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ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS

Amin Kaidi. ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS. Réferences. [ASL-05] Spiros A. Argyros , Jordi Lopez- Abad , Stevo Todorcevic : A class of Banach spaces with few non- strictly singular operators , Journal of Functional analysis 22 (2005), 306-384.

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ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS

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Presentation Transcript

  1. AminKaidi ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS

  2. Réferences [ASL-05] Spiros A. Argyros, Jordi Lopez-Abad, StevoTodorcevic: A class of Banach spaceswith few non-strictlysingularoperators, Journal of Functionalanalysis 22 (2005), 306-384. [BKMO-06] M. Burgos, A. Kaidi, M. Mbekhta, M. Oudghiri : The descentspectrum and perturbations, Journal of Operator Theory 56 (2006) 259-271 [GM-93] W.T. Gowers, B. Maurey : The unconditional basic sequenceproblem, Journal of the American Mathematical Society 6 (1993), 851-874.

  3. [HKL-10] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Algebra descentspectrum of operator 177 (2010), 349-368. [HKL-11] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Centralizersin semisimple algebras, and descentspectrum in Banach algebras, Journal of Algebra 347(2011) 214-223. [HKS-07] A. Hmaimou, A. Kaidi and E. Sánchez : GeneralizedWittig modules and rings, Journal of Algebra 308 (2007), 199-214. [V-92] K. Varadarajan: Hopfian and co-hopfianobjects, PublicacionsMatemátiques, Vol 36 (1992), 293-317.

  4. Motivation: Thèoréme 1. Pour un ensemble X, les affirmationssuivantessontéquivalentes: • X estfini ii) Touteapplicationinjective de X en X estbijective iii Touteapplicationsurjective de X en X estbijective iv) Touteapplicationinversible á gaucheestinversible v) Touteapplicationsemplifiable á gaucheestsemplifiable

  5. ThéorèmeII. Pour un espacevectoriel X, les affirmationssuivantessontéquivalentes: i) X est de dimensionfinie ii) Touteapplicationlinéaire, injective de X dansX estbijective iii Touteapplicationlinéairesurjective de X dansX estbiyective iv) Touteapplicationlinéaireinversible á gaucheestinversible v) Touteapplicationlinéairesimplifiable á gaucheestsimplifiable

  6. Définition [V-92]: Soit X un objetd’unecatégorie. Ondit que X esthopfien (resp. Cohopfien) si toutepimorphisme (resp. monmorphisme) estinversible. X estditDedekind-fini si toutendmorphismeinversibled’uncotéestinversible. Remarque: Dans la catégorie des groupsabéliens les 3 notionsantérieuresnesontpas equivalentes.

  7. Soit X un espace de Banach, par BL(X) on note l’algèbre d’opérateurs linéaires continus de X dans X. Définitions: Un espace de Banach X est dit hopfien (resp. cohopfien) si toute application linéaire continue surjective (resp. injective) est bijective. Et il est dit Dedekind fini si pour tout T, S dans BL(X) on a TS=I entraine ST=I Exemples et remarques : -Tout espace de Banach de dimension finie est hopfien et cohopfien.

  8. -Tout espace de Banach hopfien ou cohopfien est Dedekind fini. • Pour un espace d’Hilbert, hopfien, cohopfien, Dedekind fini sont équivalentes á la dimension finie. -Le première exemple d’espace de Banach de dimension infinie hopfien á été construit par Gowers et Maury en 1993, [GM-93]. -La construction d’un espace de Banach de dimension infinie cohopfien n’a été réalisé que récemment par Avilés et Koszmider en 2013, [ AK-13].

  9. Proposition: Pour un espace de Banach X, les assertions suivantes sot équivalentes: i) X est hopfien. ii) X n’est pas isomorphe a aucun de ses espaces quotients propres. iii) X est Dedekind fini et pour tout opérateur surjectif T de BL(X) on a le noyau de T, N(T), est facteur direct de X.

  10. Définition: Un espace de Banach X est dit indécomposable s’il ne peut pas être écrit comme somme direct de deux sous espaces fermés de dimension infinie. Et il est dit hereditairementindécomposable (H. I. ) si tous ses sous espaces fermés sont indécomposables. Proposition: Sois X un espace de Banach H.I. Alors tout opérateur linéaire continu de X dans X est de la forme oú est dans (=: ou et S est strictement singulier.

  11. Proposition [HKR-10]: Soit X un espace de Banach tel que pour tout T dans BL(X) on a, Int(, l’intérieur du spectre de T vide. Alors X n’est pas isomorphe á aucun sousespacepropre ni á aucun espace quotient propre. En particulier X est hopfien. Corollaire [HKR-10]: Tout espace de Banach H.I. est hopfien. Remarques: Ils existent d’espaces de Banach hopfiens que ne sont pas H.I. Dans [ALT-05], les auteurs construisent un espace reflexif non séparable dont les opérateurs ont un spectre dénombrable.

  12. Définitions [BKMO-06], [HKR-11]: Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel X sur un corps K. La descente d(T) de T est définie par: Avec la convention min . Où R(.) note le rang Le spectre descente de T est : Si A est une K-algèbre et a on pose: Où est l’application de A dans A.

  13. Théorème [HKR-10]: Il existe d’espaces de Banach X avec un opérateur T de BL(X) tel que: Définition [HKR-10]: On dira qu’un espace de Banach X vérifie l’égalité du spectre descente ( DSE) si: pour tout T dans BL(X). Les espaces sont DSE-espaces et ils ne la vérifient pas .

  14. Théorème [HKR-10]: Les espaces de Banach hopfiens vérifient la DSE. Théorème [HKR-10]: Soit X un espace de Banach. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes: • X est hopfien • X est Dedekind fini et vérifie la DSE. • Pour tout T dans BL(X) on a

  15. Théoréme [HKR-10]: Tout espace de Banach cohopfien X, dont le dual (topologique) X* est w*-séparable est de dimension finie. Remarque[HKR-10]: Tous les espaces de Banach séparables et H. I.ont la propriété précédente. THÉORÈME [AK-13]: Il existe un espace topologique compact séparé (infini) K tel que l’espace de Banach C(K) est cohopfien.

  16. Espaces de Banach fortement hopfiens ou fortement cohopfiens. • Définition [HKS-07]: Un espace de Banach X est dit fortement hopfien (resp. fortement cohopfien) si pour tout T de BL(X) on a l’ascente de T, a(T):, (resp. d(T)) est fini. Remarque: • Tout espace de Banach fortement hopfien est hopfien. • Tout espace de Banach fortement cohopfien est cohopfien. • Théorème: Tout espace de Banach fortement hopfien ou fortement cohopfien est de dimension finie.

  17. Problèmes ouvertes I) Caractériser les espaces topologiques compacts pour lesquels C(K) est hopfien ou cohopfien. 2) Caractériser les espaces de Banach Hopfiens ou cohopfienshereditaires (Les sous espaces fermés et/ou les espaces quotients sont de même type).

  18. 3) Caractériser les espace de Banach hopfiens ou cohopfiens X par de propriétés de leur algèbre d’opérateurs BL(X). 4) Est-ce que les espaces de Banach cohopfiens sont hopfiens. 5) Est-ce que tout espace de Banach Dedekind fini est hopfien.

  19. Espaces de BanachHopfiens et cohopfiens Mercipourvotreattention

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