MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA

1. MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA • Objetivos: • Conhecer os métodos de integração direta para análise dinâmica com elementos finitos Métodos de integração direta

2. Introdução Método de solução por efetividade numérica explícito: dif. central implícito: Houbolt, … • integração direta • sobreposição modal M: matriz de massa C: matriz de amortecimento K: matriz de rigidez R: vetor de cargas externas vetores deslocamento, velocidade e aceleração da montagem de EF • Supostos • Satisfazer a eq. (1) em intervalos discretos de tempo Dt. • A forma de variação de desloc., vel. e acel. em cada Dt determina a exatidão, estabilidade e custo da solução • Solução requerida do tempo 0 ao T • A amplitude do tempo T é dividida em n intervalos iguais t=T/n : forças de inércia : forças de amortecimento : forças elásticas A eq. (1) representa um sistema de equações diferenciais lineares de 2da ordem Equações de equilíbrio (estático no tempo t) da resposta dinâmica linear de um sistema de EF. (1) Na integraçao direta a eq. (1) é integrada usando um procedimento numérico paso a paso, e previa à integração, nenhuma transformação da eq. é feita Na análise estática os efeitos de inércia e amortecimento são desprezados, exceção feita na análise não linear. Métodos de integração direta

3. Método de diferença central (método explícito) Dados usar a eq. (1) para (2*) Resolve a eq.(1) diretamente em passos do tempo. (3*) t+DtU é obtido com a eq. (1) no tempo t • Assume tU, t-DtU,… conhecidos • Calcula t+DtU • No método explícito,usa-se a eq (1) em t para calcular t+DtU (condicionalmente estável) • No método implícito,usa-se a eq (1) em t+Dt para obter t+DtU (estável) (4*) O calculo de t+DtU precisaDtU et-DtU. Cancelando DtU de (1*) e (2*) para t=0: O método requer um Dt pequeno. (1*) Métodos de integração direta

4. Método de diferença central (método explícito) Na prática o método é usado quando: M= matriz massa concentrada (lumped), C=0 Sabemos que o modelo MEF contêm n freqüências: O método é condicionalmente estável, pois Para M diagonal Tn: menor período da montagem de elementos finitos com n GDL Se a matriz de rigidez da montagem de elementos não será triangularizada, também não é necessário montar a matriz. A análise de alguns problemas (propagação de onda) requer mesmo um passo de tempo pequeno, em outros (dinâmica estrutural) serve Dt≥ Dtcr. KtU pode ser avaliada ao nível elementar somando as contribuições de cada elemento ao vetor de carga efetiva. Um elemento diagonal na matriz de massa não pode ser zero pois Tn seria zero e a integração não possível, e ainda Dtcr≈0. A mesma condição acontece se um elemento da matriz de rigidez for grande. O vetor de carga efetivo é avaliado com: Métodos de integração direta

5. Exemplo As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Para Dt=28 Os períodos de vibração livre são T1=4,45 e T2=2,8. Usar o método de diferenças centrais com passos Dt=T2/10 e Dt=10T2 para obter a resposta em 12 passos, e: Cálculo inicial da aceleração em t=0: A expressão não é satisfeita e a resposta se incrementa sem limite indicando instabilidade. Para Dt=0,28 Matlab >> autovalor=eig(K,M) [(rad/s)2] >> wn=sqrt(autovalor) [rad/s] >> T=(2*pi)./wn [s] T = 4.4429 2.8099 Métodos de integração direta

6. Método de Houbolt (método implícito) Segundo Houbolt, para obter t+DtU, as expansões de diferenças finitas usadas são, Para obter t+DtU, o método explícito usa: que substituídas em, Para obter t+DtU, o método implícito usa: gera, A efetividade dos esquemas de integração estáveis incondicionalmente envolvem que o Dt não precisa ser inferior a um Dtcr. Mas, o método de integração é implícito; ou seja, uma triangularização de K é necessária ou uma matriz de rigidez efetiva A solução precisa os valores de tU, t-DtU, t-2DtU, os quais são calculados com o método de diferença central com uma fração de Dt como o passo do tempo. Métodos de integração direta

7. O termo Kt+DtU aparece pelo equilíbrio no tempo t+Dt, logo o método é implícito. Não existe um limite do passo do tempo crítico, e Dt pode ser maior que aquele do método da diferença central. Se C=0 e M=0, o método gera a solução estática para cargas função do tempo Métodos de integração direta

8. Exemplo Calcula-se: As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Para cada passo no tempo calcula-se: Os períodos de vibração livre são T1=4,45 e T2=2,8. Usar o método de Houbolt com passos Dt=T2/10 e Dt=10T2 para obter a resposta em 12 passos, e: Para os 12 passos resolve-se: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para Dt=0,28 Usamos os valores iniciais calculados com o método de diferença central: Métodos de integração direta

9. Método de Wilson (método implícito) Assume-se que a variação da aceleração seja linear do tempo t ao tempo t+Dt, onde 1,0. Para estabilidade incondicional 1,37, sendo usado =1,40. Usando estas duas equações no tempo t+ Dt, onde =  Dt, obtemos: Para obter as soluções dos desl., veloc. e acel. no tempo t+ Dt, a eq. de equilíbrio (1) é considerada no tempo t+ Dt mais um vetor de carga extrapolado. Seja  o incremento no tempo, 0≤≤ t. Para o intervalo de tempo t a t+ Dt,temos Usando as eqs. (*) e (**) na eq. de equilíbrio obtem-se t+ DtU, que é substituída em (*) para obter Integrando a qual é substituída nas três primeiras, todas avaliadas em =t, para calcular: Métodos de integração direta

10. Exemplo e logo: As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Os períodos de vibração livre são T1=4,45 e T2=2,8. Usar o método de Wilson com passos Dt=T2/10 e Dt=10T2 para obter a resposta em 12 passos, e: Para os 12 passos encontra-se: Cálculo inicial da aceleração em t=0: Para Dt=0,28 próximo a K como em Houbolt Para Dt=0,28 Calcula-se: e para os 12 passos encontra-se: Para cada passo de tempo avalia-se: Métodos de integração direta

11. Método de Newmark(método implícito) Resolvendo (*) e (**) para em termos das incógnitas t+tU. Essas relações são substituídas em (***) para obter t+tU, e voltando novamente em (*) e (**) calcula-se Extensão do método de aceleração linear, com os seguintes supostos: , : parâmetros de exatidão e estabilidade Método de aceleração media constante, estável incondicionalmente, (regra trapezoidal), =1/2 e =1/4. Considera-se a eq. de equilíbrio em t+Dt Métodos de integração direta

12. Exemplo e logo: As eqs. de equilíbrio de um sistema são: Para os 12 passos encontra-se: Os períodos de vibração livre são T1=4,45 e T2=2,8. Usar o método de Newmark com passos Dt=T2/10 e Dt=10T2 para obter a resposta em 12 passos, e: Use a=0,25 e d=0,5 Para Dt=0,28 Cálculo inicial da aceleração em t=0: ≈K como em Houbolt e  Wilson Para Dt=0,28 e para os 12 passos encontra-se: Calcula-se: Para cada passo de tempo avalia-se: Métodos de integração direta