Teori difraksi sinar-X

1. Teori difraksi sinar-X

2. Hamburan dan gelombang • Hamburan: interaksi antara sinar-X (gelombang e.m.) dan elektron → perlu pemahaman tentang kelakuan gelombang • Jika gelombang e.m. menabrak sistem elektron, maka komponen magnet dan listrik gelombang mendesak elektron sehingga elektron berosilasi dengan frekuensi yang sama dengan gelombang penabrak. • Osilasi elektron bekerja sebagai penghambur sinar dengan frekuensi sama • Intensitas sinar hamburan pada jarak R adalah: Faktorpolarisasi

3. Difraksi: hasil dari penjumlahan gelombang-gelombang yang dihamburkan oleh elektron • Gelombang elektromagnet → fungsi waktu dan jarak • Terdapat komponen magnet yang tegak lurus terhadap komponen medan listrik • Pada XRD, variasi medan listrik menjadi perhatian karena interaksinya dengan elektron

4. Fungsi gelombang (E) • E(t=0; z) = A cos 2p (z/l) • E: kekuatan medan elektromagnet • A: amplitudo gelombang • l: panjang gelombang; frekuensi: n = c/l • Selama waktu t, gelombang bergerak sejauht × c = t ×n×l • Sehingga, E(t; z) = E(t=0; z –t ×n×l) • E(t; z) = A cos 2p/l (z – t ×n×l)= A cos 2p (z/l – t ×n) = A cos 2pn (t - z/c) • Jadi, E(t,z=0) = A cos 2pnt = A cos wt

5. Cara lain Gelombang sebagai fungsi waktu (arah tertentu) Fungsi cosinus Amplitudo (tinggi puncak), A = 3 Frekuensi (pengulangan per satuan waktu), ν = 2 Periode gelombang, 1/ν = 0,5 A cos(2πνt) = A cos wt Gelombang sebagai fungsi arah sebaran (waktu tertentu) Fungsi cosinus Amplitudo (tinggi puncak), A = 3 Panjang gelombang (jarak antar puncak), λ = 2 A cos(2πz/λ) atau A cos(–2πz/λ)

6. Pergeseran gelombang • Gelombang pertama: E1(t,z=0) = A cos wt • Gelombang kedua dengan A dan l sama, tetapi bergeser sejauh Z Pergeseran ini terkait dengan pergeseran faseZ/l× 2p = a • Jadi, E2(t,z) = A cos (wt + a) • A cos (wt + a) = A cos a cos wt + A sin a sin wt= A cos a cos wt + A sin a cos (wt + 90º) • Gelombang baru dapat dilihat sebagai dua gelombang 1. Amplitudo A cos a dan sudut fase 0º 2. Amplitudo A sin a dan sudut fase 90º

7. Gelombang merupakan kombinasi bagian sumbu nyata dan sumbu ghaib Sudut dengan sumbu nyata adalah sudut fase (a) Penjumlahan gelombang adalah pejumlahan bagian nyata dan bagian ghaib Cara lain penulisan vektor gelombang E = A cos a + iA sin a = A exp [ia] Diagram Argand A cos a cos wt + A sin a cos(wt+90º) i

8. Gelombang sebagai vektor E = A cos Φ + iA sin Φ = A exp [iΦ] A ampitudo fase Sifat gelombang sebagai vektor dalam bidang: panjang vektor mewakili amplitudo gelombang (A), dan sudut yang terbentuk dengan sumbu horisontal mewakili fasenya (Φ)

9. Penjumlahan gelombang A cos(α+φ1) + B cos(α+φ2) Hasil: gelombang cosinus dengan panjang gelombang sama tetapi berbeda amplitudo dan fase yang diberikan melalui jumlahdua vektor

10. r: jarak antara 2 elektron so: vektor gelombang datang dengan panjang 1/l s: vektor gelombang terdifraksi dengan panjang 1/l S = s–so p = l∙r∙sodan q = – l∙r∙s Beda jarak antara dua gelombang yang dihamburkan dua elektron = p + q = l∙r∙(so–s) Perbedaan fase adalah beda jarak × (2p/l) = –2p (r∙(so–s)) = 2p r·S Sistem dua elektron Ingat: p = r cos q = l r (1/l) cos q = l∙r∙so Tanda minus pada beda fase karena e2 muncul dibelakang e1

11. sovektor gelombang datang dengan panjang 1/l s vektor gelombang terdifraksi dengan panjang 1/l S = s – so Panjang S = |S| = |s| sin q + |so| sin q = 1/l sin q + 1/l sin q = (2 sin q)/l

12. Penulisan gelombang e1 dane2 dengan beda fase 2pr·S T = 1 + 2 = 1 + 1 exp[2pi r·S] = 1 + exp[2pi r·S]

13. Andaikan titik rujukan digeser –R: T = 1 + 2 = exp[2pi R·S] + exp[2pi (R+r)·S] = exp[2pi R·S] {1 + exp[2pi r·S]} Artinya pergeseran –R meningkatkansemua sudut fasa 2pi R·S namun amplitudo dan intensitas gelombang Ttidak berubah

14. 2 elektron (satu sebagai asal): amplitudo hamburan bersih = 1 + exp(2pi r·S) Banyak elektron (tidak ada yang sebagai asal): Sexp(2pi rj·S) Andaikan atom dianggap simetri bola, dengan kerapatan elektron pada posisi r ditulis r(r) Faktor hamburan atom(f)= r r(r) exp[2pir·S] dr= r r(r) {exp[2pir·S] + exp[– 2pir·S]} dr= 2 r r(r) cos[2pr·S) dr Hamburan oleh atom(banyak elektron), f

15. Contoh: faktor hamburan atom karbon sebagai fungsi resolusi

16. Merupakan jumlah dari semua hamburan atom-atom dalam sel satuan Hamburan (Faktor struktur, F(S)), yang tergantung pada penataan atom-atom dalam sel satuan Faktor hamburan (fj), yang tergantung pada jumlah elektron dalam atom F(S) = S fj exp [2pirj·S] Hamburan oleh satu sel satuan (banyak atom), F(S)

17. Hamburan oleh satu kristal(banyak sel satuan), F(hkl) • Hanya hamburan dari semua sel satuan yang berfase sama memberikan sinyal kuat • Andaikan hamburan satu sel satuanF1 = S fj exp[2pirj·S] • Hamburan sel berikutnya (dalam 1 dimensi)F2 = S fj exp[2pirj·S] ×exp[2pia·S] = S fj exp(2pi (rj+a)·S] • Untuk semua tiga arah sel satuan (vektor a, b, c)F2 = S fj exp[2pi (rj+ a)·S] × exp[2pi (rj+ b)·S] × exp[2pi (rj+ c)·S]

18. Hamburan oleh satu kristal, F(hkl) • Interferensi membangun hanya jikaa·S = h (h bilangan bulat)b·S = k (k bilangan bulat)c·S = l (l bilangan bulat) • Andaikan koordinat fraksi atom ke-j adalah xj, yj, zj, maka rj = axj + byj + czj • Selanjutnya, rj·S = xja·S+ yjb·S+ zjc·S = hxj + kyj+ lzj • Jadi, faktor struktur kristal adalahF(S) = S fj exp(2pi (hxj + kyj+ lzj ) = F(hkl)

19. Kondisi difraksi • Kondisi Lauea·S = h, b·S = k, dan c·S = l(h,k,l bilangan bulat) • Hukum Bragg n λ = 2 d sinθ Bila n = 1 sinθ/λ = 1/(2 d) d = λ/(2 sinθ) → resolusi Bila sudut datang = sudut pantul, maka sinar datang berfase sama dengan sinar pantul, tanpa menghiraukan di mana mereka mengenai bidang

20. Memahami konsep jarak resiprok Makin besar sudut difraksi Makin kecil jarak pada pola difraksi Makin peka

21. s so S q q q d so Jarak resiprok (S) S = s – so S = jarak resiprok (tegak lurus bidang kristal) = normal bidang Panjang S = |S| = |s| sin q + |so| sin q = 1/l sin q + 1/l sin q = (2 sin q)/l = 1/d

22. Bola Ewald Bola Ewald merupakan bola dengan jari-jari 1/l

23. Bola Ewald akan memroyeksikan lingkaran bintik-bintik difraksi sekeliling posisi cahaya lurus

24. Bola Ewald 1/d = jarak resiprok

25. Pertanyaan Anggap kristal satu dimensi dengan atom-atom identik pada posisi x=0,0, x=0,25, x=0,5, dan x=0,75. Anggap faktor hamburan atom sama dengan 6 pada semua resolusi. Hitung faktor struktur pada sumbu nyata dan sumbu ghaib, dan hitung pula sudut fase faktor struktur dengan h = 0–10 , k = 0, l = 0. (F(0,0,0), F(1,0,0), F(2,0,0), F(3,0,0), …, F(10,0,0)) Petunjuk gunakan program excell untuk menghitung F(hkl) = 72

26. Mekanika kuantum • Foton dihamburkan ke arah tertentu diberikan melalui kuadrat dari amplitudo jumlah sinar-sinar yang dihamburkan • Intensitas bintik difraksi (yang sebanding dengan jumlah foton pada spot) • Akar kuadrat intensitas sebagai bagian penentuan amplitudo pada perhitungan kerapatan elektron

27. Perhitungan kerapatan elektron, r(xyz) • Persamaan tranformasi Fourier menghubungkan faktor struktur dengan kerapatan elektron (bolak-balik) • F (hkl) = F(S) = S fj exp(2pi (hxj + kyj+ lzj )= sel r(r) exp[2pirj·S] dv=    r(xyz) exp[2pi (hxj + kyj+ lzj )] dx dy dz • Kebalikan transformasi Fourier:r(xyz) = 1/V SSS |F(hkl)| exp [–2pi (hx+ky+lz) + ia(hkl)]ataur(xyz) = 1/V SSS |F(hkl)| cos [2p(hx+ky+lz) –a(hkl)]

28. Untuk apa informasi pola difraksi? • Dari pola difraksi dapat dihitung distribusi kerapatan elektron • Dengan kerapatan elektron → model molekul dibangun