Formule de l’aire du triangle

1. Formule de l’aire du triangle Pré-requis : Formule de l’aire du parallélogramme. Objectif : Déduire la formule de l’aire du triangle de celle de l’aire du parallélogramme. ACTIVITE : On considère un triangle ABC. 1°) Construire le point E tel que ABCE soit un parallélogramme. On note I le milieu des diagonales. Construire la hauteur [AH] du parallélogramme. En utilisant les points de la figure, donner une formule qui permet de calculer l’aire du parallélogramme ABCE.

2. 2°) a) Quel est le symétrique du triangle ABC par rapport à I ? • b) Comparer alors les aires des triangles ABC et AEC. • Comment obtenir l’aire du triangle ABC à partir de l’aire du parallélogramme ABCE ? Déduire alors une formule pour obtenir l’aire du triangle ABC en utilisant la formule trouvée au 1°) en complétant la phrase ci –dessous : • L’aire du triangle ABC est égale à la ……………………de l’aire de ABCE . Alors, pour calculer l’aire de ABC, on fait : (…… ……). • Que représente [AH] pour le triangle ABC ?

3. 3°) Ecrire une formule qui permet de calculer l’aire du parallélogramme ABEC ; • En déduire alors une formule pour avoir l’aire du triangle ABC. • Que représente [BR] pour le triangle ABC ?

4. 4°)Ecrire une formule qui permet de calculer l’aire du parallélogramme ABCE. • En déduire alors une formule pour avoir l’aire du triangle ABC. • Que représente [CS] pour le triangle ABC ? • 5°) Compléter : • Bilan : «  L’aire d’un triangle est égal à : … mesure d’un côté x mesure de la … relative à ce côté...»

5. RECONNAÎTRE UN PARALLELOGRAMME PAR SES DIAGONALES • Pré-requis : • définition du parallélogramme (quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles ). • Propriétés de la symétrie centrale. • Activité : • 1°) On observe • A l’aide du logiciel géoplan, construire trois points A, B et I. • Construire A’ et B’ symétriques respectifs de A et B par rapport à I. • Quel est le symétrique du quadrilatère ABA’B’ par rapport à I? Que représente alors I pour ce quadrilatère? • Quelle semble être la nature de ABA’B’ ? • Déplacer les points A et B. Votre conjecture est-elle encore vérifiée ?

6. 2°) On démontre • Construire trois points A,B,I puis les points A’ et B’ symétriques respectifs de A et B par rapport à I. • On considère la symétrie de centre I. • Compléter : a) Le symétrique de A est A’ et le symétrique de B est B’. Alors le symétrique de la droite (AB) est …………………………………… . Comme l’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite ………………………….. alors les droites (……) et (……) sont ………………….. • Démontrer comme au a) que les droites (BA’) et (AB’) sont parallèles. • Expliquer alors pourquoi ABA’B’ est un parallélogramme. • Compléter : Bilan : • Résumé: « Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même …………………. alors c’est un …………………………….. » Ou « Si un quadrilatère a un centre de …………………… alors c’est un ………………………… »

7. CARACTERISATION ANGULAIRE DU PARALLELISME • Pré-requis : • définition du parallélogramme ( quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles ). • Propriétés de la symétrie centrale. • Reconnaître deux angles alternes-internes. • Activité (réciproque) : Reproduire la figure suivante. 1°) Comment semblent les droites (D) et (D’) ? 2°) Démontrons : On note I le milieu de [AB]. Construire E’ le symétrique de E par rapport à I. Quel est le symétrique de l’angle  ? Quelle propriété de la symétrie permet de dire que cet angle mesure 53° ? Que dire alors des points B, F et E’ et des droites (BF) et (BE’) ? Démontrer que EAE’B est un parallélogramme. Que dire alors des droites (AE) et (BE’) ? Qu’en est-il des droites (AE) et (BF) ?

8. 3°) Compléter : Bilan : « Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes ………………………. alors elles sont ………………………………. . »

9. ANGLES ALTERNES – INTERNES, CORRESPONDANTS PROPRIETES • Activité 1 : « On observe ». • A l’aide d’un logiciel de géométrie, construire (D1) et (D2) parallèles et une sécante (AB). • Placer E sur (D1) et F sur (D2) de façon que E et F soient de part et d’autre de la sécante (AB). • Que dire des angles … et …  ? • Afficher les mesures de ces angles. • Déplacer le point A. Qu’observe t’on ?

10. Activité 2 : « On démontre ». Reproduire la figure suivante où les droites (D1) et (D2) sont parallèles et E est sur (D1). Construire F sur (D2) tel que AEBF soit un parallélogramme. Où est F ? Pourquoi ? On note I le milieu de [AB]. On considère la symétrie de centre I. Quel est le symétrique de A ? Justifier. Quel est le symétrique de E ? Justifier. Quel est le symétrique de l’angle  …? Quelle propriété de la symétrie centrale permet de dire que les angles … et … sont égaux ?

11. - On considère les points M et P respectivement sur (D1) et (D2) situés de part et d’autre de la sécante (AB). Comparer les angles ..et .. . Justifier la réponse. Comparer aussi les angles marqués en rouge en justifiant. Compléter : Bilan : « Les angles alternes-internes formés par deux droites parallèles et une sécante sont ………………….. »

12. ACTIVITES : Parallélogramme et propriétés • Pré-requis : • définition du parallélogramme ( quadrilatère qui a les côtés opposés parallèles ). • Propriétés de la symétrie centrale. Activité 1 : « On observe ». A l’aide d’un logiciel de géométrie( ici, géoplan ), • construire un parallélogramme ABCD. • Nommer I le point d’intersection des diagonales. • a) Afficher les mesures IA et IC, IB et ID. Qu’observe t’on ? • b) Afficher les mesures AB et DC, BC et AD. Qu’observe t’on ? • c) Afficher les mesures des 4 angles du parallélogramme. Qu’observe t’on ? • d) Déplacer les sommets du parallélogramme. Observez-vous les mêmes choses qu’au a), b), c) ?

13. Activité 2 : « On démontre ». Construire avec la règle et l’équerre un parallélogramme ABCD. On note I le milieu de la diagonale [AC]. Placer I. On considère la symétrie centrale de centre I. Quelle est l’image du point A ? du point C ? Justifier. Connaît-on l’image de B ? Quelle semble être l’image de B ? Cherchons l’image de B. Par quel point passe l’image de la droite (AB) ? Que sait-on encore de l’image de cette droite ?

14. Compléter alors : « L’image de la droite (AB) est la droite ……………à (AB) et qui passe par le point … . C’est donc la droite ……». De même, compléter : • « L’image de la droite (BC) est la droite ……………à (BC) et qui passe par le point … . C’est donc la droite ……». • «  Le point B est sur les droites …… et …… ; son symétrique par rapport à I est donc sur la droite ……,symétrique de …… et sur la droite ……, symétrique de …… ; c’est donc le point … » . On récapitule : Par la symétrie de centre I , A a pour image C. B a pour image D. Que représente alors I pour la diagonale [BD] ? Quelle est l’image du parallélogramme ABCD par rapport à I ? Compléter : Bilan 1 : « Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même ………… qui est le ………………… de …………………. du parallélogramme.

15. – Quelles sont les images des segments [AB] et [BC] ? Compléter alors : « Les longueurs AB et …… sont égales ainsi que les longueurs …… et …… car ………………………………………………………………………….. ». Compléter : Bilan 2 : « Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même ……………….... e) Quelles sont les images des angles … et … ? Expliquer alors pourquoi les angles … et … sont égaux ainsi que les angles … et ... Compléter : Bilan 3 : « Dans un parallélogramme, les angles …………… ont la même …………... »