 3)} merentang ruang vektor R2 Penyelesaian Ambil sembarang vektor b = (b1, b2) pada R2 Syarat agar V merentang ruang vektor R2 adalah k1 v1 + k2 v2 = b

  15. k1 (1, 2) + k2 (1, 3) = (b1, b2) k1 + k2 = b1 2k1 + 3k2 = b2 Karena det(A)  0, maka(1, 2) dan (1, 3) merenrang R2.

  16. Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor berikut merentang R3 a) (2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1) b) (2, –1, 3), (4, 1, 2), (8, –1, 8)

  17. 7.3 Kebebasan Linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor, k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0 Jika solusi tersebut merupakan satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linearly independent) Jika terdapat solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebeas linier (linearly dependent)

  18. Contoh 7.3 Tentukan apakah vektor-vektor: v1 = (2, –1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, –1), v3 = (7, –1, 5, 8), membentuk suatu himpunan bebas linier atau tak-bebas linier Penyelesaian k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1 (2, –1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, –1) + k3 (7, –1, 5, 8) = (0, 0, 0) 2k1 + k2 + 7k3 = 0 – k1 + 2k2 – k3 = 0 0k1 + 5k2 + 5k3 = 0 3k1 – k2 + 8k3 = 0

  19. ½ R1 R2 + R1 R4 – 3R1 2/5 R2 R3 – 2R2 R4 + R2

  20. k1 + 1/2k2 + 7/2 k3 = 0 k2 + k3 = 0 Tentukan k3 = –t Didapat k2 = t , k1 = 3t Jika t = 1, maka k3 = –1, k2 = 1 , k1 = 3 Sehingga memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0 Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tidak bebas linier, karena memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0

  21. Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor pada R3 berikut bebas linier atau tak bebas linier! a) (4, –1, 2), (–4, 10, 2) b) (–3, 0, 4), (5, –1, 2), ( 1, 1, 3)

  22. Interpretasi Geometrik dari kebebasan Linier Kebebasan linier mempunyai sejumlah interpretasi geometrik yang berguna pada R2 dan R3, yaitu: Pada R2 atau R3, suatu himpuan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tdk terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v2 v2 v2 v1 v1 y y y v1 Tidak bebas linier Bebas linier Tidak bebas linier x x x

  23. 2. Pada R3, suatu himpuan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tidak terletak pada bidang yg sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v3 v3 v3 v2 v2 v2 y y y v1 v1 v1 x x x Bebas linier Tidak bebas linier Tidak bebas linier

  24. Kebebasan Linier dari Fungsi Jika terdapat f1 = f1 (x), f2 = f2 (x), …, fn = fn (x), maka determinan dari, disebut sebagai Wroskians dari f1, f2, …, fn. Jika Wronskians dari f1, f2, …, fntidak identik dengan nol, maka fungsi-fungsi f1, f2, …, fn membentuk suatu himpunan bebas linier pada ruang vektor C(n-1) (–, ).

  25. Contoh 7.4 Apakah fungsi f1 = x dan fungsi f2 = sin x membentuk suatu himpunan bebas linier vektor-vektor pada C1 (–, )? Penyelesaian Karena x cos x – sin x tidak identik dengan 0, maka f1 dan f2 membentuk suatu himpunan bebas linier. Catatan Jika Wronskian identik dengan nol, maka kita tidak dapat menyimpulkan bahwa f1, f2, …, fnadalah himpunan vektor-vektor yang bebas linier atau tidak bebas linier.

  26. Latihan Tentukan apakah himpunan vektor-vektor berikut bebas linier atau tidak bebas linier. f1 = 2 – x + 4x2, f2 = 3 + 6x + 2x2, f3 = 2 + 10x – 4x2 pada C2(–, )?

  27. 7.4 Basis dan Dimensi Basis Jika V adalah suatu ruang vektor sembarang dan S ={v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vektor-vektor, maka S disebut basis untuk V jika: Bebas linier S merentang V Dimensi Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(V) didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis. Selain itu ruang vektor nol didefinisikan sebagai berdimensi nol.

  28. Contoh 7.5 Apakah V={(2,1), (3, 0)} merupakan basis dari R2 ? Penyelesaian: Uji bebas linier k1 (2, 1) + k2 (3, 0) = 0 2k1 + 3k2 = 0 k1 + 0k2 = 0 Didapat k1 = 0 , k2 = 0  V merupakan himpunan bebas linier. Uji merentang Karena det(A)  0, maka ={(2,1), (3, 0) merentang ruang vektor R2

  29. k1 (2, 1) + k2 (3, 0) = (a, b) 2k1 + 3k2 = a k1 + 0k2 = b k1 = b , k2 = 1/3 a – 2/3 b Karena V bebas linier dan merentang R2, maka himpunan V={(2,1), (3, 0)} merupakan basis untuk R2 dengan dimensi = 2. Cara lain k1 (2, 1) + k2 (3, 0) = (a, b) 2k1 + 3k2 = a k1 + 0k2 = b k1 = b , k2 = 1/3 a – 2/3 b Basis : (0, 1/3), (1, –2/3) Dimensi = 2

  30. Contoh 7.6 Tentukan basis dan dimensi dari ruang solusi sistem homogen: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 –x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 Penyelesaian R1 +R2

  31. R2 +R1 1/3R2 R3 – R1

  32. –1/3R3 R3 – R2 R3 – R2

  33. 1/3R4 R4 – R3 x4 = 0 x3 – 2x4 + x5 = 0  x3 + x5 = 0  x3 = –x5 x1 + x2 + x3 – 3x4 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x3 + 2x5 = 0  x1 + x2 – x5 + 2x5 = 0  x1 + x2 + x5 = 0  x1 + x2 = – x5

  34. Jika ditentukan nilai x5 = t, maka x3 = –t Jika ditentukan nilai x2 = s, maka x1 = –s –t Basis : (–1, 1, 0, 0, 0), (–1, 0, –1, 0, 1) Dimensi = 2

  35. Latihan Apakah himpunan vektor berikut merupakan basis untuk R2? a) (4, 1), (–7, –8) b) (3, 9), (–4, –12) 2. Tentukan dimensi dan basis untuk ruang solusi dari sistem berikut! x1 + x2 – x3 = 0 –2x1 – x2 + 2x3 = 0 – x1 + x3 = 0

More Related